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Dualidade do Elétron

A Dualidade Onda-Partícula de de Broglie

Nos primeiros vinte e cinco anos do Século 20, um dos problemas mais intrigantes da Física, era o caráter dual da luz, uma vez que em certos fenômenos ela se apresentava como onda, caráter esse observado nas experiências de difração e interferência, e em outros fenômenos se apresentava como corpúsculo, caráter esse observado no espalhamento da luz pela matéria, constatado pelo físico norte-americano Arthur Holly Compton (1892-1962; PNF, 1927), em 1923, o famoso espalhamento (efeito) Compton (vide verbete nesta série). Aliás, é oportuno notar que a primeira evidência sobre o momento linear (p) (característica corpuscular) da luz havia sido observada pelo físico russo Pyotr Nikolayevich Lebedev (1866-1912), em 1899 (Archives des Sciences Physique et Naturelles 8, p. 184), ao realizar experiências sobre a pressão exercida pela luz sobre os corpos, pressão essa prevista pela Teoria Eletromagnética Maxwelliana (1873).

Por outro lado, uma primeira conjectura do caráter dual da luz foi apresentada, em 1909, em trabalhos independentes, dos físicos, o germano-norte-americano Albert Einstein (1879-1955; PNF, 1921), ao estudar o equilíbrio termodinâmico da radiação eletromagnética, e o alemão Johannes Stark (1874-1957; PNF, 1919), ao explicar o Bremsstrahlung (“Radiação de frenagem”).

Contudo, a primeira relação formal entre p e o comprimento de onda (Dualidade do Elétron) da luz, foi apresentada por Einstein, em 1916, em dois artigos nos quais estudou a radiação eletromagnética (luz) Planckiana do corpo negro.

Com efeito, ele demonstrou que: Dualidade do Elétron. Aí está, portanto, o caráter dual da luz, já que as características ondulatória (Dualidade do Elétron) e corpuscular (p) não são independentes. Aliás, foi nesses artigos que Einstein apresentou a idéia de emissão estimulada da luz, base para o desenvolvimento do maser (“Microwave  Amplification by Stimulated Emission Radiation”) e do laser (“Light Amplification by Stimulated Emission Radiation”), na década de 1950.

O problema do caráter dual da luz referido acima fascinou o físico francês, o Príncipe Louis Victor Pierre Raymond de Broglie (1892-1987; PNF, 1929), que passou a estudá-lo com mais detalhes, conforme ele descreve em seu livro intitulado a Física Nueva y los Cuantos (Editorial Losada, 1952). Usando a Analogia Mecânico-Óptica, da qual falaremos mais adiante, ele estendeu o caráter dual da luz para o elétron e toda a matéria. Vejamos como. Ao observar as órbitas dos elétrons no átomo de Bohr, de Broglie verificou que a estabilidade das mesmas envolvia números inteiros, fato esse que é característico, apenas, de fenômenos de interferência e de modos normais de vibração de uma corda fixa.

Portanto, considerando esse caráter dual da luz, de Broglie formulou a hipótese de que o movimento do elétron, de massa m e velocidade v, em uma órbita circular atômica é guiado por uma onda-piloto, cujo comprimento de onda Dualidade do Elétron se relaciona com o seu momento linear (p = m v) da mesma maneira como acontece com o quantum de luz, ou seja: Dualidade do Elétron.

Ao considerar que esta “onda-piloto” é uma onda estacionária, ou seja, que cada órbita circular do elétron, de raio a e momento angular M, deve conter um número inteiro (n) de “ondas-piloto”, de Broglie demonstrou a misteriosa regra de quantização de Bohr, isto é: Dualidade do Elétron.

Agora, vejamos a Analogia Mecânico-Óptica

Em agosto de 1657, o matemático francês Pierre Fermat(1601-1665) escreveu uma carta (Epistolae 42) a Monsieur Cureau de la Chambre, na qual enunciou o seu famoso Princípio do Tempo Mínimo: A Natureza sempre escolhe os menores caminhos. De acordo com esse princípio, observou Fermat, a luz sempre leva o menor tempo para seguir a sua trajetória. Na notação atual, esse Princípio significa dizer que a integral Dualidade do Elétron, assume um valor mínimo quando a luz viaja com a velocidade v, entre os pontos P1 e P2.

Embora tal princípio já fosse do conhecimento do filósofo grego Aristóteles de Siracusa(384-322), de haver sido utilizado pelo matemático e inventor grego Heron de Alexandria (c. 20 A.D.-  ? ) e, mais tarde, pelo físico e matemático iraquiano Abu-´Ali Al-Hasan Ibn Al-Haytham (Al-Hazen) (c. 965-1038) na explicação da Lei da Reflexão da Luz, foi Fermat quem, em 1661, a utilizou para demonstrar a Lei da Refração da Luz [Morris Kline, Mathematical Thought fromAncient to Modern Times (Oxford University Press, 1972); Sir Edmund Whittaker, A History of the Theories of Aether andElectricity (Thomas Nelson and Sons, 1952)].

Por outro lado, em 1744 (Mémoires de l´Academie des Sciences de Paris, p. 417), o matemático francês Pierre Louis Moureau de Maupertuis (1698-1759) formulou o Princípio da Mínima Ação: Quando há qualquer mudança na Natureza, a quantidade de ação necessária para essa mudança, é a menor possível.

Ele postulou que a ação dependia da massa (m), da velocidade (v) e da distância (s) percorrida por um corpo, ou seja: ação = m v s. Note-se que Maupertuis chegou a esse princípio, tentando encontrar uma base racional e metafísica entre a Óptica Geométrica e a Mecânica Newtoniana [Wolfgang Yourgrau andStanley Mandelstam, Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory (Dover, 1979)]. Ainda em 1744, o matemático suíço Leonard Euler (1707-1783) publicou o livro intitulado Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimae proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (“Um método de descobrir linhas curvas que apresentam a propriedade de máximo ou mínimo ou a solução do problema isoperimétrico tomado em seu sentido mais amplo”), escreveu o Princípio de Maupertuis da seguinte forma (em notação atual): Dualidade do Elétron. É interessante destacar que, além de razões físicas, Maupertuis e Euler alegavam razões teológicas para justificar esse Princípio, pois, diziam eles, as leis do comportamento da Natureza possuem a perfeição digna da criação de Deus.

Observando os dois Princípios, de Fermat e de Maupertuis-Euler, vê-se que, no primeiro, a velocidade aparece inversamente, enquanto no segundo, diretamente relacionada ao deslocamento (ds). Em virtude disso, durante muito tempo não se conseguiu encontrar uma analogia entre tais Princípios. Contudo, com os trabalhos desenvolvidos pelos matemáticos, o irlandês Sir William Rowan Hamilton (1805-1865), em 1835 (Philosophical Transactions of the Royal Society of London, PartII, p. 247) e o alemão Carl GustavJacob Jacobi (1804-1851), em 1837 (Journal für Reine und Angewandte Mathematik17, p. 97), foi possível encontrar a analogia referida acima. Em seu trabalho, Hamilton havia obtido um par de equações diferenciais – as famosas Equações de Hamilton (EH) – envolvendo o hoje conhecido operador Hamiltoniano H = E = T + V, isto é, a energia total (E) é igual asoma da energia cinética (T) e da energia potencial (V), partindo de um princípio variacional que havia deduzido no ano anterior, qual seja: Dualidade do Elétron, onde S é a conhecida ação Hamiltoniana e L representa o operador Lagrangeano, definido por L = T – V e que havia sido introduzido pelo matemático francês Siméon Denis Poisson (1781-1840), em 1809 (Journal de l´Ecole Polytechnique8, p. 266). Foi ainda nesse trabalho que Poisson apresentou a definição do momento canonicamente conjugado p (Dualidade do Elétron, onde q é a coordenada generalizada Lagrangeana e Dualidade do Elétron é a velocidade generalizada Lagrangeana).

Por seu lado, Jacobi partiu das EH e encontrou uma nova equação – a conhecida Equação de Hamilton-Jacobi (EH-J) -, dada por: Dualidade do Elétron.

De posse dessa equação, Jacobi encontrou a função S para muitos problemas mecânicos. Por exemplo, considerando sistemas físicos para os quais H (p, q) não depende explicitamente do tempo t, ele mostrou que: S(p, q, t) = W(p, q) – E t, onde E é a energia do sistema físico e W é a função característica de Hamilton.

Ainda usando essa solução, Jacobi demonstrou que: Dualidade do Elétron. Este último resultado significa que o momento p é perpendicular à superfície de W [= S0 (t= 0)] constante.

Por outro lado, essa equação é semelhante à Equação Eikonal da Óptica Geométrica, ou seja: Dualidade do Elétron, onde Dualidade do Elétron é chamada de eikonal (do grego eikon, que significa imagem) e n é o índice de refração, que varia de posição, isto é: Dualidade do Elétron.

Registre-se que as superfícies em que Dualidade do Elétron é constante são superfícies de fase óptica constante e, portanto, define frentes de ondas luminosas, cujos raios luminosos correspondentes a essas frentes de ondas lhe são perpendiculares. Essa semelhança ficou conhecida como a Analogia Mecânico-Óptica

Registre-se que quando de Broglie formalizou suas idéias sobre a onda de matéria [publicadas nas Comptes Rendus de l´Academiedes Sciences de Paris 177, pgs. 507; 548; 630 (1923); 179, p. 39 (1924)] e apresentou-as, ainda em 1924, como Tese de Doutoramento, intitulada Recherche sur la ThéoriedesQuanta, à Faculdade de Ciências da Universidade de Paris (Sorbonne), houve um certo embaraço por parte dos professores que iriam julgá-la, uma vez que essa Tese fugia as cânones tradicionais da Física. Assim, ela foi encaminhada ao físico francês Paul Langevin (1872-1946) para julgamento.

De imediato, ele enviou uma cópia ao seu amigo Einstein que, por sua vez, pediu ao físico alemão Max Born (1882-1970; PNF, 1954) uma opinião séria sobre a mesma, escrevendo-lhe: Leia isto! Embora pareça ter sido escrito por um louco, está escrito corretamente. Quando Einstein devolveu a Tese de de Broglie a Langevin, disse-lhe que podia aprová-la, já que a mesma continha muitas descobertas importantes. É oportuno destacar que a idéia da “onda de matéria de Broglieana” foi formalizada pelo físico austríaco Erwin Schrödinger (1887-1961; PNF, 1933), em 1926, por intermédio da célebre Equação de Schrödinger.

Fonte: www.seara.ufc.br

Dualidade do Elétron

A Dualidade Partícula Onda & Hipótese de De Broglie ; Princípio de Incerteza

Introdução

A resposta à dúvida do caráter ora ondulatório e ora de partícula das emissões eletromagnética pôde ser analisada com o experimento do efeito fotoelétrico de Einstein. O choque de uma emissão eletromagnética contra uma placa arrancava elétrons da mesma, evidenciando sob certas condições (como vimos, a freqüência para o fenômeno é restrita) o caráter de partícula por parte de ondas. Estudaremos a seguir um segundo fenômeno que corroborou a tese de Einstein.

Efeito Compton

O fenômeno descoberto pelo físico Arthur Holly Compton em 1923, chamado Efeito Compton, analisa a diminuição de energia de um fóton quando esse colide com matéria. A diminuição de energia ocorre com a mudança no comprimento de onda (aumenta). Tal mudança nos evidencia que a luz, por exemplo, não tem caráter puramente ondulatório (assim como Einstein já havia evidenciado em seu experimento do efeito fotoelétrico).

Usaremos um resultado do Eletromagnetismo de que radiações eletromagnéticas carregam momento linear (p) :

Dualidade do Elétron

A situação descrita no efeito Compton está ilustrada abaixo.

Dualidade do Elétron

Deduziremos agora uma expressão para o aumento no comprimento de onda do fóton após o choque.

É importante deixar claro que algumas passagens da dedução parecerão complicadas a primeira vista, pois utilizaremos resultados da Física relativística. Pedimos que mesmo que o conceito ainda não esteja completamente claro ainda (veremos mais isso mais a frente nesse curso de Física Moderna), que o leitor acredite nos resultados que estaremos usando.

Tais resultados são:

Energia associada à matéria (energia de repouso): Dualidade do Elétron

 

Energia associada a matéria com velocidade: Dualidade do Elétron

 

Voltando ao problema, considerando uma colisão entre o fóton e um elétron em repouso (veja figura abaixo), temos da conservação de energia:

Dualidade do Elétron

Na direção da colisão, não há forças externas, portanto podemos conservar também a quantidade de movimento naquela direção e na direção perpendicular a mesma:

Dualidade do Elétron

Lembrando que:

Dualidade do Elétron

Temos então o sistema:

Dualidade do Elétron

Resolvendo e eliminando o parâmetro Dualidade do Elétron (Fica como exercício para o leitor), chegamos à seguinte expressão para pe:

Dualidade do Elétron

Da conservação de energia já tínhamos obtido que:

Dualidade do Elétron

Logo:

Dualidade do Elétron

Arrumando a igualdade e lembrando que Dualidade do Elétron (fica como exercício), chegamos à expressão conhecida do efeito Compton:

Dualidade do Elétron

Hipótese de De Broglie

Dualidade do Elétron
De Broglie

A esse ponto não restava dúvida de que de fato ondas poderiam se comportar como partículas em certas situações (Efeito Fotoelétrico, Efeito Compton).

Até esse ponto na física sempre foi razoável testar o efeito contrário de cada fenômeno. No eletromagnetismo, Faraday e Lenz estudaram o fenômeno de geração elétrica a partir de uma variação no campo magnético local, e foi razoável aceitar a tese provada por Ampére de que uma variação do campo elétrico também gera campo magnético. Esse é apenas um dos inúmeros exemplos de simetria que ocorrem na física.

Bom, os resultados conhecidos diziam que para ondas vale:

Dualidade do Elétron

De Broglie propôs então que a matéria teria um comprimento de onda associado a ela, dado pela expressão:

Dualidade do Elétron

De acordo com a expressão o caráter ondulatório da matéria só seria perceptível para massas extremamente pequenas. Ou seja, seria um absurdo propor que se atirássemos inúmeras bolas de tênis numa fenda única, haveria difração...

A hipótese de De Broglie foi comprovada em 1927 (3 anos após a data em que De Broglie fez sua proposta), por Davisson e Germer ao estudarem a natureza da superfície de um cristal de Níquel. Eles perceberam que ao incidirem um feixe de elétrons (partículas) contra a superfície, ao invés de haver reflexão difusa, houve uma reflexão similar à observada na incidência de raios X. A incidência de raios X num cristal geram uma forte reflexão a certo ângulo de tal maneira que haja interferência construtiva e um reforço seja perceptível.

Analisando os ângulos nos quais isso aconteciam para o Raio X e os ângulos nos quais isso aconteciam para os elétrons, percebeu-se que nessas situações os elétrons possuíam o exato comprimento de onda proposto por De Broglie.

Ora, então De Broglie estava certo! A interferência construtiva observada nos cristais NUNCA ocorreria de acordo com a teoria corpuscular do elétron.

Conseqüências da hipótese de De Broglie pro átomo de Bohr

Uma das mais importantes conseqüências da teoria de De Broglie é que a mesma justificava os antes indemonstráveis postulados de Bohr.

De Broglie explicou que cada elétron do átomo de Bohr é acompanhado de uma onda estacionária associada guiando seu movimento, dessa maneira a aceleração não estaria contribuindo para a emissão de energia eletromagnética. Para que uma onda estacionária se ajustasse à órbita circular do elétron, devemos ter que o comprimento da órbita circular equivalha a um número inteiro de comprimento de ondas do elétron.

Ou seja:

Dualidade do Elétron

Da hipótese de De Broglie:

Dualidade do Elétron

Dualidade do Elétron

Dualidade do Elétron

A expressão acima já é conhecida! É mais de uns previamente indemonstráveis postulados de Bohr. Concluímos que a teoria de De Broglie foi bastante razoável e apresentava total consistência com a teoria de Bohr!

Caio Guimarães

Fonte: rumoaoita.com

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