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Função exponencial

A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita, normalmente, como exp(x) ou ex (onde e é a constante matemática neperiana, base do logarítmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:

Função Exponencial

Função Exponencial

Aqui, n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.

Se x é real, então ex é sempre positivo e crescente. Conseqüentemente, sua função inversa, o logarítmo neperiano, ln(x), é definida para qualquer valor positivo de x. Usando o logarítmo neperiano, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

ax = exlna

Para todo a > 0 e Função Exponencial

Função Exponencial
A curva ex jamais toca o eixo x, embora apresente tendência a se aproximar deste.

A função exponencial também gera funções trigonométricas (como pode ser visto na equação de Euler para análises complexas), e as funções hiperbólicas. Então, tem-se que qualquer função elementar, exceto as polinomiais são criadas a partir da função exponencial.

As funções exponenciais "transitam entre a adição e a multiplicação" como é expressado nas seguintes leis exponenciais:

a0 = 1
a1 = a
ax + y = axay
Função Exponencial
Função Exponencial
axbx = (ab)x

Estas são válidas para todos os números positivos reais a e b e todos os números reais x. Expressões envolvendo frações e raízes podem freqüentemente serem simplificadas usando-se a notação exponencial porque:

Função Exponencial
Função Exponencial

Função exponencial e equações diferenciais

A maior importância das funções exponenciais nos campos das ciências é o fato de que essas funções são multiplas de suas próprias derivadas:

Função Exponencial

Se a taxa de crescimento ou de decaimento de uma variável é proporcional ao seu tamanho, como é o caso de um crescimemto populacional ilimitado, juros continuamente computados ou decaimento radiativo, então a variável pode ser escrita como uma função exponencial do tempo.

A função exponencial então resolve a equação diferencial básica

Função Exponencial

e é por essa razão comumente encontrada em equações diferenciais. Em particular a solução de equações diferenciais ordinárias pode freqüentemente ser escrita em termos de funções exponenciais.

Essas equações incluem a equação de Schrödinger e a equação de Laplace assim como as equações para o movimento harmônico simples.

Função exponencial no plano complexo

Quando considerada como uma função definida no plano complexo, a função exponencial retém as importantes propriedades

ez + w = ezew
e0 = 1
Função Exponencial
Função Exponencial

para todos z e w. A função exponencial no plano complexo é uma função holomórfica que é periódica com o período imaginário 2pi que pode ser escrita como

ea + bi = ea(cosb + isinb)

onde a e b são valores reais. Essa fórmula conecta a função exponencial com as funções trigonométricas, e essa é a razão que extendendo o logarítimo neperiano a argumentos complexos resultam na função multivalente ln(z). Nós podemos definir como uma exponenciação mais geral:: zw = ewlnz para todos os números complexos z e w. Isto é também uma função multivalente. As leis exponenciais mencionadas acima permanecem verdade se interpretadas propriamente como afirmações sobre funções multivalentes.

É fácil ver, que a função exponencial descreve qualquer curva no plano complexo a uma espiral logarítmica no plano complexo com centro em 0, nada como o caso de uma reta paralela com os eixos reais ou imaginários descrevem uma curva ou um círculo.

Função exponencial para matrizes e álgebras de Banach Rene RPM

A definição de função exponencial exp dada acima pode ser usada palavra por palavra para cada álgebra de Banach, e em particular para matrizes quadradas. Neste caso temos

ex + y = exey
se xy = yx

e0 = 1
ex é inversível com inverso e-x

a derivada da exp no ponto x é aquela descrição linear que transforma u em u·ex.

No contexto das álgebras de Banach não comutativas, como as álgebras de matrizes ou operadores no espaço de Banach ou de Hilbert, a função exponencial é freqüentemente considerada como uma função de um argumento real:

f(t) = etA

onde A é um elemento fixo da álgebra e t é qualquer número real. Essa função tem importantes propriedades:

f(s + t) = f(s)f(t)
f(0) = 1
f'(t) = Af(t)

Mapa exponencial nas álgebras de Lie

O "mapa exponencial" que passa uma álgebra de Lie a um grupo de Lie compartilha as propriedades acima, o que explica a terminologia.

De fato, desde que R é uma álgebra de Lie de um grupo de Lie de todos os números positivos reais com multiplicação, a função exponencial para argumentos reais é um caso especial da situação da álgebra de Lie. Similarmente, desde que a álgebra de Lie M (n, R) de todas as matrizes reais quadradas pertence ao grupo de Lie de todas as matrizes quadradas inversíveis, a função para matrizes quadradas é um caso especial do mapa exponencial da álgebra de Lie

Fonte: pt.wikipedia.org

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