É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.
Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:
Dízima simples
A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Exemplos:
A geratriz de uma dízima composta é uma fração
da forma 
, onde
n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica.
d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.
Exemplos:
Fonte: www.somatematica.com.br
Dada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um número racional denominado a geratriz da dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima periódica devemos trabalhar com o número dado pensado como uma soma infinita de números decimais. Para mostrar como funciona o método, utilizaremos diversos exemplos numéricos.
Seja S a dízima periódica 0,3333333..., isto é, S=0,3. Observe que o período tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:
S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +...
Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), obteremos:
10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...
Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!
Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:
10 S - S = 3
donde segue que
9 S = 3
Simplificando, obtemos:
S = 1 = 0,33333... = 0,3
3
Fonte: pessoal.sercomtel.com.br
Dada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um número racional denominado a geratriz da dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima periódica devemos trabalhar com o número dado pensado como uma soma infinita de números decimais. Para mostrar como funciona o método, utilizaremos diversos exemplos numéricos.
Seja S a dízima periódica 0,3333333..., isto é, S=0,3. Observe que o período tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:
S = 0,3+0,03+0,003+0,0003+0,00003+...
Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), obteremos:
10 S = 3 + 0,3+0,03+0,003+0,0003+...
Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!
Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:
10 S - S = 3
donde segue que
9 S = 3
Simplificando, obtemos:
S = 1
3
= 0,33333... = 0,3
Exercício: Usando o mesmo argumento que antes, você saberia mostrar que:
0,99999... = 0,9 = 1
Vamos tomar agora a dízima periódica T=0,313131..., isto é, T=0,31. Observe que o período tem agora 2 algarismos. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:
T =0,31+0,0031+0,000031+...
Multiplicando esta soma "infinita" por 102=100 (o período tem 2 algarismos), obteremos:
100 T = 31 + 0,31+0,0031+0,000031+...
Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!
Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:
100 T - T = 31
donde segue que
99 T = 31
e simplificando, temos que
S = 31
99
= 0,31313131... = 0,31
Um terceiro tipo de dízima periódica é T=7,1888..., isto é, T=7,18. Observe que existe um número com 1 algarismo após a vírgula enquanto que o período tem também 1 algarismo. Escreveremos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:
R = 7,1 + 0,08+0,008+0,0008+...
Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:
R-7,1 = 0,08+0,008+0,0008+...
Multiplique agora a soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), para obter:
10(R-7,1) = 0,8 + 0,08+0,008+0,0008+...
Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!
Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:
10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8
Assim:
10R - 71 - R + 7,1 = 0,8
Para evitar os números decimais, multiplicamos toda a expressão por 10 e simplificamos para obter:
90 R = 647
Obtemos então:
R = 647
90
= 7,1888... = 7,18
Um quarto tipo de dízima periódica é
T=7,004004004..., isto é, U=7,004. Observe que o período tem 3 algarismos, sendo que os dois primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é não nulo. Decomporemos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:
U = 7 + 0,004+0,004004+0,004004004+...
Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:
U-7 = 0,004+0,004004+0,004004004+...
Multiplique agora a soma "infinita" por 103=1000 (o período tem 3 algarismos), para obter:
1000(U-7) = 4 + 0,004+0,004004+0,004004004+...
Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!
Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:
1000(U-7) - (U-7) = 4
Assim:
1000U - 7000 - U + 7 = 4
Obtemos então
999 U = 6997
que pode ser escrita na forma:
U = 6997
999
= 7,004004... = 7,004
Fonte: www.coladaweb.com
