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Álgebra

Breve História da Álgebra Abstrata

Capítulo 1

Um panorama geral

1.1 Introduçãoao

Durante muitíssimo tempo, a palavra Álgebra designava aquela parte da matemática que se ocupava de estudar as operações entre números e, principalmente, da resolução de equações. Nesse sentido, pode-se dizer que esta ciência é tão antiga quanto a própria história da humanidade, se levamos em conta que esta ´ultima se inicia a partir da descoberta da escrita. De fato, tanto nas tabuletas de argila da suméria quanto nos papiros egípcios, encontramos problemas matemáticos que lidam com a resolução de equações.

No Papiro Rhind, por exemplo, documento egípcio que data aproximadamente do ano 1650 a.C. e no qual o escriba conta que está copiando material que provém do ano 2000 a.C., encontramos problemas sobre distribui ção de mercadorias que conduzem a equações relativamente simples.

Surpreendentemente, descobrimos também que os antigos babilônios sabiam resolver completamente equações de segundo grau (veja, por exemplo o Capítulo III de [3]). Desde os seus começos, a álgebra se preocupou sempre com a procura de métodos gerais e rigorosos. Assim por exemplo, R.J. Gillings [9, Appendix I] comentando os métodos que os egípcios usavam para lidar com a resolução de equações diz:

Os estudiosos da história e filosofia da ciência do século vinte, ao considerar as contribuições dos antigos Egípcios, se inclinam para atitude moderna de que um argumento ou prova lógica deve ser simbólico para ser considerado rigoroso, e que um ou dois exemplos específicos usando números escolhidos não podem ser considerados cientificamente sólidos. Mas isto não ´e verdade! Um argumento ou demonstrações não simbólico pode ser realmente rigoroso quando dado p[ara um valor particular da variável; as condições para o rigor são que o valor particular da variável seja típico e que uma conseqüente generalização para qualquer valor seja imediata. Em qualquer dos tópicos mencionados neste livro, onde o tratamento dado pelos escribas seguia estas linhas, ambos os requisitos eram satisfeitos de modo que os argumentos colocados pelos escribas são já rigorosos... o rigor está implícito no método.

Quando finalmente se desenvolveu uma notação apropriada (empregando letras para representar coeficientes e variáveis de uma equação), foi possível determinar “fórmulas gerais” de resolução de equações e discutir métodos de trabalho também “gerais”. Porem, mesmo nestes casos, tratava-se de situações relativamente concretas. As letras representavam sempre algum tipo de números (inteiros, racionais, reais ou complexos) e utilizavam-se as propriedades destes de forma mais ou menos intuitiva. Como veremos adiante, a formalização destes conceitos de modo preciso só aconteceria a partir do século XIX.

Foi precisamente nesse século que alargou-se consideravelmente o conceito de operação. Alguns autores da época não mais se restringem a estudar as operações clássicas entre números, mas dão ao termo um significado bem mais amplo e estudam operações entre elementos, sem se preocupar com a natureza destes, interessando-se apenas com as propriedades que estas operações verificam.

A passagem da álgebra clássica para a assim chamada álgebra abstrata foi um processo sumamente interessante. Representa não somente um progresso quanto aos conteúdos técnico-cietíficos da disciplina como amplia consideravelmente o seu campo de aplicação e, o que é mais importante, implica - num certo sentido - uma mudança na própria concepção do que a matemática é, da compreensão de sua condição de ciência independente e da evolução dos métodos de trabalho.

J. Dieudonn é disse, em [1, Capítulo III] que “... em matemática, os grandes progressos estiveram sempre ligados a progressos na capacidade de elevarse um pouco mais no campo da abstração” e, na mesma obra, A. Lichnerowicz [1, Capítulo IV] observou que “´e uma característica da matemática repensar

O SIMBOLISMO ALGÉBRICO

Integralmente seus próprios conteúdos e nisso reside, inclusive, uma condição essencial para seu progresso”. A história da álgebra abstrata ilustra perfeitamente estes pontos de vista.

Pode-se dizer que há dois fatores que contribuíram fundamentalmente para o desenvolvimento da álgebra: de um lado, a tendência a aperfeiçoar as notações, de modo a permitir tornar o trabalho com as operações (e equações) cada vez mais simples, rápido e o mais geral possível e, por outro lado, a necessidade de introduzir novos conjuntos de números, com o conseqüente esforço para compreender sua natureza e sua adequada formalização.

E bem sabido que o uso de uma notação adequada é fundamental para o bom desenvolvimento de uma área da matemática. Por´em, a hist´oria nos ensina que nem sempre é fácil chegar a uma tal notação. Um bom exemplo vem dos próprios números naturais. A numeração indo-arábico que usamos ainda hoje começou a ser desenvolvida na Índia e a primeira referência ao princípio posicional aparece pela primeira vez na obra de Aryabhata chamada Aryabatiya, publicada em 499, onde encontramos a frase de lugar para lugar, cada um vale dez vezes o precedente. A primeira ocorrência de fato se dá num objeto do ano 595, onde a data 346 aparece em numeração posicional e o registro mais antigo do uso do número zero se acha numa inscrição indiana de 876 d.C.

A necessidade de uma notação mais sofisticada se manifestou pela primeira vez em relação á resolução de equações algébricas. Como já observamos, os egípcios resolviam equações de primeiro grau e algumas equações particulares do segundo grau, enquanto que os babilônios conheciam o método para resolver qualquer equação de segundo grau. Também os gregos resolviam este tipo de equações, por métodos geométricos mas, em todos os casos, não havia notações nem fórmulas gerais.

É no século IV d.C., na Aritmética de Diophanto, que encontramos pela primeira vez o uso de uma letra para representar a incógnita de uma equação, que o autor chamava o número do problema. Como os manuscritos originas de Diofanto não chegaram até nós, não sabemos com toda certeza quais os símbolos que ele usava, mas acredita-se que representava a incógnita pela letra &, uma variante da letra _ quando aparece no fim de uma palavra (por exemplo, em µ´o & - arithmos). Esta escolha se deve provavelmente ao fato de que, no sistema grego de numeração, as letras representavam também números conforme sua posição no alfabeto, mas a letra & não fazia parte do sistema e não correspondia, assim, a nenhum valor numérico particular.

Ele usava também nomes para designar as várias potências da incógnita, como quadrado, cubo, quadrado-quadrado (para a quarta potência), quadrado-cubo (para a quinta) e cubo-cubo (para a sexta). O uso de potências superiores a três é notável uma vez que, como os gregos se apoiavam em interpretações geométricas, tais potências não tinham um significado concreto. Porém, de um ponto de vista puramente aritmético, estas potências sim tem significado e esta era a postura adotada por Diofanto.

A partir de então, os métodos e notações de Diofanto foram se aperfeiçoando muito lentamente. Mesmo os símbolos hoje tão comuns para representar as operações demoraram a ser introduzidos. Muitos algebristas usavam p e m para representar a adição e a subtração por serem as iniciais das palavras latinas plus e minus. O símbolo = para representar a igualdade foi introduzido só em 1557 por Robert Recorde e não voltou a aparecer numa obra impressa até 1618. Autores como Kepler, Galileo, Torricelli, Cavalieri, Pascal, Napier, Briggs e Fermat, entre outros, ainda usavam alguma forma retórica em vez de um símbolo, como as palavras e aqueles, escale, faciunt, gheljck ou a abreviatura aeq. Para uma história detalhada da evolução do simbolismo algébrico, o leitor pode consultar a referência clássica de F. Caburé [4].

A notação de expoentes ´e usada por Nicolas Chuquet (1445?-1500?) na sua Tripary, onde escreve expressões como 123, 103 e 1203 para representar o que hoje escreveríamos como 12x3, 10x3 e 120x3 e também 120 e 71m para 12x0 e 7x-1.

Os primeiros passos para a introdução do conceito de polinômio e seu uso para a formulação de problemas de resolução de equações foram dados por Simon Stevin (1548 - 1620). Nascido em Bruges, mudou para Leyden em 1582, foi tutor de Maurício de Nassau e serviu o exército holandês. Ele foi um defensor do sistema de Copérnico e o primeiro a discutir e sugerir o emprego de frações decimais (por oposição ao sistema sexagesimal defendido por outros), na sua obra mais conhecida De Thiende, publicada em Flamengo em 1585 e traduzida ao francês, sob o título Lá Disme, no mesmo ano.

Alí ele usou símbolos como Álgebra etc. para indicar as posi¸c˜oes das unidades, d´izimas, cent´esimas, respectivamente. Assim por exemplo, ele escreve 875, 782 como 875 Álgebra No restante do livro, ele estuda as opera¸c˜oes entre d´izimas e justifica as regras de c´alculo empregadas. O leitor interessado pode ver uma tradu¸c˜ao ao inglˆes de De Tiende em [28, pp. 20-34].

No seu livro seguinte, “L’ Arithmetique”, publicado em 1585, ele introduz uma nota¸c˜ao exponencial semelhante para denotar as v´arias potˆencias de uma vari´avel. As potˆencias que n´os escrever´iamos com x, x2 x3 etc. s˜ao denotadas por ele como Álgebra e assim, por exemplo, o polinˆomio 2x3 +4x2 +2x+5 se escreveria, na sua nota¸c˜ao como:

Álgebra

Ele denomina estas expressões de multinômios e mostra como operar com eles. Entre outras coisas, observa que as opera¸c˜oes com multinômios tem muitas propriedades em comum com as operações entre “números aritméticos”. Ainda, ele mostra que o algoritmo de Euclides pode ser usado para determinar o máximo divisor comum de dois “multinômios”. ´E interessante destacar aqui que nos encontramos frente a dois progressos notáveis na direção da abstração. De um lado temos a percepção, cada vez mais clara, de que os métodos de resolução de equações dependem unicamente do grau da equação e não dos valores dos coeficientes numéricos (vale lembrar que autores como Tartaglia, Cardano e outros, que se utilizavam apenas de coeficientes positivos, consideravam como problemas diferentes, por exemplo, as equações da forma X3 = aX +b e X3 +aX = b). Mais importante ainda, vemos que Stevin trata seus multinômios como novos objetos matemáticos e estuda as operações entre eles.

Mais interessante ainda é o trabalho de François Viète (1540 - 1603). Nascido em Fontenay-le Comte, teve formação de advogado e, nesta condição, serviu ao parlamento de Bretania em Rennes e foi banido de suas atividades, devido à oposição política, entre 1584 e 1589, quando foi chamado por Henri III para ser conselheiro do parlamento, em Tours. Nos anos em que esteve afastado da atividade política, dedicou-se ao estudo da matemática e, em particular, aos trabalhos de Diophanto, Cardano, Tartaglia, Bombelli e Stevin. Da leitura destes trabalhos ele teve a idéia de utilizar letras para representar quantidades. Isto já tinha sido feito no passado, até por autores como Euclides e Aristóteles, mas seu uso era pouco freqüente.

Sua principal contribuição à Álgebra aparece no seu livro In Artem Analyticam Isagoge - Introdução á Arte Analítica - impresso em 1591, onde trata das equações algébricas de um novo ponto de vista. Ele fez importantes progressos na notação e seu verdadeiro mérito está em ter usado letras não somente para representar a “incógnita”, mas também para representar os coeficientes ou quantidades conhecidas. Ele usava consoantes para representar quantidades conhecidas e reservava as vogais para representar as incógnitas. Deixamos Viète descrever a grande descoberta com suas próprias palavras.

Este trabalho pode ser ajudado por um certo artifício. Magnitudes dadas serão distinguidas das desconhecidas e requeridas por um simbolismo, uniforme e sempre fácil de perceber, como é possível designando as quantidades requeridas pela letra A ou por outras letras vogais A,I,O,V,Y e as dadas pelas letras B,G,D ou outras consoantes.

Assim por exemplo, a equa¸c˜ao que n´os escrever´iamos como Álgebra era representada por ele na forma:

B in A quadratum plus C plano in A aequalia D solido.

Como Viète pensava geometricamente, requeria, para suas equações, um princípio de homogeneidade, i.e., todos os termos de uma dada equação deveriam ter a mesma “dimensão”; assim por exemplo, todos os termos de uma equação quadrática, tal como a dada acima, deviam representar volumes. É por causa disso que o coeficiente da variável C ´e acompanhado do adjetivo plano, pois devia representar uma área. Da mesma forma, D ´e acompanhado do termo sólido para enfatizar que representa um volume. Uma restrição à generalidade de sua notação è que ele representava por letras apenas números positivos e, como muitos dos seus predecessores, não utilizava coeficientes negativos. John Hudde (1633 - 1704) foi o primeiro a usar, em 1657, letras para representar coeficientes que podiam ser tanto positivos quanto negativos.

Viète chamava sua álgebra simbólica de logística especiosa por oposição à logística numerosa, que trata dos números. ´E importante observar que Viète tinha plena consciência de que seu emprego de letras lhe permitia trabalhar com classes de equações, por oposição ao emprego de números, que permite apenas trabalhar com um exemplo de cada vez. Com isso ele tornou explícita a diferença entre álgebra e Aritmética: para ele, a Álgebra logística especiosa era um método para operar com espécies ou formas de coisas e a Aritmética logística numerosa - lidava apenas com números.

Também tentou “trabalhar algebricamente”, provando, por exemplo, as identidades que os gregos tinham exibido por métodos geométricos. Assim, no seu Zeteticorum Libri Quinque - Cinco Livros de An´alise2 - publicado em 1593, ele utiliza o método de “completar quadrados” numa equação de segundo grau e também encontramos ali identidades gerais do tipo:

Álgebra

que ele escreve na forma:

a cubus + b in a quad. 3 + a in b quad.3 + b cubo aequalia a + b cubo.

Após sua morte, seu amigo escocês Alexandre Anderson fez publicar, em 1615, num só volume, dois artigos de Viète escritos em torno de 1591, intitulados De aequationem recognitione e De aequationem emendationem.

Vièete não usava o termo Álgebra que, por ser de origem árabe, não considerava adequado para a Europa cristã; no seu lugar empregava o termo Análise que, devido talvez a sua influência, foi adotado depois como sinônimo de “Álgebra Superior”. Dois episódios ilustram muito bem o talento matemático de Viète e fama que chegou a desfrutar ainda durante sua vida Em 1593, o matemático belga Adriaen van Roomen (1561-1615) - ou Adrianus Romanus, na versão latinizada do seu nome - propôs “a todos os matemáticos” o problema de resolver uma determinada equação de grau 45, do tipo:

Álgebra

O embaixador dos Países Baixos na corte de França afirmou então que nenhum matemático francês seria capaz de resolver esta equação. O rei, Henrique IV, fez Vi`ete saber deste desafio e ele notou que a equação proposta resultava de expressar a igualdade K = sen(45._) em termos de x = sen _ e conseguiu achar, nessa primeira audiência, uma raiz positiva. No dia seguinte, ele achou todas as 23 raízes positivas da equação. Van Roomen ficou tão impressionado que fez uma visita especial a Viete. Este publicou sua solução em 1595, num tratado intitulado Ad problema, quod omnibus mathematicis totius orbis construendum propusuit Adrianus Pomanus, responsum.

Outro episódio que ilustra sua extraordinária capacidade ´e o seguinte. Durante a guerra com a Espanha, ainda a serviço de Henrique IV, ele pode decifrar o código utilizado pelos espanhóis a partir de cartas que foram interceptadas e, dali em diante, conhecer o conteúdo de novas cartas escritas nesse código. Os espanhóis achavam seu código tão difícil de ser quebrado, que acusaram a França, perante o Papa, de usar feitiçaria.

O uso de letras para representar classes de números e assim tratar das equações de forma mais geral demorou a ser aceito. Um aperfeicoamento desta notação foi devido a René Descartes (1596-1650) que, na sua obra intitulada utiliza pela primeira vez a prática hoje usual de utilizar as primeiras letras do alfabeto para representar quantidades conhecidas e as ´ultimas, como x,y z para as incógnitas. ´E precisamente nesta obra que Descartes apresenta as idéias que deram origem `a Geometria Analítica, junto com as contribuições de Pierre de Fermat. Esse texto não foi apresentado como um livro independente mas como um apêndice da obra pela que seria mais conhecido, o Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la v´erit´e dans les sci´ences, em 16374 A obra foi publicada em francês e não latim, que era a linguagem científica universal da época. Frans Van Schooten (1615-1660), um matemático holandês, publicou em 1649, em Leyden, uma tradução ao latim que incluía material suplementar e que foi ampliada a dois volumes em 1654-1661. Foi devido a esta publicação e a ação de Von Schooten e seus discípulos que a geometria cartesiana se desenvolveu rapidamente.

O progresso final, em relação ao uso da notação consistiu em usar uma letra também para representar o grau de uma equação. Nossa notação moderna que utiliza expoentes negativos e fracionários foi introduzida por Isaac Newton (1642-1727) numa carta dirigida a Oldenburg, então secretário da Royal Society, em 13 de junho de 1676, onde diz:

Álgebra

Também sua fórmula para o binômio foi anunciada nesta carta, usando letras para representar inclusive expoentes racionais. Antes de Newton, já JohnWallis (1616-1703) tinha usado expoentes literais, em 1657, em expressões tais como Álgebra ao tratar de progressões geométricas.

O primeiro a usar o símbolo + tal como o conhecemos foi Robert Recorde (1510-1558), que em 1557 publicou o primeiro texto de álgebra da Inglaterra, chamado The Whetstone of Witte. Ali ele introduz o s´imbolo dizendo:

I will sette as I doe often in woorke vse, a pair of paralleles or Gemowe 5lines, of one length, thus :=, bicause no .2 thynges, can be moare equalle.

(Usarei, como faço frequentemente no trabalho, um par de linhas paralelas, do mesmo comprimento assim :=, porque duas coisas não podem ser mais iguais).

Este símbolo não foi incorporado rapidamente; como vimos, Viéete, usava ainda, em 1589, a expressão aequalis e, mais tarde, o símbolo _. Descartes, em 1637, usava / que provavelmente deriva de ae, usado como abreviatura de aequalis. Incidentalmente, vale a pena mencionar que os símbolos + e - hoje usados para denotar adição e subtração respectivamente aparecem impressos pela primeira vez num texto de Johannes Widman, professor da Universidade de Leipzig nascido em torno de 1460. O sinal + deriva, aparentemente da palavra latina et, usada em vários manuscritos para designar a adição e o sinal - da letra m que, como vimos, era usada para abreviar minus. Eles são usados uma aritmética comercial intitulada Rechenung auff allen Kauffmanschafft que publicou em 1489, mas estes sinais já aparecem em notas manuscritas de um aluno seu de 1486 que se conservam na biblioteca de Dresden (Codex Lips 1470). Eles foram aceitos gradativamente e já Boaventura Cavalieri, um discípulo de Galileo, na sua Exercitationes Geometricae Sex de 1647 os usa como se fossem familiares ao leitor.

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