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Adição

ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO E SIGNIFICADOS

O ensino das chamadas “quatro operações” sempre teve grande destaque no trabalho desenvolvido nas séries iniciais. No entanto, nem sempre ele foi conduzido da mesma maneira. Assim por exemplo, nas décadas de 50 e 60, as técnicas operatórias eram aprendidas mediante treino. Os alunos deviam decorar a “tabuada” e aprendiam a fazer a “prova real” e a “prova dos nove”, como formas de verificação de resultados. A aprendizagem das operações era realizada “por passos”, procurando graduar possíveis dificuldades. O uso das operações para a resolução de problemas vinha somente ao final, como uma aplicação das técnicas aprendidas.

Em meados da década de 60, período influenciado pelo movimento internacional conhecido como “Matemática Moderna”, as operações passaram a ser ensinadas com base “nos conjuntos”. Desse modo, a adição era apresentada por meio da união de dois conjuntos disjuntos e o diagrama de Venn era usadocom a intenção de facilitar visualização dessas operações. Nesse período, o cálculo mental passou a ser menos enfatizado e havia uma recomendação contra a memorização da tabuada.

A partir de 1980, com as críticas ao movimento “Matemática Moderna”, as operações passaram a ser trabalhadas a partir de situações problema em que as ideiasou significados nelas presentes eram exploradas: juntar, acrescentar, tirar, comparar, completar, medir etc. Para a compreensão das técnicas operatórias (o vai um, os “empréstimos” etc.) estimulava-se o uso de materiais como o Material Dourado, as barras Cuisenaire e jogos. Também lançava-se mão de tabelas, esquemas e da representação na reta numérica.

Nos anos 90, o estudo das operações articulando os cálculos à resolução de problemas ganha força e as diferentes estratégias de resolução de um problema e de uma operação, inclusive aquelas criadas pelas crianças, passaram a ser valorizadas. As pesquisas sobre o ensino das operações também se ampliaram. Algumas delas mostram, por exemplo, que a dificuldade de um problema não está diretamente relacionada à operação requisitada para a solução. Nem sempre problemas que se resolvem por adição são mais fáceis para as crianças do que outros, resolvidos por subtração.

A teoria desenvolvida por Gérard Vergnaud, conhecida como Teoria dos Campos Conceituais, traz como implicação o fato de que problemas aditivos e subtrativos não podem ser classificados separadamente, pois fazem parte de uma mesma família. Evidencia também que a construção dos diferentes significados relacionados às situações-problema demanda tempo e ocorre pela descoberta de diferentes procedimentos de solução. Desse modo, o estudo da adição e da subtração deve ser proposto ao longo dos dois ciclos, juntamente com o estudo dos números e com o desenvolvimento dos procedimentos de cálculo, em função das dificuldades lógicas, específicas a cada tipo de problema, e dos procedimentos de solução de que os alunos dispõem.

Na sequencia analisaremos situações que envolvem adição e subtração e, para efeito de análise, distinguiremos quatro grupos.

(I). Situações associadas à idéia de combinar dois estados para obter um terceiro.

Esta é uma das situações mais frequentemente trabalhadas na escola e é comumente identificada pelos professores com a ação de “juntar”.

Vejamos um exemplo:

(A) Em classe há 15 meninos e 13 meninas. Quantas crianças há nessa classe?

1º Estado
2º Estado
3º Estado
15
13
??

A partir dessa situação é possível formular outras duas, mudando-se a pergunta. As novas situações são comumente identificadas como ações de “separar ou tirar”.

Exemplos:

(B) Em uma classe de 28 alunos, há alguns meninos e 13 meninas. Quantos são os meninos?

1º Estado
2º Estado
3º Estado
??
13
28

 

(C) Em uma classe de 28 alunos, 15são meninos. Quantas são as meninas?

1º Estado
2º Estado
3º Estado
15
??
28

 

No entanto, é importante destacar que muitas crianças resolvem esses problemas, adicionando 15 ao 13 (B) ou 13 ao 15 (C), em função da forte imbricação entre adição e subtração.

(II). Situações ligadas à idéia de transformação, ou seja, à alteração de um estado inicial, que pode ser positiva ou negativa.

Nestas situações é como se a criança tivesse que observar cenas sucessivas de um acontecimento e identificar a alteração ocorrida.

Vejamos um exemplo:

(D) Paulo tinha 20 figurinhas. Ele ganhou 15 figurinhas num jogo. Quantas figurinhas ele tem agora?

Estado Inicial
Transformação
Estado Final
20
+15
35

 

(E) Pedro tinha 37 bolinhas. Ele perdeu 12 num jogo. Quantas figurinhas ele tem agora? (transformação negativa).

Estado Inicial
Transformação
Estado Final
37
-12
25

 

No caso da situação (D), trata-se de uma transformação positiva e no caso (E) trata-se de uma transformação negativa.

Cada uma dessas situações pode gerar outras, mudando-se a pergunta feita.

Vejamos:

(F) Paulo tinha algumas figurinhas, ganhou 15 no jogo e ficou com 35. Quantas figurinhas ele possuía?

Estado Inicial
Transformação
Estado Final
??
+15
35

 

(G) Paulo tinha 20 figurinhas, ganhou algumas e ficou com 35. Quantas figurinhas ele ganhou?

Estado Inicial
Transformação
Estado Final
20
+??
35

 

(H) No início de um jogo, Pedro tinha algumas figurinhas. No decorrer do jogo ele perdeu 12 e terminou o jogo com 25 figurinhas. Quantas figurinhas elepossuía no início do jogo?

Estado Inicial
Transformação
Estado Final
??
-12
25

 

(I) No início de um jogo Pedro tinha 37 figurinhas. Ele terminou o jogo com 25 figurinhas. O que aconteceu no decorrer do jogo?

Estado Inicial
Transformação
Estado Final
37
??
25

 

É interessante observar que embora duas situações possam ser muito similares, o tipo de pergunta formulada, as tornam muito diferentes para as crianças. Assim, é muito importante diversificar as propostas de trabalho em sala de aula e em especial, não condicionar os alunos a resolver problemas baseados em palavras chave. O fato de no enunciado aparecer a palavra “perder” em geral leva o aluno a pensar em subtração, o que nem sempre é um raciocínio correto. É o caso, por exemplo, da situação (H).

(III). Situações associadas à ideia de comparação.

Neste grupo há uma situação já configurada e a questão proposta implica numa comparação.

Vejamos alguns exemplos:

(J) No final de um jogo, Paulo e Carlos conferiram suas figurinhas. Paulo tinha 20 eCarlos tinha 10 a mais que Paulo. Quantas eram as figurinhas de Carlos?

Paulo
Transformação
Estado Final
20
??
+10

 

(L) Paulo e Carlos conferiram suas figurinhas. Paulo tinha 20 e Carlos tinha 7.

Quantas figurinhas Carlos deve ganhar para ter o mesmo número que Paulo?

Paulo
Carlos
Comparação
20
7
+13

 

(M)) Paulo tem 20 figurinhas. Carlos tem 13 figurinhas a menos que Paulo. Quantas figurinhas tem Carlos?

Paulo
Carlos
Comparação
20
??
-13

 

(IV). Situações em que há mais de uma transformação (positiva ou negativa)

Neste tipo de situação há uma sequencia de transformações e para dar a resposta não há necessidade de se saber o que acontece no início nas apenas no decorrer. Esse fato provoca discussões interessantes com os alunos.

Vejamos alguns exemplos:

(N) No início de uma partida, Ricardo tinha um certo número de pontos. No decorrer do jogo ele ganhou 10 pontos e, em seguida, ganhou 25 pontos. O que aconteceu com seus pontos no final do jogo?

Início
Decorrer
Fim
x
+10 e
+ 25
??

 

(O) No início deuma partida, Ricardo tinha um certo número de pontos. No decorrer do jogo ele perdeu 10 pontos e, em seguida, perdeu 25. O que aconteceu com seus pontos no final do jogo?

Início
Decorrer
Fim
x
-10 e
- 25
??

 

(P) No início de uma partida, Ricardo tinhaum certo número de pontos. No decorrer do jogo ele ganhou 10 pontos e, em seguida, perdeu 25. O que aconteceu com seus pontos no final do jogo?

Início
Decorrer
Fim
x
+10 e
- 25
??

 

(Q) Ricardo iniciou uma partida com 15 pontos de desvantagem. Ele terminou o jogo com 30 pontos de vantagem. O que aconteceu durante o jogo?

Início
Decorrer
Fim
-15
??
+30

 

Como podemos observar, embora todas estas situações façam parte do campo aditivo, elas colocam em evidência níveis diferentes de complexidade. No início da aprendizagem escolar os alunos ainda não dispõem de conhecimentos e competências para resolver todas elas, necessitando de uma ampla experiência com situações-problema que os leve a desenvolver raciocínios mais complexos por meio de tentativas, explorações e reflexões. Evidentemente, a categorização das situações problema é uma ferramenta importante para o trabalho do professor no sentido de diversificá-las e permitir ao aluno a construção de raciocínios adequados a cada situação, mas não deve ser apresentada a eles. Da mesma forma, os quadros que apresentamos no corpo deste texto para explicitar cada situação analisada não devem ser impostos aos alunos, que devem ser incentivados a criar formas de registro que sejam significativas para eles, como podemos ver em algumas produções.

CÉLIA MARIA CAROLINO PIRES

Fonte: www.dersv.com

Adição

ADIÇÃO: A OPERAÇÃO ADIÇÃO ENVOLVE DUAS IDÉIAS BÁSICAS: A DE JUNTAR E A DE ACRESCENTAR.

ADIÇÃO: operação compostas por parcelas cujo resultado é denominado de soma ou total.

ADIÇÃO: adição envolve a idéia de juntar, acrescentar, reunir elementos.

É uma das operações básicas da álgebra. Na sua forma mais simples, adição combina dois números (termos, somandos ou parcelas), em um único número, a soma. Adicionar mais números corresponde a repetir a operação.

Propriedades importantes:

Comutatividade: A ordem das parcelas não altera o resultado final da operação. Assim, se x + y = z, logo y + x = z.

Associatividade O agrupamento das parcelas não altera o resultado. Assim, se (x + y) + z = w, logo x + (y + z) = w.

Elemento neutro: A parcela 0 (zero) não altera o resultado das demais parcelas. O zero é chamado "elemento neutro" da adição. Assim, se x + y = z, logo x + y + 0 = z.

Fechamento: A soma de dois números naturais será sempre um número natural.

Anulação: A soma de qualquer número e o seu oposto é zero.

Exemplos:

2 + (-2) = 0

(-999) + 999 = 0

Adição de números decimais:

Para adicionarmos dois ou mais números decimais é preciso colocar vírgula em baixo de vírgula.

Para fazermos qualquer adição, devemos saber que os números somados são chamados de parcelas e o resultado de soma total e que as parcelas tem que ser adicionadas da maior pela menor.

Exemplos:

a) 4,879 + 13,14

b) 2 + 1, 751

c) 0,3 + 1

Fonte: usjtmatematica.files.wordpress.com

Adição

A adição de números naturais

A primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.

Propriedades da Adição com números naturais

Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural.

O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N.

Por exemplo:

Adição

Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.

Por exemplo:

Adição

Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.

Por exemplo:

Adição

Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.

Por exemplo:

Adição

Fonte: pessoal.sercomtel.com.br

Adição

Arme e efetue! Parece frase de filme de máfia, mas você já ouviu e leu essa frase muitas vezes durante a infância, sendo que em seguida via algo do tipo: “54 + 30 + 18 = ?”. Essa é a adição, a primeira entre as quatro operações fundamentais da matemática. É a combinação de dois ou mais números que resultam em outro número chamado “soma”. E os números que são “somados” são chamados de “parcelas”.

Em homenagem aos bons e velhos tempos, vamos armar e efetuar as parcelas 21 + 32 + 15:

1º Passo: somar a primeira coluna à direita, que é a coluna das unidades:

21
Adição
Parcela
33
Adição
Parcela
+15
Adição
Parcela
9
Adição
Soma

2º Passo: somar a próxima coluna à esquerda, que é a coluna das dezenas:

21
Adição
Parcela
33
Adição
Parcela
+15
Adição
Parcela
69
Adição
Soma

 

Resultado: 21 + 32 + 15 = 69

Bateu uma saudadezinha dos primeiros anos de escola com esse exercício? Então vamos seguir a sessão nostalgia com um daqueles exercícios em que a soma de uma coluna resultava em dois dígitos.

Vamos somar 489 + 57 + 28:

1º Passo:como na coluna das unidades temos 9 + 7 + 8 = 24, anotamos apenas o 4 embaixo da coluna das unidades e enviamos o 2 lá pra cima da coluna das dezenas.

  2 
489
   57
+28
4

 

2º Passo: agora, repete-se o mesmo processo na coluna das dezenas, tratando o 2 que foi para o topo da coluna como um número a ser somado.

2 + 8 + 5 + 2 = 17, anota-se o 7 na soma e o 1 sobe pra coluna das centenas.

12   
489
   57
+28
74

 

3º Passo: Apenas repetimos o que foi feito até agora, desta vez na coluna das centenas:

12   
489
   57
+28
574

 

Resultado: 489 + 57 + 28 = 574

Isso que acabamos de fazer é utilizar o “algoritmo” da adição. “Armar e efetuar” uma expressão numérica é obter o resultado através de um algoritmo. Um algoritmo nada mais é do que a execução dos passos necessários para realizar uma tarefa. É uma seqüência finita e bem definida de instruções, como uma receita de bolo. No caso da adição, o “bolo” é a soma, os “ingredientes” são as parcelas e a maneira mecânica como as parcelas vão sendo agregadas é a “receita”.

Propriedades da adição

Existem algumas propriedades da adição que sabemos de cor e salteado sem pensar muitos sobre elas. São informações que utilizamos como que intuitivamente.

A mais famosa, sem dúvida, é a propriedade “comutativa” que afirma que a ordem das parcelas não altera a soma, também interpretada popularmente como “a ordem dos tratores não altera o viaduto”.

Em linguagem mais formal, dizemos assim:

Propriedade comutativa: a + b = b + a

Outra propriedade famosa é a associativa.

Essa diz que a na adição as parcelas podem ser somadas de formas diferentes e mesmo assim a soma não se altera:

Propriedade associativa: a + (b + c) = (a + b) + c

Se nós somarmos zero a qualquer número, sabemos que o resultado é o próprio número. Uau! Que descoberta fantástica diria o leitor diria o irônico leitor.

Mas o fato é que os matemáticos deram nome a essa propriedade que pode ser chamada de propriedade modular ou do elemento neutro:

Propriedade modular: a + 0 = a (o elemento neutro é o zero)

Além dessas que são as mais conhecidas, ainda existem outras propriedades da adição que aprendemos na prática ao longo dos anos não sabendo às vezes que em teoria existe um nome pra todas elas:

Propriedade da unicidade:  se a = b e c = d Adição a + c = b + d

Propriedade redutiva: a + c = b + c logo a = b

Propriedade monotônica: se c > d Adição a + c > a + d

Fonte: www.qieducacao.com

Adição

OPERAÇÃO FUNDAMENTAL - ADIÇÃO

Adição: é a operação que determina um número natural para representar a junção de quantidades.

Para indicar a adição usaremos o sinal + (mais).

+

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7

8

9 10 11
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Propriedades:

A adição de números naturais é comutativa.

          a + b = b + a   ou   1 + 2 = 2 + 1    

O zero é o elemento neutro da adição.

          0 + a = a = a + 0   ou   0 + 3 = 3 = 3 + 0

A adição de números naturais é associativa.

          (a + b) + c = a + (b + c)   ou   (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3)

A soma de números naturais é sempre um número natural.

          a + b = número natural

Fonte: www.exatas.net

Adição

Símbolo de Adição "+"

O sinal de adição "+" utilizado atualmente têm sua história, e nesta encontramos evolução, invenções, imposições e aceitações.

O emprego regular do sinal aditivo "+" ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d’Eger publicada em Leipzig em 1489. Entretanto, representavam não à adição ou números positivos, mas aos excessos em problemas de negócio.

Entretanto, os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a adição juntapondo as parcelas (sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração). Como sinal de operação mais usavam os algebristas italianos a letra p, inicial da palavra latina plus. Com a velocidade da escrita foi derivando em duas linhas cruzadas que terminaram convertendo no sinal "+" que usamos hoje em dia.

Por outro lado, segundo Venturi, o primeiro a empregar o símbolo de “+” para a adição em expressões aritméticas e algébricas foi o holandês V. Hoecke em 1514. Há historiadores, porém, que creditam tal mérito a Stifel (1486-1567).

Uma explicação razoável é que até então, a adição de dois números, por exemplo 3 + 2 era representada por 3 et 2.

Com o passar dos anos, a conjunção latina et (que significa e) foi sincopada para “t”, donde se originou o sinal de “+”.

Fonte: matheusmathica.blogspot.com.br

 

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