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Álgebra

Capitulo 4

A descoberta dos quaternios

4.1 Números Complexos.

Foi no período de intensa atividade na direção de uma crescente abstração, de que tratamos no capitulo anterior, que um notável matemático irlandês, Sir William Rowan Hamilton (1805-1865), deu a fundamentação definitiva dos números complexos como pares ordenados de números reais, tal como ´e apresentada atualmente.

Hamilton foi uma criança prodígio; aos três anos de idade lia perfeitamente inglês e aprendeu os rudimentos da aritmética. Aos quatro aprendeu geografia, aos cinco sabia latim e hebraico e ate os dez anos de idade aprendeu italiano, francês, árabe, sânscrito, persa, caldeu e varias línguas orientais. Aos doze interessou-se por matemática. Estudou então a Álgebra Universalis de Newton e, antes dos dezessete, estudou a monumental Mecanique C´eleste de Laplace na qual descobriu um erro e publicou a correção correspondente.

Ele fez importantes contribuições à física e à astronomia mas nos interessa aqui ocuparmo-nos de suas idéias matemáticas. Em 1833, aos 28 anos de idade, publicou Conjugate Functions and on Algebra as the Science of Pure Time. Nesse trabalho estabelece sua visão da Álgebra como ciência. Na sua opinião a Álgebra devia ser mais que uma linguagem; o fato de a Álgebra ser uma ciência significava, para ele, que seus teoremas devem ser verdadeiros e não apenas demonstráveis a partir de certas premissas; isto ´e, na sua visão, eles devem ter uma conexão com a realidade.

Ele acreditava que a intuição do tempo esta mais profundamente enraizada na mente humana que a do espaço e que esta deveria servir para fundamentar a Algebra; mais ainda, acreditava que as idéias básicas sobre o tempo são aquelas de ordem e progressão. Assim, ele introduziu o conceito de transição, que a cada par de momentos (a,b) associa uma transição T tal que T(a) = b.

Sua visão sobre a ´Algebra, como ele mesmo reconhece, estava inspirada na Critica da Razão Pura de Kant. Mais tarde abandonaria este ponto de vista para aderir `a visão mais formalista da escola inglesa. Por exemplo, em 1846 escreveu a Peacock:

Minhas opiniões a respeito da natureza, extensão e importância da ciência simbólica podem ter se aproximado gradualmente das suas; e esta aproximação pode se dever principalmente à influencia de seus escritos e conversação.

Esta discussão, de cunho filosófico, infelizmente escapa ao nosso assunto, mas o leitor interessado poderá consultar Winterbourne [34] e Ohstrom [16].

Sua reformulação da teoria dos números complexos parte de uma observação muito simples; ele nota que a expressão a + bi nao denota uma soma genuína, do mesmo tipo que 2+3 e afirma que o uso do sinal + ´e um acidente histórico e, certamente, bi não pode ser adicionado a . Assim, percebe que escrever um número complexo na forma a + bi não ´e mais do que dar o par ordenado de números reais (a,b). A partir desta observação, Hamilton desenvolve a teoria formalmente, definindo soma e produto de pares da forma que hoje nos ´e tão familiar:

Álgebra

Vale a pena observar que já neste trabalho Hamilton adota um ponto de vista formal. Ele diz:

Um fato interessante, que mostra claramente ate que ponto era difícil para a coletividade matemática aceitar os números complexos ´e o seguinte. Vários anos depois da fundamentação dada por Hamilton, Agustin Louis Cauchy (1789 - 1857) deu, em 1847, uma outra construção do corpo dos números complexos. Ele observou que, se no anel dos polinômios reais Álgebra se consideram congruências modulo o polinômio Álgebra então todo polinômio f(X) ´e congruente a um polinômio da forma aX+b (porque o resto da divisão por Álgebra deve ser, no Maximo, de primeiro grau) e que classes de restos, neste caso, se somam e multiplicam seguindo exatamente as mesmas regras que os números complexos. Mais ainda, tem-se que

Álgebra

Desta forma, ele exibiu um sistema algébrico isomorfo ao corpo dos números complexos. O interessante ´e como ele explica as vantagens deste método, que mostra ate que ponto a idéia de ter uma raiz quadrada de -1 ainda resultava incomoda:

Na teoria das equivalências algébricas, substituída pela teoria dos números imaginários, a letra i deixa de representar o símbolo Álgebra que repudiamos completamente e que pode ser abandonado sem arrependimento uma vez que nao sabemos o que este suposto signo significa nem que sentido atribuir a ele. Pelo contrario, nos representamos pela letra i uma quantidade real mas indeterminada e ao substituir o símbolo _ pelo símbolo = transformamos o que foi chamado de uma equação imaginaria numa equivalência algébrica relativa a variável i e ao divisor i2 +1. Como este divisor permanece o mesmo em todas as formulas pode-se dispensar de escreve-lo.

Quatérnios.

Como observamos acima, Hamilton era também um físico e percebia claramente as implicações de sua descoberta: ele tinha desenvolvido uma algebra que permitia trabalhar com os vetores do plano. Isto o levou a considerar um problema que seria fundamental para a física da época: desenvolver uma álgebra de ternas que daria a linguagem para trabalhar com vetores do espaço.

Ele trabalhou durante dez anos neste problema antes de descobrir onde estava a dificuldade essencial. Uma carta a seu filho Archibald, de Outubro de 1843, revela sua obsessão com a questão:

Toda manha, quando descia para o café, teu irmão William Edwin e você mesmo costumavam perguntar-me “Bem, pai, você já pode multiplicar ternas?” A isso eu sempre me via obrigado a responder, com um triste balanço de cabeça, ”Não, eu apenas posso soma-las e subtrai-las”.

Para compreender como poderia ser feita esta multiplicação, Hamilton escrevia suas ternas na forma a + bi + cj, por semelhança ao que era feito com os complexos e tentava desenvolver o produto (a + bi + cj)(x + yi + zj) e representa-lo como um elemento da mesma forma. Esperava ainda que o comprimento do produto de vetores fosse igual ao produto dos comprimentos, i.e., que

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fato que chamou lei dos módulos.

Para desenvolver o produto, assumiu naturalmente que Álgebramas a dificuldade estava em determinar qual devia ser o valor dos produtos ij e ji.

Não discutiremos em detalhe as tentativas sucessivas para definir esses produtos; uma exposição interessante encontra-se em [30]. Foi a tentativa de preservar a lei dos módulos que lhe impôs finalmente a necessidade de trabalhar com uma dimensão a mais, o que lhe resultava difícil de admitir:

e transferindo este paradoxo para a álgebra devemos admitir um terceiro símbolo imaginário k, que não deve ser confundido com i ou j ... e fui assim conduzido a introduzir quaternios tais como a + bi + cj + dk ou (a, b, c, d).

Na mesma carta a seu filho, Hamilton descreve como foi a descoberta final:

Mas no dia 16 do mesmo mês [outubro de l843] - que era uma segunda-feira e dia de reunião do Conselho da Real Sociedade da Irlanda - eu ia andando para participar e presidir, e tua mãe andava comigo, ao longo do Royal Canal, ... , embora ela falasse comigo ocasionalmente, uma corrente subjacente de pensamento estava acontecendo na minha mente, que finalmente teve um resultado, cuja importância senti imediatamente. Pareceu como se um circuito elétrico tivesse se fechado; e saltou uma faísca, o heraldo de muitos anos vindouros de pensamento e trabalho dirigidos, por mim, se poupado, e de qualquer forma por parte de outros, se eu vivesse o suficiente para comunicar minha descoberta. Nesse instante eu peguei uma libreta de anotações que ainda existe e fiz um registro naquela hora. Nao pude resistir ao impulso - tão nao filosófico quanto possa ser - de gravar com um canivete numa pedra da ponte de Brougham, quando a cruzamos, a formula fundamental dos símbolos i, j, k.

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que contem a solução do Problema.

Note que a relação acima implica as conhecidas formulas que definem a multiplicação de símbolos:

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Uma vez definido o produto, Hamilton define o conjugado _ = a + bi + cj + dk como sendo o quaternios:

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Logo em seguida define o modulo como sendo:

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e observa que Álgebra se e somente se Álgebra Com estas definições resulta imediato provar que dados dois quaternios Álgebra e Álgebratem-se que

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isto é, vale a lei dos módulos. Ainda, é fácil ver que, se Álgebra então o quaternios

Álgebra

e, de fato, o inverso de _, uma vez que um calculo simples mostra que Álgebra

Com a multiplicação definida dessa forma, o conjunto dos quaternios constitui o primeiro exemplo de anel nao comutativo, com divisão. Claro que esta terminologia nao estava ainda em uso, mas Hamilton reconheceu imediatamente a importância de sua descoberta, especialmente pelas suas implicações para o desenvolvimento da física.

No dia seguinte, em 17 de outubro de 1843, Hamilton escreveu a seu amigo John T. Graves comunicando-lhe seus resultados. A semente de novos desenvolvimentos tinha sido plantada: em dezembro desse mesmo ano, Graves descobriu uma algebra de dimensão 8, os octonios. Havia, porem, uma notável diferença: em julho de 1844 Hamilton lhe observou que a propriedade associativa valia claramente para os quaternios mas nao valia para os octonios.

Hamilton dedicou o resto de sua vida a desenvolver aplicações dos seus quaternios á geometria, mecânica e física. Nesse período introduziu termos como vetor , versor, tensor, escalar, que são tão familiares ao estudante de matemática de nossos dias. Como resultado deste trabalho publicou em 1853 suas Lectures on Quaternios e, em 1866, se editou em forma póstuma um trabalho em dois volumes: Elements of Quaternios.

Os quaternios nao vieram a ocupar o lugar que seu autor sonhava na física - comparável ao papel desempenhado pelo calculo na mecânica - mas, mesmo assim, tiveram importância decisiva em pelo menos dois sentidos.

Por um lado, eles deram origem ao calculo vetorial. Com efeito, Josiah Willard Gibbs (1839 - 1903) era professor de física matemática no Yale College e, numa tentativa de simplificar os m´etodos dos quaternios, escreveu, para uso de seus estudantes, um conjunto de notas intitulado Elements of Vector Analysis onde se expõe o calculo vetorial da forma hoje usual. Independentemente, Oliver Heaviside (1850 - 1925) que era um engenheiro especializado em telegrafia, publicou, durante a década de 1880 - 1890, uma serie de artigos no jornal Electrician onde usava o calculo vetorial que tinha desenvolvido, da mesma forma que Gibbs, simplificando os métodos dos quaternios para torna-los acessíveis aos engenheiros.

Por outro lado, a descoberta teve um papel decisivo no desenvolvimento da Algebra. Do ponto de vista da abstração crescente que estava então em desenvolvimento, teve a virtude de assinalar que as leis fundamentais sugeridas pelos sistemas ate então conhecidos, nao eram dados aprioristicos que deviam ser sempre assumidos, uma vez que o conjunto dos quaternios e o primeiro exemplo conhecido onde a ordem dos fatores altera o produto, i.e., a primeira álgebra não comutativa. Mostrou também claramente a possibilidade de estender ainda mais o conjunto das álgebras conhecidas.

Novos Exemplos.

Como já observamos, apenas dois meses após a descoberta dos quaternios, Graves introduziu os octonios. Este sistema foi redescoberto independentemente em 1845 por Arthur Cayley (1821 - 1895) e por essa raz˜ao os octonios são conhecidos também como Números de Cayley. Estava assim aberto o caminho para novas generalizações. Em suas Lectures on Quaternios de 1853 Hamilton introduziu os Biquat´ernios que nada mais são do que quaternios com coeficientes complexos e constituem assim uma ´algebra de dimensão 8 sobre os reais. O próprio Hamilton demonstrou, nesse trabalho que esta ´algebra contem divisores de zero (i.e., elementos nao nulos a, b tais que ab = 0) e, consequentemente, ela não é uma álgebra com divisão. Ainda nesse mesmo texto ele desenvolve uma nova generalização que já tinha iniciado num artigo nos Transactions of the Royal Irish Academy em 1848: os Números Hipercomplexos. Um sistema de Números Hipercomplexos é o conjunto de todos os simbolos da forma:

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onde Álgebra são números reais - ou, eventualmente, complexos e Álgebra s˜ao s´imbolos, chamados de unidades do sistema. Tal como no caso dos quat´ernios, a soma de dois elementos desta forma ´e definida somando coeficientes correspondentes e, assumindo a propriedade distributiva, para definir o produto basta decidir como multiplicar as unidades entre si. Como o produto de duas destas unidades deve ser outro elemento do sistema, deve ser poss´ivel escrevˆe-lo na forma:

Álgebra

A estrutura multiplicativa do sistema é determinada então dando os valores dos coeficientes ak(i, j) que, por causa disso, são chamados de constantes estruturaisdo sistema.

Um outro matemático desenvolveu paralelamente idéias muito similares. Hermann Gunther Grassmann (1809 - 1877), que não tinha demonstrado nenhum talento matem´atico na sua juventude, nem tinha formação universitária em matemática, tornou-se professor de matemática de nível secundário e desenvolveu suas idéias antes de Hamilton, mas só as publicou em 1844, um ano apos a descoberta dos quaternios. Nesse ano ele publicou seu Die Lineale Ausdehnungslehre onde expõe suas idéias. Porem, seu estilo excessivamente abstrato e as doutrinas místicas com que mistura a exposição fizeram com que seu trabalho permanecesse relativamente ignorado e tivesse pouca influencia nos desenvolvimentos que se seguiram.

 

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