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Álgebra

Capítulo 2

Os campos numéricos

2.1 Introdução

As origens da noção de número ou operação são tão antigas quanto a própria cultura humana. Parece claro que os números naturais; i.e., os elementos da seqüência 0, 1, 2, 3, . . . desenvolveram-se a partir da experiência cotidiana e os seu emprego foi generalizando-se gradativamente. Algo análogo aconteceu com os números racionais não negativos; i.e., os números da forma a/b, onde a e b são números naturais. Já encontramos o uso destes números no Egito, na Babilônia, e os gregos fizeram deles usos muito sofisticados.

Algo bem diferente aconteceu com os números negativos. O primeiro uso conhecido dos inteiros negativos encontra-se numa obra indiana, devida a Brahmagupta, de 628 d.C. aproximadamente, onde são interpretados como dividas. Desde seu aparecimento, eles suscitaram duvidas quanto a sua legitimidade. Assim por exemplo, Stifel em 1543 ainda os chama de números absurdos e Cardano, de quem nos ocuparemos adiante, os considerava soluções falsas de uma equação.

Uma coisa semelhante aconteceu com os números irracionais; isto é, aqueles que não podem ser escritos na forma a/b com a e b números inteiros; por exemplo, os números que hoje representamos como Álgebra Já na época dos pitagoricos, no século VI a.C. se sabia da existência de segmentos cuja medida não era um numero racional: dado um quadrado de lado 1, pode se provar facilmente que sua diagonal de ter medida igual a Álgebra Para autores como Pascal e Barrow, símbolos tais como representavam apenas magnitudes geométricas que não tinham existência independente, e cuja medida apenas podia ser aproximada por números racionais. Tal é também o ponto de vista assumido por Newton na sua Arithmeica Universalis, publicada em 1707.

Quando a ciência européia ainda não tinha clara a validade do emprego dos números negativos ou dos irracionais, irromperam no mundo matemático os números que hoje chamamos de complexos. O fato de que um numero negativo não tem raiz quadrada parece ter sido sempre claro para os matemáticos que se depararam com a questão.

A rigor, uma equação era vista como a formulação matemática de um problema concreto; assim, se no processo de resolução aparecia uma raiz quadrada de um numero negativo, isto era interpretado apenas como uma indicação de que o problema originalmente proposto não tinha solução. Como veremos, foram só as equações de terceiro grau que impuseram a necessidade de trabalhar com estes números. Vejamos inicialmente alguns antecedentes. Um primeiro exemplo desta atitude aparece na Arithmetica de Diophanto. Aproximadamente no ano de 275 d.c. ele considera o seguinte problema:

Um triangulo retângulo tem área igual a 7 e seu perímetro é de 12 unidades. Encontre o comprimento dos seus lados. Chamando x e y o comprimento dos catetos desse triangulo temos, na nossa notação atual:

Álgebra

Substituindo y em função de x obtemos a equação:

Álgebra

cujas raízes são:

Álgebra

Neste ponto Diophanto observa que só poderia haver solução se Álgebra24×336. Neste contexto, é claro que não há necessidade alguma de introduzir um sentido para a expressãoÁlgebra

Na verdade, a primeira aparição escrita de um radical de um numero negativo é um pouco anterior: ele aparece na Estereometria de Heron, matem atiço grego do período Alexandrino, publicada aproximadamente em 75 d.c.. Num calculo sobre o desenho de uma pirâmide aparece a necessidade de avaliar Álgebra A questão parece não causar nenhum problema simplesmente porque logo em seguida os números aparecem trocados como Álgebra que é calculado aproximadamente como Álgebra Novas referencias a questão aparecem na matemática indiana. Aproximadamente no ano 850 d.c., o matemático indiano Mahavira afirma:

. . . como na natureza das coisas um negativo não é um quadrado, ele não tem portanto raiz quadrada.

Já no século XII o famoso matemático Bhascara (1114-1185 aprox.) escreve:

O quadrado de um afirmativo é afirmativo; e a raiz quadrada de um afirmativo ´e dupla: positiva e negativa. Não ha. raiz quadrada de um negativo; pois ele não é um quadrado.

Também na matemática européia aparecem observações desta natureza; Luca Paccioli, na sua Summa di Arithmetica Geometria, publicada em 1494, escreve que a equação Álgebra é solúvel somente se Álgebra c e o matemático francês Nicolas Chuquet (1445-1500 aprox.) faz observações semelhantes sobre “soluções impossíveis” num manuscrito não publicado de 1484. O próprio Cardano se deparou com este tipo de questões e, embora mantivesse a atitude dos seus contemporâneos, no sentido de entender que raízes de números negativos indicavam apenas a não existência de soluções de um determinado problema, pelos menos num caso ele deu um passo a mais.

No Capitulo 37 do Ars Magna ele considera o problema de dividir um segmento de comprimento 10 em duas partes cujo produto seja 40.

Álgebra

Se chamamos de x o comprimento de uma das partes, a outra terá comprimento 10 - x e a condição do problema se traduz na equação:

x(10 - x) = 40.

Isto leva a equação Álgebra cujas soluções são Álgebra Ele reconhece que o problema dado não tem solução mas, talvez a titulo de curiosidade, ele observa que trabalhando com essas expressões como se fossem números, deixando de lado as torturas mentais envolvidas e multiplicando.Álgebra

Em conseqüência, ele chama estas expressões de raízes sofisticas da equação e diz, a respeito delas, que são tão sutis quanto inúteis.

A necessidade dos números complexos

Raphael Bombelli (1526-1573) era um admirador da Ars Magna de Cardano, mas achava que seu estilo de exposição não era claro (ou, em suas próprias palavras: ma nel dire fu oscuro). Decidiu então escrever um livro, expondo os mesmos assuntos, mas de forma tal que um principiante pudesse estuda-los sem necessidade de nenhuma outra referencia. Publicou então uma obra que viria a se tornar muito influente, sob o titulo de l’Algebra, em três volumes, em 1572, em Veneza. No capitulo II desta obra, ele estuda a resolução de equações de grau não superior a quatro. Em particular na pagina 294 e seguintes, ele considera a equação Álgebra 15x + 4.

Ao aplicar a formula de Cardano para o calculo de uma raiz, ele obtém:

Álgebra

Seguindo Cardano, ele também chama esta expressão de sofistica mas, por outro lado, ele percebe que x = 4 ´e, de fato, uma raiz da equação proposta. Assim, pela primeira vez, nos deparamos com uma situação em que, apesar de termos radicais de números negativos, existe verdadeiramente uma solução da equação proposta. ´E necessário então compreender o que esta acontecendo.

Bombelli concebe então a possibilidade de que exista uma expressão da forma Álgebra que possa ser considerada como raiz cúbica de Álgebra i.e., que verifique Álgebra A forma em que ele calcula esta raiz é um tanto peculiar; ele assume que a raiz cúbica de Álgebra seja da forma Álgebra Como ele sabe que 4 deve ser raiz da equação, tem que Álgebra Neste ponto felizmente as quantidades não existentes se cancelam e obtemos a = 2. Com esse resultado, é muito fácil voltar á equação Álgebra e deduzir que b = 1. Assim, ele obtem que

Álgebra

é uma solução da equação dada. Claro que este método não é verdadeiramente útil para resolver equações, pois para o calculo da raiz cúbica foi necessário conhecer de antemão a solução, mas tem o mérito de explicar como se pode obter a solução apesar de aparecer, no caminho, uma raiz quadrada de um numero negativo.

Bombelli percebeu claramente a importância deste achado. Ele diz:

Eu achei uma espécie de raiz cúbica muito diferente das outras, que aparece no capitulo sobre o cubo igual a uma quantidade e um numero. . . .A principio, a coisa toda me pareceu mais baseada em sofismas que na verdade, mas eu procurei ate que achei uma prova.

O caso em que Álgebra era chamado na época de casus irreducibilis porque qualquer tentativa de calcular de fato o valor da incógnita pela formula de Cardano-Tartaglia, sem conhece-lo antecipadamente leva, de novo, `a equação de terceiro grau original. Porem, este era, em certo sentido, o mais importante de todos, pois ´e justamente o caso em que a equação considerada tem três raízes reais. Bombelli justifica seu estudo dizendo:

Isto pode parecer muito sofisticado mas, na realidade, eu tinha essa opinião, e não pude achar a demonstração por meio de linhas [i.e. geometricamente], assim, tratarei da multiplicação dando as regras para mais e menos.

Ele utiliza a expressão piu di meno para se referir ao que nos denotaríamos como +i e meno di meno para -i. Ele enuncia então o que chama de regras do produto:

Piu via piu di meno fa piu di meno,
Meno via piu di meno fa meno di meno,
Piu via meno di meno fa meno di meno,
Meno via meno di meno fa piu di meno,
Pi`u di meno via piu di meno fa meno,
Meno di meno via piu di meno fa piu,
Meno di meno via meno di meno fa meno.

Literalmente, isto significa:

Álgebra

Interessante notar que Bombelli se deparava com a dificuldade adicional de não dispor de uma boa notação. Ele utilizava p (plus) para indicar a soma; m (minus) para a subtração; R (radix) para raiz quadrada e R3 para a raiz cúbica. Também não dispunha de parênteses; nos seus manuscritos sublinhava expressões para indicar quais os termos afetados por um radical. Assim por exemplo, a expressão Álgebraera escrita na forma.

Álgebra

Note que, como não escrevia diretamente números negativos, ele escreve -121 como 0m121. Desta forma, a solução da equação discutida acima aparecia como:

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Também é interessante observar que Bombelli não empregava símbolo para igualdade; desta forma, a equação em apreço era escrita como:

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