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Arquimedes

 

Arquimedes
Arquimedes

Arquimedes de Siracusa

Nascimento: 287 AC em Siracusa, Sicília
Morte: 212 AC em Siracusa, Sicília

Arquimedes, filho do astrônomo Fídeas, era nativo de Siracusa, na Sicília. Há relatos de sua visita ao Egito, onde inventou um sistema de bombeamento chamado Parafuso de Arquimedes, em uso ainda hoje.

Há indícios muito fortes de que em sua juventude, Arquimedes tenha estudado com os sucessores de Euclides, em Alexandria. Com certeza ele era completamente familiarizado com a Matemática lá desenvolvida, conhecendo pessoalmente os matemáticos daquela região. Ele mesmo mandava alguns de seus resultados para Alexandria com mensagens pessoais.

No prefácio de Sobre espirais Arquimedes nos conta uma história curiosa acerca de seus amigos em Alexandria. Ele tinha o hábito de mandar o texto de seus últimos teoremas, mas sem as demonstrações. Aparentemente alguém em Alexandria estava roubando os resultados de Arquimedes e afirmando que eram seus. Na última vez que fez isso, enviou dois resultados falsos...

... aqueles que afirmam descobrir tudo, mas não produzem provas de suas afirmações, podem estar enganados fingindo descobrir o impossível.

De fato, existem inúmeras referências a Arquimedes nos escritos de sua época, dada a reputação quase sem par que ele ganhou neste período. Curiosamente a razão para isso não era um interesse generalizado em Matemática, mas sim nas máquinas que inventou para serem usadas na guerra. Estas armas foram particularmente eficientes na defesa de Siracusa contra os Romanos, liderados por Marcelo.

Escreve Plutarco

... quando Arquimedes começou a manejar suas máquinas, ele de uma só vez atirou contra as forças terrestres todos os tipos de mísseis, e imensas massas de rocha que caíram com barulho e violência inacreditáveis, contra as quais nenhum homem poderia resistir em pé ...

Outras invenções de Arquimedes, como a polia composta, também colaboraram para que sua fama se perpetuasse.

Novamente citando Plutarco:

[Arquimedes] afirmou [em uma carta ao Rei Hierão] que, dada uma força, qualquer peso poderia ser movido, e até mesmo se gabando, disse que se houvesse outra Terra, esta poderia ser movida. Hierão maravilhou-se com isto e pediu uma demonstração prática. Arquimedes tomou um dos navios da frota do rei - que não podia ser movido a não ser por muitos homens - carregou-o com muitos passageiros e lotou-o de carga. Arquimedes colocou-se a distância e puxou as polias, movendo o navio em linha reta suavemente, como se estivesse no mar.

Mesmo tendo Arquimedes obtido fama por suas invenções mecânicas, ele acreditava que a Matemática em sua forma mais pura era a única coisa que valia a pena.

As conquistas de Arquimedes são de tirar o fôlego. Ele é considerado por muitos historiadores como um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ele chegou a aperfeiçoar um método de integração que permitia calcular áreas, volumes e áreas de superfícies de muitos corpos.

Arquimedes foi capaz de aplicar o método da exaustão, que é uma forma primitiva de integração, para obter uma vasta gama de resultados importantes, alguns dos quais chegaram até os dias de hoje:

O tratado Sobre equilíbrios planos aborda os princípios fundamentais da mecânica, usando métodos geométricos. Arquimedes descobriu teoremas fundamentais a respeito do centro de gravidade de figuras planas, todos constantes deste trabalho. Em particular ele encontra, no livro 1, o centro de gravidade do paralelogramo, do triângulo e do trapézio.

O livro 2 é inteiramente devotado a encontrar o centro de gravidade de um segmento de parábola. Na Quadratura da parábola Arquimedes encontra a área de um segmento de parábola formado pelo corte de uma corda qualquer.

No primeiro volume de Sobre a esfera e o cilindro Arquimedes mostra que a superfície de uma esfera é quatro vezes a do grande círculo, acha a área de qualquer segmento da esfera, mostra que o volume de uma esfera é dois terços do volume do cilindro circunscrito, e que a superfície da esfera é dois terços da superfície do cilindro circunscrito, incluindo-se as bases.

Em Sobre espirais Arquimedes define uma espiral e estabelece as propriedades fundamentais relacionando o comprimento do vetor raio com os ângulos de revolução que geram as espirais. Ele também apresenta resultados sobre tangentes às espirais, bem como demonstra como calcular áreas de partes da espiral.

Em Sobre conóides e esferóides Arquimedes examina os parabolóides de revolução, hiperbolóides de revolução e esferóides obtidos pela rotação de uma elipse em torno de um de seus eixos.

Sobre corpos flutuantes é o trabalho onde Arquimedes estabelece os princípios básicos da Hidrostática. Seu teorema mais famoso - que dá o peso de um corpo imerso em um líquido - chamado Princípio de Arquimedes, consta deste trabalho.

Em Medidas do círculo Arquimedes mostra que o valor exato de situa-se entre 310/71 e 31/7. Ele obteve este resultado circunscrevendo e inscrevendo um círculo com polígonos regulares com 96 lados!

O Contador de areia é um trabalho memorável em que Arquimedes propõe um sistema numérico capaz de expressar números até 8x1016 (em notação moderna). Seu argumento é de que este número seria suficiente para contar o número de grãos de areia do Universo. Bem, naturalmente Arquimedes enfrentou o problema anterior: o tamanho do Universo. Quando cita resultados acerca do tamanho do Universo, ele usa resultados de Euxodo, Fídias (seu pai) e Aristarco.

Há referências a outros trabalhos de Arquimedes, que estão hoje perdidos. Pappus refere-se a um trabalho de Arquimedes sobre poliedros semi-regulares e o próprio Arquimedes refere-se a um trabalho sobre o sistema numérico proposto no Contador de areia. Pappus também menciona um tratado sobre balanças e alavancas, e Theon menciona um tratado sobre espelhos.

Arquimedes foi morto em 212 AC durante a captura de Siracusa pelos Romanos na segunda guerra Púnica, depois que todos seus esforços para manter os romanos na baía com suas máquinas de guerra falharam.

Fonte: www.ime.unicamp.br

Arquimedes

Um dos maiores matemáticos do século III a.C., natural da cidade de Siracusa, localizada na ilha da Sicília. Nasceu aproximadamente no ano 287 a.C. e morreu durante a Segunda Guerra Púnica em Siracusa em 212 a.C.. Era filho de um astrônomo e também adquiriu uma reputação em astronomia.

Arquimedes pode ter estudado por algum tempo em Alexandria com os alunos de Euclides, e manteve comunicação com os matemáticos de lá, como Cônon, Dosite e Eratóstenes.

Diz a lenda que Siracusa resistiu ao sítio de Roma por quase três anos, devido as engenhosas máquinas de guerra inventadas por Arquimedes para deixar seus inimigos à distância.

Entre elas: catapultas para lançar pedras; cordas, polias e ganchos para levantar e espatifar os navios romanos; invenções para queimar os navios.

Os trabalhos de Arquimedes exibem grande originalidade, habilidade computacional e rigor nas demonstrações. Há cerca de dez tratados que foram preservados até hoje e há vestígio de outros.

Os tratados sobre geometria plana são: A medida de um Círculo onde Arquimedes inaugurou o método clássico para cálculo de Arquimedes; A quadratura da parábola constituído de vinte e quatro proposições onde mostra que a área de um segmento parabólico é quatro terços da área do triângulo inscrito de mesma base e de vértice no ponto onde a tangente é paralela à base. Esta dedução envolve a soma de uma série geométrica convergente; Sobre as Espirais composto por vinte e oito proposições onde são dedicadas as propriedades da curva (conhecidas hoje como aspiral de Arquimedes) e cuja equação polar Arquimedes é , em particular, encontra-se a área compreendida pela curva e por dois raios vetores de maneira essencialmente igual ao que seria hoje um exercício de cálculo integral.

Através dos árabes sabemos que a fórmula usual para a área de um triângulo em termos de seus lados, conhecida como fórmula de Heron Arquimedes- onde s é o semiperímetro - era conhecida por Arquimedes vários séculos antes de Heron ter nascido. Papus menciona em seus trabalhos o tratado de Arquimedes Sobre alavancas e Têon cita em seus trabalhos um teorema de Arquimedes encontrado no tratado Sobre a Teoria dos Espelhos.

Os tratados sobre geometria espacial são: Sobre a Esfera e o Cilindro escrito em dois volumes e constituído de cinqüenta e três proposições trata, entre outras coisas, do teorema que fornece as áreas de uma esfera e de uma calota esférica. Mostra que a área de uma superfície esférica é exatamente dois terços da área da superfície total do cilindro circular reto circunscrito a ela e que o volume da esfera é exatamente dois terços do volume do mesmo cilindro. O livro II inclui o problema de seccionar uma esfera com um plano de maneira a obter dois segmentos esféricos cujos volumes estejam numa razão dada. Esse problema leva a uma equação cúbica onde é feita uma discussão relativa s condições sob as quais a cúbica pode ter uma raiz real positiva.

Arquimedes escreveu pequenas obras sobre aritmética, uma delas é O contador de areia, que trata de uma curiosa questão: como determinar a quantidade de grãos de areia capaz de preencher uma esfera de centro na Terra e raio alcançando o Sol., ou seja, do tamanho do universo. Nesta obra encontramos observações relacionadas com astronomia, onde Arquimedes utilizou o modelo de universo de Aristarco de Samos, que antecipou a teoria heliocêntrica de Copérnico. Arquimedes vai calculando a quantidade de areia necessária para encher um dedal, um estádio, o volume da Terra e assim por diante, até encher todo o universo. Ao mesmo tempo e paralelamente, vai desenvolvendo um sistema de numeração (que levou a invenção dos logaritmos) capaz de exprimir os valores encontrados neste calculo. Há também o Problema do Gado que envolve oito incógnitas inteiras relacionadas por sete equações lineares e sujeitas ainda a duas condições adicionais a saber, que a soma de certo par de incógnitas um quadrado perfeito e que a soma de outro par determinado de incógnitas é um número triangular. Sem as condições adicionais, os menores valores das incógnitas são números da ordem de milhões; com essas condições, uma das incógnitas deve ser um número com mais que 206 500 dígitos!

Há dois trabalhos de Arquimedes sobre matemática aplicada: Sobre o Equilíbrio de Figuras Planas e Sobre os Corpos Flutuantes. O primeiro deles consta de dois livros e contém vinte e cinco proposições onde mediante um tratamento postulacional, obtêm-se as propriedades elementares dos centróides e se determinam centróides de várias áreas planas, terminando com a do segmento parabólico e a de uma área limitada por uma parábola e duas cordas paralelas. Sobre os Corpos Flutuantes é composto por dois livros com noventa proposições, e representa a primeira aplicação da matemática à hidrostática. O tratado baseia-se em dois postulados, desenvolvendo primeiro as leis familiares da hidrostática e depois considera alguns problemas muito mais difíceis, concluindo com um estudo notável sobre a posição de repouso e estabilidade de um segmento (reto) de parabolóide de revolução mergulhado num fluido.

O tratado O Método encontra-se na forma de uma carta endereçada a Eratóstenes e é importante devido às informações que fornece sobre o método que Arquimedes usava para descobrir muitos de seus teoremas. Arquimedes o usava de maneira experimental para descobrir resultados que ele então tratava de colocar em termos rigorosos mediante o método de exaustão.

Atribuem-se dois outros trabalhos perdidos a Arquimedes: Sobre o Calendário e Sobre a Construção de Esferas. Neste último havia a descrição de um planetário construído por ele para mostrar os movimentos do Sol, da Lua e dos cinco planetas conhecidos em seu tempo. Provavelmente o mecanismo era acionado pela água.

A invenção mecânica de Arquimedes mais conhecida é a bomba de água em parafuso, construída por ele para irrigar campos, drenar charcos e retirar água de porões da navios. O engenho ainda hoje é utilizado no Egito.

Fonte: www.ime.usp.br

Arquimedes

Arquimedes,  filho de um astrônomo, foi o maior cientista e matemático da antiguidade. Estudou em Alexandria, onde seu professor Cônon havia sido, em seu tempo, aluno de Euclides. Regressou a sua cidade natal, provavelmente por causa das suas boas relações com o rei de Siracusa, Hierão II.

Hierão pediu ao seu brilhante amigo para determinar se uma coroa, que havia acabado de receber do ourives, era realmente de ouro, como deveria ser, ou se tratava de uma liga de prata.

Arquimedes  foi intimado a realizar suas determinações sem estragar a coroa.

O físico não atinava como proceder até que um belo dia, entrando em uma banheira cheia, notou que a água transbordava. Repentinamente ocorreu-lhe que a quantidade de água transbordada era igual em volume à parte do corpo nela mergulhada. Raciocinou então que, se mergulhasse a coroa na água, poderia determinar seu volume pela subida do liquido.

Poderia mais ainda:  comparar este dado com o volume de um pedaço de ouro de igual peso. Se os volumes fossem iguais, a coroa seria de ouro puro. Se a coroa fosse feita de uma liga de prata (mais volumosa que o ouro), teria um volume maior.

Excitado ao mais alto grau pela sua descoberta do princípio de flutuabilidade,  Arquimedes  pulou para fora da banheira, e, completamente nu, correu pelas ruas de Siracusa até o palácio real aos gritos de Achei! Achei! (É preciso salientar que a nudez não perturbava tanto os gregos quanto a nós). Como  Arquimedes  falava grego, o que disse foi Eureka! Eureka! Esta expressão é usada desde então como exclamação apropriada ao prenúncio de uma descoberta. (A conclusão da história é de que a coroa incluía certa percentagem de prata, tendo sido o ourives executado).

Arquimedes  também desenvolveu o princípio da alavanca. Demonstrou que um pequeno peso situado a uma certa distância do ponto de apoio da alavanca pode contrabalançar um peso maior situado mais perto, sendo assim peso e distância inversamente proporcionais. O principio da alavanca explica por que um grande bloco de pedra pode ser levantado por um pé de cabra.

Também calculou o valor de pi, obtendo um resultado melhor do que qualquer outro até então obtido no mundo clássico.

Demonstrou que o valor real se encontrava entre 223/71 e 220/70. Usou para esse fim o método que consiste em calcular as circunferências e os diâmetros de polígonos traçados dentro e fora do círculo. Ao acrescentarem-se lados ao polígono, este se aproxima cada vez mais do círculo, em tamanho e área. Poderíamos considerar que dois mil anos antes de Newton, este brilhante homem foi precursor do Cálculo Diferencial e Integral.

Mas  Arquimedes  não terminou os seus dias em paz. Sua fama maior é a de guerreiro. Hierão II mantinha um tratado de aliança com Roma e ele se manteve fiel. Após a sua morte, seu neto, Jerônimo, tomou o poder. Roma sofreu sua pior derrota em Canas e, durante certo tempo, pareceu prestes a ser esmagada, Jerônimo, desejoso de permanecer ao lado do vencedor aliou-se a Cartago. Mas os romanos ainda não estavam vencidos. Enviaram uma frota sob o comando do General Marcelo, contra Siracusa, dando inicio então a uma guerra de três anos, a que moveu a frota romana contra um único homem,  Arquimedes.

Segundo a tradição, os romanos teriam tomado a cidade rapidamente, não fossem as armas engenhosas inventada pelo grande cientista. Teria construído grandes lentes destinadas a incendiar a frota, guindastes mecânicos para levantar os navios e vira-los de cabeça para baixo, etc. Ao fim da história, parece que os romanos não se atreviam a se aproximar dos muros da cidade, fugindo ao menor fio que sobre eles surgisse convencido que o temível  Arquimedes  os estava destruindo com invenções novas e monstruosas.

Durante o saque da cidade,  Arquimedes, com um soberbo e erudito desdém para com a realidade, entregou-se a um problema matemático. Um soldado romano encontrou-o inclinado sobre uma figura geométrica desenhada na areia e ordenou-lhe que o acompanhasse.

Arquimedes  apenas respondeu por gestos:  "Não perturbe meus círculos!”.

O soldado romano, aparentemente um homem prático, sem tempo para brincar, matou  Arquimedes  e seguiu em frente. Marcelo, que havia dado ordens para capturar  Arquimedes  com vida e para tratá-lo com distinção, lamentou sua morte e ordenou funeral condigno, tratando os parentes do grande homem com relativa suavidade.

Fonte:  br.geocities.com

Arquimedes

Arquimedes  deu grandes contribuições à matemática teórica. Além disso, é famoso por aplicar a ciência à vida diária. Por exemplo, descobriu o princípio que leva seu nome enquanto se banhava. Também desenvolveu máquinas singelas como a alavanca ou o parafuso, e aplicou-as a usos militares e de irrigação.

Arquimedes  (287-212 a.C.), famoso matemático e inventor grego. Escreveu importantes obras sobre geometria plana e espacial, aritmética e mecânica.

Nasceu em Siracusa, na Sicília, e estudou em Alexandria, no Egito. Antecipou-se a muitas das descobertas da ciência moderna no campo da matemática pura, como o cálculo integral, com seus estudos sobre áreas e volumes de figuras sólidas curvas e sobre as áreas de figuras planas. Demonstrou também que o volume de uma esfera equivale a dois terços do volume do cilindro que a circunscreve.

Em mecânica, definiu a lei da alavanca e é considerado o inventor da polia composta. Durante sua estada no Egito, inventou o "parafuso sem fim" para elevar o nível da água. Mas é conhecido principalmente por ter enunciado a lei da hidrostática, o chamado princípio deArquimedes. Essa lei estabelece que todo corpo submerso em um fluido experimenta perda de peso igual ao peso do volume do fluido que o corpo desloca.

Diz-se que essa descoberta foi feita enquanto o matemático se banhava e meditava sobre um problema que lhe fora apresentado pelo rei:  como distinguir uma coroa de ouro puro de outra que contivesse prata. Observando o deslocamento e transbordamento da água à medida que seu corpo submergia, concluiu que se a coroa, ao submergir, deslocasse quantidade de água equivalente a seu peso em ouro, isto significaria que não continha outro metal. Conta-se que ficou tão entusiasmado que saiu nu para a rua gritando heureka, palavra grega que significa "achei".

Arquimedes  passou a maior parte de sua vida na Sicília, em Siracusa e arredores, dedicado à pesquisa e aos experimentos. Embora não tivesse nenhum cargo público, durante a conquista da Sicília pelos romanos pôs-se à disposição das autoridades e muitos de seus instrumentos mecânicos foram utilizados na defesa de Siracusa. Entre os aparatos de guerra cuja invenção lhe é atribuída está a catapulta e um sistema de espelhos (talvez lendário) que incendiava as embarcações inimigas ao focá-las com os raios de sol.

Durante a conquista de Siracusa, na segunda Guerra Púnica, foi assassinado por um soldado romano que o encontrou desenhando um diagrama matemático na areia.

Conta-se que  Arquimedes  estava tão absorto em suas operações que ofendeu o intruso ao dizer-lhe:  "Não desmanche meus diagramas". Muitas de suas obras sobre matemática e mecânica foram preservadas, entre elas o Tratado dos corpos flutuantes, Arenário e Sobre o equilíbrio dos planos.

Alavanca, máquina simples que consiste normalmente em uma barra rígida móvel em torno de um ponto fixo, denominado fulcro ou ponto de apoio. O efeito de qualquer força aplicada à alavanca faz com que esta gire em relação ao fulcro. A força rotativa é diretamente proporcional à distância entre o fulcro e a força aplicada.

No tipo mais comum de alavanca, aplica-se um esforço relativamente pequeno ponta mais distante do fulcro, para levantar um grande peso próximo a este. Muitas ferramentas, como o quebra-nozes e o carrinho de mão, são baseadas no princípio da alavanca.

Polia, dispositivo mecânico de tração ou elevação, formado por uma roda montada em um eixo, com uma corda rodeando sua circunferência. A roda e seu eixo podem ser considerados tipos especiais de alavanca. Com um sistema de polias móveis (também chamado cadernal), é possível levantar grandes pesos com muito pouca força.

O segundo princípio importante da estática dos fluidos foi descoberto por  Arquimedes. O princípio de  Arquimedes  afirma que todo corpo submerso num fluido experimenta uma força para cima igual ao peso do fluido deslocado por aquele corpo. Isso explica como um navio pesado consegue flutuar. Também permite determinar a densidade de um objeto cuja forma seja tão irregular que seu volume não possa ser medido diretamente.

Mecânica de fluidos, parte da física que se ocupa da ação dos fluidos em repouso ou em movimento, assim como das aplicações e mecanismos de engenharia que os utilizam. A mecânica de fluidos é fundamental em campos tão diversos como a aeronáutica (ver Avião), a engenharia química, civil e industrial, a meteorologia, a construção naval (ver Navios e construção naval) e oceanografia.

Pode ser subdividida em dois campos principais:  a estática dos fluidos, ou hidrostática, que se ocupa de fluidos em repouso, e a dinâmica de fluidos, que trata de fluidos em movimento. O termo "hidrodinâmica" aplica-se ao fluxo de líquidos ou ao fluxo de gases a baixa velocidade em que o gás é essencialmente incompressível. A hidráulica lida principalmente com a utilização da pressão da água ou do óleo em engenharia.

Entre as aplicações da mecânica de fluidos estão a propulsão a jato, as turbinas, os compressores e as bombas (Ar comprimido).

ESTÁTICA DOS FLUIDOS

Uma característica fundamental de qualquer fluido em repouso é que a força exercida sobre qualquer partícula do fluido é a mesma em todas as direções. Esse conceito é conhecido como lei de Pascal. Quando a gravidade é a única força que atua sobre um líquido colocado num recipiente aberto, a pressão em qualquer ponto do líquido é diretamente proporcional à profundidade do ponto, e é independente do tamanho ou forma do recipiente.

DINÂMICA DE FLUIDOS

Lida com as leis dos fluidos em movimento. O primeiro avanço importante foi feito por Evangelista Torricelli, que relacionou a velocidade de saída de um líquido pelo orifício de um recipiente com a altura do líquido situado acima de tal orifício (teorema de Torricelli). O grande avanço seguinte no desenvolvimento da mecânica de fluidos teve que aguardar a formulação das leis do movimento pelo matemático e físico inglês Isaac Newton. Essas leis foram aplicadas aos fluidos pelo matemático suíço Leonhard Euler. Ele foi o primeiro a reconhecer que as leis da dinâmica de fluidos só podem expressar-se de forma relativamente simples se se supõe que o fluido é incompressível e ideal, isto é, se se pode ignorar os efeitos do atrito e a viscosidade. Mas como esse nunca é o caso de fluidos reais em movimento, os resultados de tal análise só podem servir como uma estimativa para os fluxos em que os efeitos da viscosidade são pequenos. Tais fluidos seguem os princípios do teorema de Bernoulli.

As leis da mecânica dos fluidos podem ser observadas em muitas situações cotidianas. Por exemplo, a pressão exercida pela água no fundo de um tanque é igual à exercida pela água no fundo de um tubo estreito, desde que a profundidade seja a mesma. Se um tubo comprido cheio de água for inclinado, de forma que sua altura máxima seja de 15 m, a pressão será a mesma que nos outros casos (esquerda). Num sifão (direita), a força hidrostática faz com que a água flua para cima, por sobre a borda, até que se esvazie o cubo ou se interrompa a sucção.

Fonte:  www.vestibular1.com.br

Arquimedes

Arquimedes

Inventor, engenheiro, mecânico, matemático, astrônomo e filósofo grego, nasceu em Siracusa, cidade-estado grega de Siracusa, na ilha da Sicília, no litoral do Mar Jônico, sem dúvida o mais genial cientista da Grécia antiga. Reinava então Híeron II, de quem provavelmente era parente. Filho de um astrônomo, estudou em Alexandria, grande centro cultural da época, onde foi discípulo de Euclides em Ciências Matemáticas, e depois voltou a Siracusa, onde permaneceu até a morte.

Depois da morte de Híeron (216 a. C.), Siracusa foi sitiada pelas tropas romanas mas pôde resistir durante mais de três anos, graças aos engenhos bélicos de  Arquimedes, que construiu poderosas catapultas, com as quais os soldados gregos atacavam os invasores. Seus engenhos de guerra, suas máquinas e as lendas que circulavam sobre suas invenções tornaram-no conhecido em todo o mundo antigo. Finalmente, após cruentas lutas, Siracusa rendeu-se às tropas romanas, comandadas pelo cônsul Marcelo. Durante o massacre que se seguiu tomada da cidade (212 a. C.), contrariando as ordens de Marcelo, um soldado romano aproximou-se do brilhante cientista e o matou.

Em atenção a um desejo seu, serviu-lhe de epitáfio a figura de uma esfera inscrita num cilindro, em honra do que ele considerava sua mais importante descoberta:  a relação entre os volumes dos dois sólidos.

Da corrente que aliava a pesquisa à prática, essencialmente era um matemático, mas se distraía resolvendo emergências mecânicas, das quais sempre saía gabando-se da solução. Tornou-se conhecido pelos estudos de hidrostática e por suas invenções, como o parafuso sem ponta para elevar água. Também ganhou fama durante a segunda Guerra Púnica, onde se dedicou a inventar engenhosos artefatos bélicos com funcionamento a base de polias, cordas e ganchos, para defesa da sua cidade contra o cerco imposto pelos romanos, em virtude do apoio dela aos cartagineses. Construiu um espelho gigante que refletia os raios solares e queimava à distância os navios inimigos. Muitas das descobertas foram fundamentais para a mecânica, como por exemplo, o princípio da alavanca. Com base neste princípio, foram construídas catapultas que também ajudaram a resistir aos romanos. Depois de mais de dois anos de luta a cidade caiu, foi saqueada e ele morto por um soldado romano. São conhecidos dez dos seus escritos que tratam, principalmente, de princípios e postulados sobre hidrostática (empuxo e flutuação dos corpos), mecânica, astronomia, etc.

As conclusões de  Arquimedes  foram básicas para a evolução da mecânica grega e para o desenvolvimento de estudos do comportamento dos fluidos em geral. Os trabalhos matemáticos foram os que ele mesmo considerou mais importantes. Matematicamente seus estudos baseavam-se na geometria euclidiana e nestes destacam-se o estudo da espiral na obra Sobre Espiral e da parábola na Quadratura da Parábola, onde registrou o célebre axioma sobre áreas de  Arquimedes. Em Sobre a Esfera e o Cilindro, parecendo que este foi seu trabalho preferido, provou que a área de uma esfera é quatro vezes a área do seu círculo máximo, entre outras deduções importantes como o cálculo do seu volume. Enunciou a relação entre área e volume dos sólidos geométricos, estabeleceu a relação entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro, onde definiu o valor de "pi" como 22/7.

Demonstrou que a área de um segmento de parábola é igual a 4/3 da área de um triângulo com base e altura iguais aos do segmento e determinou a área da elipse e os volumes dos elipsóides e parabolóides de revolução. No livro Arenário empregou um sistema de notação numérica baseado nos expoentes, o que evitava as desvantagens do sistema grego de numeração e permitia operar com grandes quantidades. Na mecânica sua mais notável publicação foi Sobre o Equilíbrio de Planos, onde se destaca o axioma de simetria deArquimedes  (lei da alavanca por princípios estáticos). No campo dos fluidos destaca-se a publicação em dois volumes, Sobre Corpos Flutuantes, onde trata de princípios de empuxos e flutuação de corpos sólidos e parabolóides, como por exemplo, o que afirma que um corpo mergulhado em um fluido em repouso, sofre uma impulsão de baixo para cima igual ao peso de igual volume do mesmo fluido (a famosa estória da Eureka!).

Provavelmente foi ainda em Alexandria, interessado no problema técnico que era elevar água do Rio Nilo para irrigação dos vales, que este sábio desenvolveu um engenho feito de tubos em hélices presos a um eixo inclinado, hoje denominado de parafuso de Arquimedes  (260 a. C.), equipamento este, origem das hoje denominadas de bombas parafuso. É considerado o maior matemático de toda a idade antiga, pois abriu novos caminhos na geometria sólida, lançou as bases do cálculo integral e criou um novo sistema para representar números grandes. Para alguns historiadores é o verdadeiro pai da Física Matemática.

Pelo menos duas ciências devem seus fundamentos a este cientista:  a estática (estudo do equilíbrio dos corpos) e a hidrostática (estudo do equilíbrio dos líquidos).

Enquanto, por exemplo, muito dos Elementos de Euclides, foram compilações, extensões e aperfeiçoamentos de trabalhos feitos por outros, enquanto que cada obra do engenheiro de Siracusa foi uma contribuição original ao conhecimento físico ou matemático e algumas muito importantes chegaram quase intactas até hoje e várias outras foram perdidas.

Fontewww.dec.ufcg.edu.br

Arquimedes

Um problema preocupava Hierão, tirano de Siracusa, no século III a.C.:  havia encomendado uma coroa de ouro, para homenagear uma divindade, mas suspeitava que o ourives o enganara, não utilizando ouro maciço em sua confecção.

Como descobrir, sem danificar o objeto, se seu interior continha uma parte feita de prata?

Só um homem talvez conseguisse resolver a questão:  seu amigo  Arquimedes, famoso matemático e inventor de vários engenhos mecânicos. Hierão mandou chamá-lo e pediu-lhe urna resposta que pusesse fim à sua dúvida.  Arquimedes  aceitou a incumbência e pôs-se a procurar a solução para o problema. Esta lhe ocorreu durante o banho. Observou que a quantidade de água que se elevava na banheira, ao submergir, era equivalente ao volume de seu próprio corpo. Ali estava a chave para resolver a questão proposta pelo tirano.

No entusiasmo da descoberta,  Arquimedes  saiu nu pelas ruas, gritando:  Eureka! Eureka! ("Achei! Achei!").

Agora, bastava aplicar o método que descobrira. Mediu então a quantidade de água que transbordava de um recipiente cheio, quando nele mergulhava, sucessivamente, o volume de um peso de ouro igual ao da coroa, o volume de um peso de prata igual ao da coroa e o volume da própria coroa. Este, sendo intermediário aos outros dois, permitia determinar a proporção de prata que fora misturada ao ouro.

Essa passagem parece ser uma das muitas lendas que, desde a Antiguidade, envolveram a vida de  Arquimedes. Na verdade, para resolver um problema daquele tipo, relativo à determinação do peso específico de um metal, ele precisava apenas aplicar o princípio que rege o fenômeno do empuxo (força vertical que empurra para cima um corpo imerso em um fluido). Esse princípio - que explica porque um navio flutua na água e porque um aeróstato sobe no ar - foi estabelecido por  Arquimedes  nos seus dois livros,

Sobre os corposflutuantes, com os quais inaugurou um novo ramo da ciência física:  a hidrostática.

No primeiro daqueles dois livros, ele enuncia o princípio que se tornou conhecido como "princípio de  Arquimedes":  "Um sólido mais pesado que o fluido em que está imerso vai para o fundo do fluido, e se é pesado dentro do fluido ele será mais leve que seu verdadeiro peso, de um peso igual ao fluido deslocado".

Entretanto, essa conclusão não era, de modo algum, fruto de um súbito "estalo". Representava o coroamento de uma longa tradição científica que, desde o século VI a.C., desenvolvera as pesquisas matemáticas e buscava uma explicação racional para os diferentes fenômenos observados. A glória de  Arquimedes  consistiu, porém, em não apenas fazer avançar as matemáticas abstratas - ampliando as conquistas dos grandes matemáticos do passado, como Pitágoras, Tales, Árquitas de Tarento, Eudoxo e Euclides -, mas em ser igualmente um grande físico, engenheiro e técnico genial: inventava e fabricava aparelhos destinados às suas próprias pesquisas, e criava inclusive máquinas de guerra temíveis por sua efícácia. Representando o apogeu da ciência grega, é considerado o precursor do método experimental nas ciências fisico-matemáticas.

Arquimedes
Parafuso de  Arquimedes

Filho do astrônomo Fídias,  Arquimedes  nasceu em 287 a.C., em Siracusa, na Sicília, que então fazia parte da Grécia ocidental ou Magna Grécia. Embora os dados fantasiosos permeiem todos os informes sobre sua vida, parece certo que estudou em Alexandria (Egito), um dos grandes centros culturais da época. Ali teria conhecido Euclides, já velho, e seus discípulos imediatos; e o matemático Canon de Samos, de quem se tornou amigo. Não é certo, porém, que ali tivesse criado o chamado "parafuso de  Arquimedes", empregado para retirar água das minas do Egito. Na verdade, esse aparelho já existia, ao que parece, há bastante tempo, sendo utilizado para tirar água do Nilo.

Reduzindo o equilíbrio de forças a um simples problema geométrico, estudou o equilíbrio dos sólidos, o funcionamento da alavanca e o movimento dos corpos celestes, além de ter organizado uma coleção - a mais completa da Antiguidade - de figuras planas com os centros de gravidade perfeitamente localizados. Além disso, também procurava utilidades práticas para suas descobertas. Extraordinário engenheiro, construiu, segundo depoimento de Cícero (106 - 43 a.C.), um planetário que reproduzia os diferentes movimentos dos corpos celestes; e um aparelho para medir as variações do diâmetro aparente do Sol e da Lua, um protótipo do modelo, mais requintado, que será construído pelo astrônomo Hiparco, no século II a.C.

Arquimedes
Espelhos curvos queimam navios romanos

Atribui-se ainda a  Arquimedes  a idealização dos célebres "espelhos ustórios" (ustório = que queima, que facilita a combustão), espelhos curvos com os quais os defensores de Siracusa teriam queimado a distância - pela concentração dos raios solares - os navios romanos que sitiavam a região. Se tal fato pertence ao lado lendário de sua biografia, parece entretanto não haver dúvida de que Arquimedes, depois de colaborar com seus engenhos bélicos para a defesa de sua cidade natal, foi morto durante o massacre que se seguiu à tomada de Siracusa pelo cônsul romano Marco Cláudio Marcelo, em 212 a.C. Atendendo a um pedido do sábio, foi colocada em seu túmulo uma coluna na qual fora gravado um cilindro circunscrito a uma esfera, para comemorar a maneira pela qual calculou a área de uma superfície esférica.

Segundo consta, Arquimedes teria dito a Hierão: "Dêem-me um ponto de apoio e eu levantarei a Terra". Não era a pretensão de se comparar ao mitológico e super humano Héracles - que os romanos chamarão de Hércules -, divindade símbolo da força. Era a certeza matematicamente garantida - de que o princípio da alavanca, que ele havia estabelecido, representava extraordinário recurso prático para a multiplicação de uma força.

Arquimedes
Página do Tratado da quadratura da parábola

Tradicionalmente, a geometria grega vinha investigando processos de transformação de figuras curvas em retas, equivalentes. A quadratura do círculo, por exemplo, constituía um problema que vários matemáticos procuraram resolver.  Arquimedes  dedicou-se profundamente a esse tipo de questão - e um dos seus principais livros sobre Matemática intitulou-se justamente Tratado da quadratura da parábola.

A transformação do curvilíneo em retilíneo é feita por  Arquimedes  através do chamado método "de exaustão". Se um triângulo é inscrito num círculo, sua área é tão claramente menor que a do círculo quanto a do triângulo circunscrito é maior. No entanto - eis o procedimento adotado por Arquirnedes - multiplicando-se o número de lados dessas figuras, as áreas dos polígonos formados, inscritos e circunscritos, já se aproximam mais da área do círculo. E com o multiplicar sucessivo dos lados, os polígonos assim formados apresentam áreas que crescem (para os inscritos) e diminuem (para os circunscritos), aproximando-se da do círculo, embora nunca coincidam com ela.

Arquimedes  conseguiu ir multiplicando o número de lados dos polígonos até obter figuras de 96 lados; verificou que as áreas respectivas, apesar de cada vez mais próximas do círculo, eram sempre um pouco maiores ou um pouco menores. Havia aqui também um procedimento que subentendia a aproximação de um valor exato - a área do círculo; esta era um "limite" a ser atingido, uma "justa medida" que só permitia abordagens aproximadas.

O que estava implícito nesse método de resolução de um problema geométrico era - como no caso do estabelecimento do valor de "pi" - a existência de valores infinitesimais, que justificavam a gradativa variação de tamanhos e grandezas. Aqui também  Arquimedesantecipa conquistas que a Matemática só efetivará plenamente no final do século XVII, com o cálculo infinitesimal de Leibniz e Newton.

A liberdade não era, porém, patrimonio de todos os gregos. Muitos eram escravos e, por isso, destituídos do direito de cidadania. O filósofo Aristóteles chega a afirmar que para alguns a escravidão era um fato natural e inerente à natureza dos indivíduos que, não possuindo certas capacidades. intelectuais de raciocínio abstrato (a "alma poética" para os gregos), deviam, como escravos, se ocupar apenas de atividades manuais.

Esse preconceito que, com raras exceções, era generalizado na sociedade escravista dos gregos, não poderia deixar de repercutir, além do campo propriamente político, no desenvolvimento da investigação científica e filosófica. O menosprezo pelas atividades manuais, exercidas por homens sem liberdade, foi certamente o fator decisivo para restringir a ciência grega ao nível quase exclusivamente teórico e para impedir o desenvolvimento da experimentação. A ciência deveria ser fruto do intelecto de homens livres e, portanto, capazes de especulação - e não o resultado de simples manipulações e experiências.

Poucos escaparam às limitações desse modo de pensar, que criava obstáculos verificação empírica e bloqueava o campo das aplicações práticas dos conhecimentos teóricos.

O próprio  Arquimedes  pagou tributo, ao que parece, a esse preconceito de natureza sócio-econômica. Embora precursor do moderno método experimental, e apesar de ter sido o maior engenheiro da Antiguidade, também ele considerava como suprema realização da inteligência humana as verdades científicas abstratas - que as matemáticas formulavam plenamente. Conta Plutarco que, quando solicitado a escrever um manual de engenharia,  Arquimedes  se negou, alegando que "considerava o trabalho de engenheiro, assim como tudo o que dissesse respeito às necessidades da vida, como algo sem nobreza e vulgar". Ele desejava que sua fama diante da posteridade fosse fundada inteiramente em sua contribuição à teoria pura. O que glorificou seu nome, entretanto, mais do que o cálculo de "pi" por aproximações sucessivas, foi o princípio fundamental da hidrostática, a que ele chegara pela mais simples observação da realidade.

Fonte:  geocities.yahoo.com.br

Arquimedes

Arquimedes, matemático, físico e inventor grego nasceu em Siracusa (Sicília) em 287 a.C. . Foi educado em Alexandria e pensa-se que possivelmente fora aluno de Euclides.

Regressou mais tarde à sua terra natal onde dedicou a sua vida a investigações que o imortalizaram. Foi considerado por muitos historiadores um dos maiores matemáticos de todos os tempos.

Arquimedes  foi capaz de aplicar o método da exaustão, sendo esta uma forma primitiva de integração, para obter uma vasta gama de resultados importantes, alguns dos quais chegaram até hoje.

As principais obras de  Arquimedes  foram sobre:

A esfera e o cilindro é um dos mais belos escritos de  Arquimedes

Os conóides e os esferóides

As espirais

A medida do círculo

A quadratura da parábola

O Arenário (contador de areia)

O Equilíbrio dos planos

Dos corpos flutuantes

O stomachion é jogo geométrico

O problema dos bois (referente à teoria dos números)

Arquimedes  obteve fama pelas suas invenções mecânicas, tais como a balança de  Arquimedes, a teoria da alavanca simples, e ainda máquinas de guerra como catapultas necessárias à defesa de Siracusa.

Este grande matemático e físico grego é ainda célebre pelo seguinte princípio - princípio de  Arquimedes  - o qual diz que todo o corpo submergido num fluído experimenta um impulso de baixo para cima igual ao peso do fluído que desloca.

Arquimedes

Depois de todos os seus esforços para manter os romanos na baía com as suas máquinas de guerra, estes invadiram Siracusa, não impedido o estudioso de ficar refletindo sobre um problema geométrico que traçava na areia, não se apercebendo desta invasão. Apresentou-se-lhe um soldado dando-lhe ordem de que o acompanhasse a casa de Marcelo, ele porém ignorou-o, irritando o soldado fazendo com que este o matasse com a sua espada.

Fonte:  www.educ.fc.ul.pt

Arquimedes

Conta-se que  Arquimedes  estava entrando numa banheira enquanto meditava sobre o problema que o rei lhe havia apresentado:  como distinguir uma coroa de ouro puro de outra que contivesse prata.

Ao observar a água que derramava à medida que seu corpo submergia, descobriu um dos princípios fundamentais da hidrostática:  a coroa não conteria outro metal se, ao submergir, deslocasse uma quantidade de água equivalente a seu peso em ouro.  
Entusiasmado pela descoberta, correu nu para a rua aos gritos de heureka, expressão que significa "achei".

Arquimedes  nasceu na cidade-estado grega de Siracusa, na ilha da Sicília, em 287 a.C. Reinava então Híeron II, com quemArquimedes  era provavelmente aparentado.

Estudou na cidade egípcia de Alexandria, grande centro cultural da época, e depois voltou a Siracusa, onde permaneceu até a morte.  
Seus engenhos de guerra, suas máquinas e as lendas que circulavam sobre suas invenções tornaram-no conhecido em todo o mundo antigo.

Muitas das descobertas fundamentais para a mecânica foram realizadas por  Arquimedes.

Em Sobre o equilíbrio dos planos descreveu o método para determinar o centro de gravidade dos corpos geométricos e esboçou os princípios da alavanca, sobre a qual disse a famosa frase: "Dêem-me um ponto de apoio e moverei o mundo".

Arquimedes  é considerado o fundador da hidrostática, ramo da física que estuda os corpos líquidos em repouso, cujos princípios enunciou no livro Tratado dos corpos flutuantes.  
Nele formulou o chamado princípio de  Arquimedes, segundo o qual um corpo imerso num líquido sofre a ação de uma força, de baixo para cima, igual ao peso da quantidade de líquido que desloca.

Os trabalhos matemáticos de  Arquimedes  foram os que ele mesmo considerou mais importantes.  
Enunciou a relação entre área e volume dos sólidos geométricos; estabeleceu a relação entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro (número pi); demonstrou que a área de um segmento de parábola é igual a 4/3 da área de um triângulo com base e altura iguais aos do segmento; e determinou a área da elipse e os volumes dos elipsóides e parabolóides de revolução.

No livro Arenário empregou um sistema de notação numérica baseado nos expoentes, o que evitava as desvantagens do sistema grego de numeração e permitia operar com grandes quantidades.

Depois da morte de Híeron, em 216 a.C., Siracusa foi sitiada pelas tropas romanas mas pôde resistir durante mais de três anos, graças aos engenhos bélicos de  Arquimedes, que construiu poderosas catapultas, com as quais os soldados gregos atacavam os invasores.

Finalmente, após cruentas lutas, Siracusa rendeu-se às tropas romanas, comandadas pelo cônsul Marcelo.  
Durante o massacre que se seguiu à tomada da cidade, em 212 a.C., contrariando as ordens de Marcelo, um soldado romano aproximou-se de  Arquimedes  e o matou.

Em atenção a um desejo seu, serviu-lhe de epitáfio a figura de uma esfera inscrita num cilindro, em honra do que ele considerava sua mais importante descoberta:  a relação entre os volumes dos dois sólidos.

Fonte:  www.enciclopediaescolar.hpg.com.br

Arquimedes

Matemático e físico grego. Na sua biografia é difícil destrinçar a realidade da lenda. Quando jovem muda-se para Alexandria, onde continua as aulas de Euclides. De volta à sua pátria, entrega-se por completo aos estudos científicos. Quando os Romanos atacaram Siracusa,  Arquimedes  dirige a defesa da sua cidade, para o que se serve de máquinas de guerra (catapultas, etc.). Após um longo assédio, as tropas de Marcelo entram na cidade. Segundo Plutarco, apesar das ordens de Marcelo para respeitar a vida do sábio, um soldado romano, irritado porque  Arquimedes, absorto na resolução de um problema, não responde s suas intimações, mata-o. Cícero, questor da Sicília, encontra o seu túmulo, onde figura uma esfera inscrita num cilindro.

São bastantes as obras de  Arquimedes  que chegam até aos nossos dias. Entre as de tema matemático destacam-se Da Esfera e do Cilindro, A Medida do Círculo, Dos Esferóides e dos Conóides e Das Linhas Espirais. Entre as obras de mecânica há que citar Do Equilíbrio dos Planos e Dos Corpos Flutuantes. Obras menores, mas que também proporcionam achados importantes, são A Quadratura da Parábola e O Método.

Há uma célebre anedota da Antiguidade relacionada com os estudos hidrostáticos de  Arquimedes. Trata-se do chamado problema da coroa. Hiero, rei de Siracusa, encomenda uma coroa que paga como se fosse de ouro puro, mas posteriormente suspeita que o ourives fez mistura do ouro com prata.  Arquimedes  resolve o problema determinando o volume da coroa, para o que a submerge num recipiente completamente cheio de água e pesa de seguida o líquido derramado. Averigua assim a densidade da coroa e calcula a proporção de prata que o desleal ourives utiliza. Conta-se que  Arquimedes  inventa este procedimento quando, ao se introduzir num recipiente completamente cheio de água para se lavar, parte dela transborda. Sai então do banho a gritar Eureka! (que em grego significa Achei!»).

O clássico enunciado deste princípio, chamado de  Arquimedes, é o seguinte:  todo o corpo submergido num fluido experimenta um impulso de baixo para cima igual ao peso do fluído que desloca.

Os seus principais achados pertencem aos campos da aritmética, mecânica e hidrostática. Determina a relação da circunferência com o diâmetro (o número pi), a quadratura da parábola, as propriedades das espirais, etc. Atribuem-se a  Arquimedes  a invenção do parafuso sem fim, da espiral ou parafuso de  Arquimedes  (aparelho para elevar água por meio de um tubo enrolado em hélice à volta de um cilindro giratório sobre o seu eixo), de diversas combinações de roldanas para levantar pesos, da roda dentada...

Formula também a teoria da alavanca simples, resumida numa frase célebre:  «Dai-me um ponto de apoio e levantarei a Terra

Fonte:  www.vidaslusofonas.pt

Arquimedes

As principais obras de  Arquimedes  foram sobre:

Os conóides e os esferóides. -  Refere-se aos sólidos que hoje designamos elipsóide derevolução, parabolóide de revolução e hiperbolóide de revolução.

As espirais. - É um estudo monográfico de uma curva plana, hoje chamada espiral de  Arquimedes, que se obtém por uma simples combinação de movimentos de rotação e translação. Entre os resultados, encontra-se um processo para retificar a circunferência.

A medida do círculo. -  Contém apenas 3 proposições e é um dos trabalhos que melhor revela a mente matemática de Aristóteles. Em uma ostentação técnica combinam-se admiravelmente a matemática exata e a aproximada, a aritmética e a geometria, para impulsionar e encaminhar em nova direção o clássico problema da quadratura do círculo.

Quadratura da Parábola. -  Este escrito oferece o primeiro exemplo de quadratura, isto é, de determinação de um polígono equivalente, de uma figura plana mistilínea: o segmento da parábola.

O Arenário. -  Arquimedes  realiza um estudo, no qual intercala um sistema de numeração próprio, que lhe permite calcular e, sobretudo exprimir quantidades enormes, e uma série de considerações astronômicas de grande importância histórica, pois nelas se alude ao sistema heliocêntrico da antiguidade, devido a Aristarco de Samos.

O equilíbrio dos planos. -  É o primeiro tratado científico de estática. A alavanca, os centros de gravidade de alguns polígonos, entre outros resultados.

Dos corpos flutuantes. (Livro I e II). -  As bases científicas da hidrostática.

Do método relativo aos teoremas mecânicos. -  Arquimedes  aproxima-se extraordinariamente de nosso conceitos atuais de cálculo integral.

O Stomachion. -  É um jogo geométrico, espécie de puzzle, formado por uma série depeças poligonais que completam um retângulo.

O problema dos bois. -  Um problema referente a teoria dos números

Seu fascínio pela Geometria é lindamente descrito por Plutarco.

Frequentemente  Arquimedes  era levado ao banho contra sua vontade pelos seus servos, para lavá-lo e limpá-lo, e mesmo lá ele continuava desenhando figuras geométricas - mesmo entre as brasas das chaminés. E enquanto eles o estavam limpando e ungindo com óleos perfumados, ele desenhava linhas com o dedo sobre o óleo, completamente absorto, quase em estado de êxtase e transe, tal o prazer que tinha em estudar Geometria.

Arquimedes  descobriu teoremas fundamentais relativos ao centro de gravidade das figuras planas e dos sólidos. Seu teorema mais famoso deduz o peso de um corpo imerso em um líquido, chamado de "Princípio de  Arquimedes".

A habilidade de  Arquimedes  com a mecânica, aliada ao seu conhecimento teórico o habilitaram a construir muitas máquinas engenhosas. Ele passou muito tempo no Egito, onde inventou um dispositivo conhecido como "Parafuso de  Arquimedes". É na verdade uma bomba, ainda usada em muitas partes do mundo.

Uma das histórias mais conhecidas a respeito de  Arquimedes  é a da "Coroa de ouro de Hieron", que vamos contar da seguinte maneira:

Entre o grande número de descobertas realizadas por  Arquimedes, é necessário assinalar a seguinte:

Quando Hieron reinava em Siracusa, propôs oferecer, em um certo templo, uma coroa de ouro aos deuses imortais. Combinou a confecção da obra com um artesão mediante uma boa soma de dinheiro e a entrega da quantidade de ouro em peso. O artesão entregou a coroa na data combinada com o Rei, que a achou executada com perfeição, parecendo que contivesse todo o ouro que lhe havia sido entregue. Sabendo, porém, que o artesão retirara parte do ouro, substituindo-o por um peso equivalente em prata, o rei, indignado diante desse engodo e não tendo em mãos os meios para provar ao artesão sua fraude, encarregou a  Arquimedes  que se ocupasse da questão e que com sua inteligência encontrasse esses meios.

Um dia em que  Arquimedes, preocupado com este assunto, entrou por acaso em uma casa de banhos, percebeu que à medida que entrava na banheira, a água transbordava da mesma.

Arquimedes

Esta observação lhe fez descobrir a razão que procurava e, sem mais esperar, pela alegria que este fato lhe produzia, saiu do banho ainda nu e correndo para sua casa, gritava:  Eureka! Eureka!, isto é, "encontrei! encontrei!".

Sobre a base desta descoberta, tomou, então, duas massas de igual peso que o da coroa:  uma de ouro e outra de prata. Mergulhou depois a massa de prata em um vaso, o que fez sair uma quantidade de água igual ao volume dessa massa; tirou, então, a massa e voltou a encher o vaso com uma quantidade de água igual à que se derramara e que se preocupara em medir, de maneira que pode conhecer a quantidade de água que correspondia à massa de prata que introduzira no vaso.

Depois desta experiência, mergulhou igualmente a massa de ouro no vaso cheio de água e, depois de havê-lo retirado, mediu novamente a água transbordada, encontrando que a massa de ouro não deslocara tanta água como a de prata e que a diferença para menos era igual à diferença entre os volumes da massa de ouro e da massa de prata em igual peso.

Finalmente, voltou a encher o vaso, mergulhando desta vez a coroa, que deslocou mais água do que deslocara a massa de ouro de igual peso, porém menos que a massa de prata. Calculando, então, de acordo com estas experiências, em quanto a quantidade de água que a coroa desalojara era maior que aquela que deslocara a massa de ouro, soube quanta era a prata que fora misturada ao ouro, mostrando, assim, claramente, a fraude do artesão.

Ele foi morto durante a tomada de Siracusa pelos romanos na segunda Guerra Púnica. Plutarco descreveu assim o episódio de sua morte:

"Conforme quis o destino,  Arquimedes  estava imóvel trabalhando em algum problema num diagrama, e estando com a mente e os olhos fixos no objeto de sua especulação, ele não percebeu a entrada dos Romanos nem que a cidade estava sendo tomada. Estando ele assim absorvido pelo estudo, um soldado inesperadamente veio até ele e ordenou que o acompanhasse.

Ele negou-se a ir até que tivesse resolvido seu problema; o soldado então desembainhou a espada e o matou."

Fonte:  www.eduquenet.net

Arquimedes

Imagina-te a andar por uma rua quando, de repente, sai a correr de uma casa um homem nu e molhado a gritar Eureka, Eureka! Isto aconteceu em Siracusa, uma colônia grega, há mais de 2200 anos atrás, e o nome do «maluco» em questão era  Arquimedes. Na realidade, a descoberta que o levou a gritar fez dele um gênio. Foi julgado nos tribunais gregos da altura como um arruaceiro, mas, após vários e longos debates, os juizes da cidade resolveram absolvê-lo, pois havia descoberto algo realmente importante.

Este  Arquimedes  tinha nascido em Siracusa, Sicília em 287 a.C., e foi educado em Alexandria, no Egito. Dedicou-se à matemática desde sempre, mais especialmente aos estudos da geometria. Desde muito jovem começou a distinguir-se pelos seus trabalhos científicos.

Quando regressou a Siracusa dedicou-se ao estudo da Geometria e da Mecânica, conseguindo descobrir princípios e fazer aplicações que ainda hoje o tornam conhecido entre muitos.  

O seu teorema mais famoso, é chamado Princípio de  Arquimedes:  “Um corpo mergulhado num líquido sofre uma impulsão vertical de baixo para cima igual ao peso do líquido deslocado". Este princípio é hoje utilizado nas ciências naturais, Farmácia e no nosso quotidiano, especialmente quando tomamos banhos de imersão.

Pode-se enunciar este Princípio de maneira diferente, em duas partes:

1-Todo o corpo submerso em qualquer líquido, desloca desse líquido uma quantidade determinada, cujo volume é exatamente igual ao volume do corpo submerso.

2-  O corpo submerso no líquido "perde" de seu peso uma quantidade igual ao peso do volume de líquido submerso do corpo.

Embora  Arquimedes  seja mais famoso pelo "Princípio de  Arquimedes" na Hidrostática, talvez sejam mais notáveis as suas investigações sobre a quadratura do círculo, que vem a ser a descoberta da relação entre a circunferência e o seu diâmetro.

Arquimedes  também inventou a balança, que tem seu nome, e foi o primeiro a determinar as leis do equilíbrio neste aparato.

Fonte: alkimia.tripod.com

Arquimedes

Arquimedes
Matemático grego (287-212 a.C.).  
Um dos maiores matemáticos de todos os tempos, inventou a hidrodinâmica, ciência que estuda a dinâmica dos fluidos.

Provavelmente o maior matemático que viveu antes do Renascimento.  Arquimedes  nasceu em Siracusa, na Sicília, e estudou ciência com Conon de Samos, na Universidade de Alexandria, época em que a cidade era o centro mundial do conhecimento.  Arquimedesdescobriu muitos dos teoremas básicos que envolvem a geometria dos círculos, dos cones, dos cilindros, das parábolas, dos planos e das esferas, princípios que constituem os fundamentos básicos da matemática.

Depois de estudar astronomia,  Arquimedes  construiu um "mapa" esférico e tridimensional dos céus. Ele também fez vários trabalhos pioneiros no campo da física, escrevendo a fundo sobre alguns dispositivos básicos, como alavanca, polia e parafuso.

Ele fora tão bem-sucedido em seus estudos sobre a aplicação da alavanca que, certa vez, jactou-se:  "Dêem-me um ponto de apoio e posso mover a Terra com uma alavanca".

Uma de suas mais importantes invenções foi o chamado parafuso de  Arquimedes. Desenhado como uma bomba rotatória para enviar a água dos córregos para as valas de irrigação, ele era imerso numa fonte de água com uma ligeira inclinação, de forma que a parte inferior de qualquer rosca ficasse mais baixa que a parte superior da rosca subsequente. Quando a haste do parafuso era girada sobre seu eixo, de forma que as roscas rodassem na água, esta era elevada na espiral e se descarregava do alto da rosca.

Arquimedes  também inventou a hidrostática, como é chamada a ciência que estudo a dinâmica dos fluidos.

Certo dia, sentado em sua banheira, ele descobriu o que ficou conhecido como o Princípio de  Arquimedes:  todo corpo mergulhado num fluido (líquido ou gás) sofre, por parte do fluido, uma força vertical para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.

Quando, em 214 a.C., os romanos atacaram Siracusa,  Arquimedes  projetou uma série de armas para a defesa da cidade, desde catapultas de longo alcance até espelhos que usavam o Sol para incendiar navios romanos, embora isso pareça muito improvável. Dois anos mais tarde, quando finalmente os romanos conseguiram invadir Siracusa, havia ordens para que  Arquimedes  fosse poupado. Mas isso, infelizmente, não ocorreu. Ao ser interrompido por um soldado raso romano enquanto fazia alguns cálculos com um graveto no chão, o matemático gritou com o invasor. O soldado não teve dúvida e matou  Arquimedes  ali mesmo. Ao saber do ocorrido, o general romano Marcelo decidiu erigir uma tumba em sua homenagem.

Referências bibliográficas

YENNE, Bill. 100 homens que mudaram a história do mundo. São Paulo, Ediouro, 2002. (bibliografia completa)

Fonte:  www.meusestudos.com

Arquimedes

Arquimedes  e a coroa

Você já reparou que quando você entra em uma banheira ou em uma piscina totalmente cheia, a água transborda?

Alguns objetos afundam e deslocam a água onde foram imersos. Pense em um elefante caindo na piscina. A quantidade de água que transborda é proporcional à densidade dele.

Para entendermos  por que, precisamos do conceito de empuxo ou impulsão. A descoberta desse princípio foi feita por um grande sábio, em uma situação engraçada.

Foi assim, como conta a lenda:

Era uma vez um rei. E um sábio. O rei se chamava Hierão, e o sábio,  Arquimedes. Os dois viviam em Siracusa, cidade-Estado da Grécia Antiga. O rei mandou fazer uma coroa todinha de ouro, mas ouviu uns boatos de que o ourives não tinha usado apenas ouro para fazer a coroa, e ficou desconfiado. Mas se a coroa era totalmente dourada, e se parecia muito com ouro puro, como fazer então para ter certeza sem destruí-la?

É aqui que entra o sábio.  Arquimedes  já era renomado na época -  quando o termo filósofo era usado para todos os estudiosos e cientistas em geral  - e é célebre até hoje por suas descobertas na matemática, física e por diversas invenções.  Arquimedes  teve uma importância decisiva no surgimento da ciência moderna.

A história mais conhecida de  Arquimedes  é, porém, como dissemos, uma lenda. O rei consultou o filósofo para resolver o problema da coroa de uma vez por todas – provar se ela era toda de ouro ou não. Estava o sábio grego, um belo dia, a tomar banho numa banheira, entretido com essa questão. De repente, ele teve um vislumbre da solução e saiu correndo, nu (!) pelas ruas da cidade, gritando “Eureka, Eureka!”, que em grego quer dizer “Descobri, descobri!”.

O que ele descobriu foi o que hoje chamamos de "Princípio de  Arquimedes" (também chamado de empuxo ou impulsão).

A partir dele, podemos afirmar:  "um corpo imerso em um líquido irá flutuar, afundar ou ficar neutro de acordo com o peso do líquido deslocado por este corpo". Ou seja, se o peso do líquido deslocado por um objeto for maior que o peso do corpo, ele irá flutuar. Mas se o peso do objeto for superior ao peso do líquido deslocado, o corpo irá afundar. Se for igual ficará no meio do caminho, não afunda nem flutua.

E  Arquimedes  descobriu isso quando tomava banho em sua banheira, quando percebeu que a quantidade de água que transbordava era igual em volume ao seu próprio corpo.

E assim percebeu como poderia provar a fraude do ourives. Ele observou que massas iguais de prata e de ouro faziam transbordar volumes de água diferentes (porque os dois materiais têm densidades diferentes). Então, ele mergulhou numa bacia cheia de água um bloco de ouro de massa igual à da coroa e mediu o volume de água que transbordou. Fez a mesma coisa com um bloco de prata. O volume de água que transbordou quando mergulhou o bloco de ouro era menor que o volume de água quando mergulhou o bloco de prata. Repetiu a experiência com a coroa e verificou que o volume de água que transbordou era maior que o do bloco de ouro e menor do que o do bloco de prata

Concluiu que a coroa não era de ouro puro e que o ourives a tinha feito misturando os metais.  Arquimedes  baseou-se no princípio de que o volume ocupado por um determinado sólido é proporcional à sua massa. Ele usou a densidade para provar que a coroa tinha sido feita com uma liga (mistura) de ouro e prata.

O rei não deve ter ficado lá muito satisfeito com o ourives...

Elisa Batalha e Silvio Bento

Fonte: www.invivo.fiocruz.br

Arquimedes

Arquimedes  (287 a.C. – 212 a.C.)

Arquimedes  nasceu (julga-se) no ano 287 a.C. em Siracusa - atual Sicília. Foi educado em Alexandria, no atual Egipto e pensa-se que terá sido aluno de Euclides. Alexandria era naquela época o grande centro do saber e Euclides um dos maiores matemáticos.

Depois de voltar à sua terra natal,  Arquimedes  fez inúmeras investigações e descobertas nas áreas da Matemática, Mecânica e Hidrostática.

relação entre a superfície e o volume de uma esfera, estudou as propriedades da parábola e utilizou o método da exaustão para calcular áreas, por exemplo.

Na Mecânica, inventou a “Balança de  Arquimedes”, descobriu o princípio da alavanca simples e das roldanas; inventou a roldana composta.

É de  Arquimedes  a célebre frase:

Dêem-me um ponto de apoio e moverei a Terra!

Arquimedes  foi igualmente um grande inventor de máquinas de guerra, como catapultas e um sistema de espelhos para incendiar barcos inimigos.

Inventou ainda o parafuso de  Arquimedes, muito útil para elevar água.

Na Hidrostática, descobriu a Lei da Impulsão, ou Princípio de  Arquimedes, com a sua célebre experiência da banheira!

Durante a 2ª Guerra Púnica, as tropas romanas comandadas pelo general Marcelo, cercaram Siracusa.

Graças às máquinas de guerra inventadas por  Arquimedes, conseguiram aguentar o cerco durante dois anos, mantendo os romanos fora da ilha.

Conta-se que quando os romanos invadiram a ilha,  Arquimedes  se encontrava na praia desenhando na areia, a estudar problemas de geometria. Um soldado romano ordenou-lhe que o acompanhasse a casa do general Marcelo.

Arquimedes  continuou a sua tarefa, ignorando a ordem do soldado romano. Perante a desobediência, o soldado romano irritou-se e matou-o ali mesmo na praia.

Fonte: becreeb23.com.sapo.pt

Arquimedes

Arquimedes  e a coroa do rei

Filho do astrônomo Fídias,  Arquimedes  (287 a.C. - 212 a.C.) foi um matemático e inventor grego, nascido em Siracusa, na Sicília. Foi o mais importante matemático da Antiguidade. Criou um método para calcular o número p (razão entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro) com aproximação tão grande quanto se queira.

Embora na Antiguidade não houvesse clara distinção entre matemáticos (geômetras), físicos (cientistas naturais) e filósofos,Arquimedes  destacou-se principalmente como inventor e matemático, sendo considerado um dos maiores gênios de todos os tempos.

Construiu, segundo depoimento de Cícero (106 - 43 a.C.), um planetário que reproduzia os diferentes movimentos dos corpos celestes; e um aparelho para medir as variações do diâmetro aparente do Sol e da Lua São atribuídas a ele algumas invenções tais como a rosca sem fim conhecida como o parafuso de  Arquimedes, a roda dentada, a roldana móvel, a alavanca.

Teria dito:  “dême uma alavanca e um ponto de apoio e eu moverei o mundo”.

Um dia  Arquimedes  recebeu uma missão quase impossível. O rei Hierão II, de siracusa encomenda uma coroa de ouro a um ourives, essa coroa seria entregue como oferenda a um templo. Entretanto surgiu uma denuncia que colocava em dúvida a honestidade do ourives.

O rei então ficou na dúvida:  Será que a coroa era de ouro puro ou adicionaram algum outro metal menos nobre? O rei Hierão convocou seu amigo  Arquimedes  e lhe expôs a situação. Diante de tal problema  Arquimedes  sugeriu uma analise do metal que foi feito a coroa, mas infelizmente a coroa deveria ser fragmentada. O rei não permitiu que se destruísse a coroa; primeiro por ser uma obra prima e segundo pela possibilidade da denuncia ser falsa.  Arquimedes  deveria então desenvolver um outro modo de provar se a coroa era de ouro puro ou não.

Era costume dos gregos contemporâneos de  Arquimedes  apreciarem os banhos tomados em estabelecimentos públicos, onde os amigos se encontravam para discutir assuntos como política e filosofia ou apenas por lazer. Foi em um desses banhos queArquimedes  observou que quanto mais ele imergia na piscina mais água ele deslocava, ele observou também que corpos maiores deslocavam mais água que os corpos menores. Então quando ele percebeu que a partir da quantidade de água deslocada ele poderia saber o volume do corpo que foi imerso no líquido, ele saiu correndo pelas ruas de Siracusa gritando “EUREKA,EUREKA”, que quer dizer “ACHEI,ACHEI”, segundo descreve o arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio ( Século 1, a.C.).

Quando mergulhamos um corpo qualquer em um líquido, verificamos que este líquido exerce, sobre o corpo uma força dirigida para cima, que tende a impedir que o corpo afunde no líquido. Você já deve ter percebido a existência desta força ao tentar mergulhar, na água uma bola, por exemplo. É também esta força que faz com que uma pedra pareça mais leve quando imersa na água ou em outro líquido qualquer, quando comparada com o seu peso no ar. Esta força vertical, dirigida para cima, é denominada EMPUXO do líquido sobre o corpo mergulhado.

Observe a figura abaixo:

Arquimedes
Arquimedes

Consideremos um corpo mergulhado em um líquido qualquer. O líquido exercerá forças de pressão em toda a superfície do corpo em contato com este líquido. Como a pressão aumenta com a profundidade, as forças exercidas pelo líquido, na parte inferior do corpo, são maiores do que as forças exercidas na parte superior. A resultante destas forças, portanto, deverá ser dirigida para cima. É esta resultante que representa o empuxo que atua no corpo, tendendo a impedir que ele afunde no líquido.

Então a causa do empuxo é o fato de a pressão aumentar com a profundidade. Se as pressão na partes superior e inferior do corpo fossem iguais, as forças de pressão seriam anuladas e não existiria o empuxo sobre o corpo.

Bem, voltemos ao desfecho da lenda sobre a coroa do rei Heirão.  Arquimedes  utilizou o método que acabara de descobrir, ele fabricou DOIS PESOS IGUAIS ao da coroa, sendo um de prata e um de ouro. Utilizando um vaso com água até a borda, ele mediu a quantidade de água deslocada pelo bloco e ouro e pelo bloco e prata. Chegando a conclusão de que o bloco de ouro desloca menos água que o de prata. Depois, ele fez outra experiência onde mediu o volume da coroa e descobriu que ela deslocava mais água que o bloco de ouro de mesmo peso. Este fato comprovaria então que o ourives tinha sido desonesto e misturado o ouro com prata. Conta-se que o ourives só não foi punido severamente por que  Arquimedes  pediu em seu favor, sendo então o ourives banido do reino.

Estudos recentes em história da ciência mostram que, apesar de bastante divulgado, o método utilizado por  Arquimedes  não teria sido exatamente esse. Galileu teria notado que o método da medida de volume não seria o mais eficiente, tendo em vista diversas dificuldades operacionais, como por exemplo, as dimensões da coroa e a tensão superficial da água. Ele sugeriu que  Arquimedes  teria medido pesos e não volume.

Uma consequência do empuxo é a diferença de peso que um objeto tem quando medido no ar e quando medido dentro da água.

Tomando a coroa e um bloco de ouro de mesmo peso (medido no ar) e depois fazendo a medida dentro da água, será observado o seguinte:  Se os volumes forem iguais, os empuxos também serão iguais. Caso a coroa contivesse prata na sua constituição, seu volume seria maior e o empuxo também, logo seu peso seria menor dentro da água, denunciando assim o ourives. Provavelmente esse teria sido o método utilizado por  Arquimedes.

Referências

Martins, Roberto de Andrade.  Arquimedes  e a coroa do rei: problemas históricos.

Caderno Catarinense de Ensino de Física17 (2): 115-121, 2000.

Halliday, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física 2- Mecânica. 6. Ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora, 2002.

Silva, Luiz Carlos Marques. Sala de física:  Arquimedes. Disponível em: http://br.geocities.com/saladefisica9/biografias/Arquimedes.htm. Acesso em: 23 de agosto de 2006.

Tipler, Paul A. Física, V.2, LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., Rio de Janeiro, 3a Edição (1995), pag. 152

Fonte: rived.mec.gov.br

Arquimedes

Arquimedes  nasceu em 287 a.C., em Siracusa, na Sicília, que nessa época fazia parte da Grécia. Estudou matemática em Alexandria e provavelmente conheceu Euclides. Durante toda sua vida,  Arquimedes  dedicou-se tanto à Matemática quanto à Física e à engenharia.

Sua descoberta mais famosa em Física foi a chamada "lei do empuxo", que explica porque um corpo pode flutuar em um fluido. Diz a lenda, provavelmente exagerada, que  Arquimedes  descobriu essa lei durante o banho e ficou tão excitado com a descoberta que saiu nú pelas ruas gritando "Eureka", isto é, "achei"! Em Siracusa, dedicou-se com afinco ao estudo da Matemática e demonstrou vários teoremas de enorme importância.

Quando os romanos, sob o comando de Marcelo, sitiaram Siracusa, depararam-se com uma barreira intransponível de máquinas bélicas inventadas por  Arquimedes  e a tomada da cidade foi, desse modo impedida por vários anos. Até que em 212 a.C., conseguiram penetrar na cidade aproveitando um período de festas durante o qual a defesa foi relaxada. Apesar da recomendação de Marcelo para que a vida do grande cientista fosse poupada, pois passara a admirar o engenhoso inimigo,  Arquimedes  foi morto por um soldado ao se recusar a interromper uma demonstração matemática na qual estava concentrado.

Em seu túmulo foi gravado um cilindro circunscrito a uma esfera, para lembrar um dos resultados de que mais se orgulhava:  o cálculo da área de uma superfície esférica.

Fonte: www.seara.ufc.br

Arquimedes

Princípio de  Arquimedes

Uma fábula da Rússia conta a pequena estória de um camponês bem simplório que morava beira-mar. Todas as vezes que via passar ao largo um belo navio, corria até a praia, apanhava uma pedra, e atirava-a na água. A pedra, naturalmente, afundava.

O bom homem, olhando admirado para imensa massa metálica do navio que flutuava magnificamente, sacudia os punhos e bradava:  "Por que ele flutua, sendo tão pesado, e a pedra não?"

De modo mais ou menos semelhante, quando em 1787 Jonh Wilkinson lançou no rio Severn, na Inglaterra, sua barcaça feita de ferro, as inúmeras pessoas que presenciavam o acontecimento não podiam acreditar que aquilo flutuasse. Tinham-se reunido ali por divertimento, preparadas para rir do desconsolo de Wilkinson quando sua chata fosse ao fundo. Mas, a embarcação flutuou, com grande espanto e frustração dos presentes, tornando-se assim a precursora dos modernos navios de aço.

Pode-se compreender que o homem comum da Inglaterra, há duzentos anos atrás, não levasse a sério a possibilidade de um navio de metal flutuar, posto que as aparências sugeriam a madeira como único material adequado à construção de barcos.

Entretanto, não há razão para que os princípios elementares, que explicam o fenômeno da flutuação, não devam ser entendidos por todos nos dias de hoje.

Atualmente é banal a construção de navios pesando muitos milhares de toneladas, que não só flutuam perfeitamente no mar, como transportam outros milhares de toneladas de mercadorias a bordo. Trata-se de uma banalidade porque seus projetistas e construtores conhecem perfeitamente esta lei estabelecida por volta do ano 250 a.C. pelo sábio grego  Arquimedes. Seu enunciado nos ensina que "um corpo imerso num fluido (líquido ou gás) perde uma quantidade de peso igual ao peso da quantidade de peso igual ao peso da quantidade de fluido deslocado"; ou, em outras palavras, "o corpo imerso no fluido recebe um empuxo vertical, de baixo para cima, igual ao peso do fluido deslocado".

Certamente, muitos dos construtores de barcos anteriores a Wilkinson conheciam também essa lei. Mesmo que não a conhecessem, poderiam recorrer a cientistas ou técnicos para os quais as aplicações eram claras. No entanto, havia restrições muito mais sérias, em outros ramos da técnica. A aplicação de muitos princípios demorou mais de dois mil anos. A inexistência de chapas de ferro ou aço, por exemplo, era a razão suficiente para tanto.

EMPUXO

Um corpo mergulhado num fluido, parcial ou totalmente, sofre pressões em toda a extensão de sua superfície em contato com o fluido. Então, existe uma resultante das forças aplicadas pelo fluido sobre o corpo que é chamada de empuxo. Essa força é direcionada verticalmente para cima e opõe-se à ação da força-peso que atua no corpo.

PRINCÍPIO DE  Arquimedes

"Todo corpo imerso, total ou parcialmente, num fluido em equilíbrio, dentro de um campo gravitacional, fica sob a ação de uma força vertical, com sentido ascendente, aplicada pelo fluido; esta força é denominada empuxo, cuja intensidade é igual do peso do fluido deslocado pelo corpo."

E = Pfd = mfd . g = df . Vfd . g

E = df . Vfd . g

onde df = densidade do fluido e Vfd = volume do fluido deslocado.

Arquimedes

Obs.:  O valor do empuxo não depende da densidade do corpo imerso no fluido; a densidade do corpo (dc) é importante para se saber se o corpo afunda ou não no fluido.

dc < df = O corpo pode flutuar na superfície do fluido (no caso de líquido).

dc = df = O corpo fica em equilíbrio no interior do fluido (com o corpo total mente imerso).

dc df = O corpo afunda no fluido.

O empuxo é uma força que resulta da diferença de pressão existente entre pontos de diferentes níveis no interior de um fluido.

No caso particular de um corpo (como mostra a figura), de secção transversal de área (A) constante, como um cilindro por exemplo é determinado por:

Arquimedes

E = (p2 – p1) . A

E = delta p . A

ou pois, pelo Teorema de Stevin,

delta p = df . g . delta h e E = df . g . delta h. A ou,

como Vfd = delta h . A, E = df . Vfd . g

Arquimedes 

Obs.:  As forças laterais-horizontais diametralmente opostas, anulam-se duas a duas.

Portanto, a resultante horizontal das forças exercidas pelo fluido é nula.

Unidades principais:

 

E

d

V

g

p

A

No SI

N

Kg/m3

m3

m/s2

N/m2

m2

No CGS

dyn

g/cm3

cm3

cm/s2

dyn/cm2

cm2

No MK*S

Kgf

utm/m3

m3

m/s2

kgf/m2

m2

PESO APARENTE

Quando um corpo é totalmente imerso num fluido de densidade menor do que a sua, o peso tem intensidade maior do que a do empuxo. A resultante dessas forças é denominada peso aparente (Pap):

Arquimedes

dc df = P E

e Pap = P – E

O peso aparente também pode ser medido de um dinamômetro.

CORPOS EM EQUILÍBRIO

Um corpo na superfície de um líquido, quando abandonado, se a densidade do corpo for menor do que a do líquido. Na posição de equilíbrio, o empuxo e o peso devem ter a mesma intensidade, em valor absoluto:

Arquimedes

E = P ou df . Vfd . g = dc . Vc . g

Logo: df . Vi = dc . Vc

Volume do corpo (Vc):

Vc = Ve + Vi

Obs.: Lembre-se de que dc . Vc = mc; portanto: df . Vi = mc

Atenção: Neste caso, o empuxo exercido pelo ar é desprezível.

Caso o corpo esteja em equilíbrio entre vários líquidos, tem-se:

Arquimedes

E1 + E2 + En = P

ou (:g)

d1 . V1 + d2 . V2 + dn . Vn = dc . Vc

Fonte: netopedia.tripod.com

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