Os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, que ocupa um dos focos da elipse descrita .
O segmento imaginário que une o centro do Sol e o centro do planeta varre áreas proporcionais aos intervalos de tempo dos percursos.
O quadrado do período de revolução de cada planeta é proporcional ao cubo do raio médio respectiva órbita.
Sendo T o período do planeta, isto é, o intervalo de tempo para ele dar uma volta completa em torno do Sol, e r a medida do semi-eixo maior de sua órbita (denominado raio médio), a Terceira Lei de Kepler permite escrever:
A constante de proporcionalidade K só depende da massa do Sol.
Analisando as leis de Kepler, Newton notou que as velocidades dos planetas variam ao longo da órbita em módulo e direção. Como a variação da velocidade é devida a forças, Newton concluiu que os planetas e o Sol interagem a distância, com forças chamadas gravitacionais. Uma tremenda capacidade de generalização e um conhecimento profundo de Matemática permitiram a Newton descobrir que as forças gravitacionais são funções do inverso do quadrado da distância e dependem da massa de cada um dos planetas.
Se M e m são as massas de dois pontos materiais e r é a distância que os separa, a intensidade da força gravitacional é dada por:
Onde:
F: força de atração
G: constante de gravitação universal
m1 e m2: massas dos corpos estudados
d: distância entre os corpos
Se em vez de pontos materiais tivermos esferas homogêneas, a distância r a ser considerada é entre seus centros.
A força gravitacional F é uma força de campo que atua a distância ao longo da reta que une os centros dos corpos.
Na expansão anterior G = 6,67 . 10-11 unidades do Sistema Internacional é uma constante chamada constante de gravitação universal.
Ela não depende do meio: seu valor é o mesmo no ar, vácuo ou qualquer outro meio interposto entre os corpos.
Como a constante G é muito pequena, a força F só tem
intensidade apreciável se ao menos uma das massas for elevada, como
a de um planeta. Para corpos pequenos (pessoas, objetos, veículos),
a atração gravitacional F entre suas massas tem pequena intensidade
e é desprezível.
Esta lei estabelece duas relações importantes:
Quanto maior a distância entre dois corpos, menor a força de
atração, e vice-versa.
Quanto maior as massas dos corpos, maior a força de atração,
e vice-versa.
Da fig. 5 temos que a força F1 de atração que o Sol exerce sobre o planeta é maior que F2
porque a distância que o planeta está do Sol na posição 1 é menor que a distância na posição 2.
Fonte: educar.sc.usp.br
Johannes Kepler (1571 – 1630) foi um matemático e astrônomo alemão cuja principal contribuição à astronomia e astrofísica foram as três leis do movimento planetário.
Kepler estudou as observações do lendário astrônomo Tycho Brahe, e descobriu, por volta de 1605, que estas observações seguiam três leis matemáticas relativamente simples. Suas três leis do movimento planetário desafiavam a astronomia e física de Aristóteles e Ptolomeu. Sua afirmação de que a Terra se movia, seu uso de elipses em vez de epiciclos, e sua prova de que as velocidades dos planetas variavam, mudaram a astronomia e a física.
Em 1596, Kepler publicou Mysterium Cosmographicum, onde expôs argumentos favoráveis às hipóteses heliocêntricas. Em 1609 publicou Astronomia Nova... De Motibus Stellae Martis, onde apresentou as três leis do movimento dos planetas, que hoje levam seu nome:
O modelo de Kepler é heliocêntrico. Seu modelo foi muito criticado pela falta de simetria decorrente do fato do Sol ocupar um dos focos da elipse e o outro simplesmente ser preenchido com o vácuo.
Ilustração da segunda lei de Kepler
"O planeta em órbita em torno do Sol descreve uma elipse em que o Sol ocupa um dos focos".
Esta lei definiu que as órbitas não eram circunferências, como se supunha até então, mas sim elipses.
"A linha que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais".
Esta lei determina que os planetas se movem com velocidades diferentes, dependendo da distância a que estão do Sol.
"Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos dos eixos máximos de suas órbitas".
Ou seja, sendo T o período de revolução e a o eixo máximo da órbita de um planeta, tem-se:
Esta lei indica que existe uma relação entre a distância do planeta e o tempo que ele demora para completar uma revolução em torno do Sol. Portanto, quanto mais distante estiver do Sol mais tempo levará para completar sua volta em torno desta estrela.
A explicação física do comportamento dos planetas veio somente um século depois quando Isaac Newton foi capaz de deduzir as leis de Kepler a partir das hoje conhecidas como Leis de Newton e de sua Lei da gravitação universal, usando sua invenção do cálculo. É possível notar, de suas leis, que outros modelos de gravitação dariam resultados empíricos falsos.
Em 1687, Newton publicou os Principia, onde explica as forças que agem sobre os planetas devido à presença do Sol:
"Da primeira lei de Kepler que a força que age constantemente sobre o planeta tem sua linha de ação passando pelo Sol, para o qual é dirigida. Portanto o Sol tudo atrai. Da segunda que essa força é também inversamente proporcional ao quadrado da distância entre o Sol e o planeta. Ou seja, que quanto mais perto o planeta está maior é a força de atração do Sol. E da terceira que devido ao Sol, a força que age constantemente sobre o planeta, além de ser central, estar dirigida para o Sol e ser inversamente proporcional ao quadrado da distância, é diretamente proporcional à massa do planeta. O coeficiente de proporcionalidade não depende do planeta."
Fonte: pt.wikipedia.org
As leis de Kepler descrevem a cinemática do movimento dos planetas em torno do Sol.
Os planetas descrevem órbitas elípticas estando o Sol em um de seus focos
r1 é a distância mais próxima do foco (quando q=0) e r2 é a distância mais distantes do foco (quando q=p).
Uma elipse é uma figura geométrica que tem as seguintes características:
Semi-eixo maior a=(r2+r1)/2
Semi-eixo menor b
Semi distância focal c=(r2-r1)/2
A relação entre os semi-eixo é a2=b2+c2
A excentricidade é definida como o quociente e=c/a=(r2-r1)/(r2+r1)
O vetor posição de qualquer planeta relativo ao Sol, varre áreas iguais da elipse em tempos iguais.
A lei das áreas é equivalente a constância do momento angular, logo, quando o planeta está mais distante do Sol (afélio) sua velocidade é menor que quando está mais próximo ao Sol (periélio). No afélio e no periélio, o momento angular L é o produto da massa do planeta, por sua velocidade e por sua distância ao centro do Sol.
L=mr1·v1=r2·v2
Os quadrados dos períodos P de revolução são proporcionais aos cubo do semi-eixo maior a da elipse.
P2=k·a3
Como podemos ver, o período dos planetas depende somente do eixo maior da elipse. Os três planetas da animação tem o mesmo eixo maior 2a=6 unidades, por tanto, tem o mesmo período.
Fonte: www.fisica.ufs.br
