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Álgebra

Capítulo 5

Novas estruturas

5.1 Grupos e matrizes

Dois novos exemplos de estruturas algébricas, de enorme importância, foram introduzidos nos anos seguintes por Arthur Cayley. Ele tinha demonstrado talento matemático desde sua juventude, foi eleito fellow do Trinity College de Cambridge e ‘assistant tutor’, mas abandonou a posição três anos depois, pois, para continuar a carreira, deveria tomar hábitos religiosos. Passou os quinze anos seguintes trabalhando como advogado, mas sem deixar de se dedicar a matemática. Nesse período publicou mais de 200 artigos científicos e datam dessa época as contribuições que nos interessam. Cayley tinha uma notável habilidade para as formulações abstratas: sabia ver a generalidade por trás dos exemplos particulares e isto lhe permitiu ser o primeiro a formular o conceito de grupo abstrato.

O estudo das permutações se iniciou com os trabalhos de Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) sobre equações algébricas em 1770, e foi logo seguido pelas contribuições de Paolo Ruffini (1765 - 1822) e Niels Henrik Abel (1802 - 1829). O primeiro a considerar explicitamente grupos de permutações foi Evariste Galois (1811 - 1832), que utilizou o termo grupo com seu sentido atual no seu trabalho, hoje clássico, de 1830.

Logo depois, Agustin Cauchy, que percebeu a importância intrínseca dos grupos de permutações, escreveu uma serie de artigos a respeito, no per ´iodo de 1844 - 1846. Influenciado pelo trabalho de Cauchy, Cayley foi o primeiro a formular a noção geral implícita no caso particular. Ele definiu o conceito de grupo abstrato em 1854 num artigo intitulado On the Theory of Groups as depending on the symbolical equation Álgebra publicado no Philosophical Magazine. Não nos ocuparemos aqui das contribuições deste artigopara o desenvolvimento da teoria de grupos; o leitor poderá ver uma brevediscussão destes aspectos em [19] ou em [24, Capítulo II].

Ao definir a noção de grupo abstrato, Cayley usou uma nota¸c˜ao multiplicativa e, para frisar o fato de que num grupo está definida apenas uma única operação, ele observa, que no seu conjunto, os símbolos + e 0 não tem nenhum significado. No fim do artigo, porem, ele se coloca a questão de como introduzir a adição. Para isso denota os elementos do grupo por letras gregas Álgebra e Álgebra ... e considera combinações lineares formais do tipo aÁlgebra + bÁlgebra+...que trata como elementos de um sistema hipercomplexo, i.e., define a soma de dois elementos desse tipo somando coeficiente a coeficiente e a multiplicação distributivamente, a partir do produto de elementos do grupo. Ele ilustra sua definição mostrando como multiplicar dois elementos da forma Álgebra onde Álgebra denotam os elementos do grupo não comutativo de ordem 6, cuja tabela de multiplicação ele tinha introduzido, nesse mesmo artigo. Dessa forma ele constrói explicitamente, pela primeira vez, o anel de grupo que hoje denotaríamos como Álgebra E interessante notar que ele observa ainda que o sistema que ele acaba de construir ´e semelhante ao sistema dos quaternios.

Pouco tempo depois, Cayley introduziu um novo conceito cuja importância no desenvolvimento da matemática seria difícil exagerar: o conceito de matriz. Ele chegou a este conceito através do seu estudo de invariantes sob transformações lineares. Tal como ele mesmo diz:

Eu certamente não cheguei à noção de matriz de forma alguma através dos quaternios; foi diretamente dos determinantes ou como uma forma conveniente de expressar as equações:

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Ele introduziu esta noção em 1855, num artigo intitulado Remarques surla notation des fonctions algebriques. Certamente, os determinantes estavam em uso desde muito tempo antes, introduzidos em conexão com a resolução de sistemas lineares. Eles foram utilizados pela primeira vez por Colin Maclaurin (1698 -1746) provavelmente em 1729 e publicados postumamente no seu Treatise of Algebra em 1748. Tal como Cayley observa, a idéia de matriz precede logicamente `aquela de determinante, mas a ordem histórica foi ao contrario. Como ele estava interessado nas transformações lineares, a composição das mesmas lhe sugeriu naturalmente a definição de produto de matrizes e, consequentemente, a de inversa de uma matriz.

Em 1858 publica um segundo trabalho sobre o assunto: A memoir on the theory of matrices onde introduz a soma de matrizes e o produto por escalares. Aqui novamente a visão de Cayley lhe permitiu ver um novo sistema algébrico semelhante aos que vinham sendo desenvolvidos:

Se verá que as matrizes (considerando apenas as da mesma ordem) se comportam como quantidades; elas podem ser somadas, multiplicadas ou compostas: a lei de adição de matrizes e precisamente semelhante aquela da adição de quantidades algébricas: no que diz respeito a sua multiplicação, existe a peculiaridade de que matrizes não são, em geral, comutativas.

E conveniente notar que ainda não existia, na época, uma definição abstrata de anel. Consequentemente, o fato de que o conjunto das matrizes de um dado tamanho constituía também um sistema hipercomplexo não era nada evidente, uma vez que a definição destes dependia da adoção de um sistema de unidades.

Ele observou explicitamente uma clara relação com os quaternios; notou que se M e N são duas matrizes de ordem 2x2 que verificam M2 = N2 = -1 e MN = -NM então, escrevendo L = MN, tem-se que as matrizes L, M, N satisfazem um sistema de relações precisamente similar aquele da teoria dos quaternios.

E interessante observar que ´e justamente nessa observação que se baseia a demonstração atual de que M2(C), o anel das matrizes de ordem 2 × 2 com coeficientes no corpo C dos números complexos ´e isomorfo ao anel dos quaternios com coeficientes em C: i.e., ao anel dos biquaternios de Hamilton..

Esta observação despertou o interesse de James Joseph Sylvester (1814 - 1897) e, num artigo de 1884, ele afirma que um trabalho de Charles S.Peirce (1839-1914) lhe sugeriu o método pelo qual uma matriz ´e despojada de suas dimensões como área e representada como uma soma linear.

Ele se referia, naturalmente ao fato bem conhecido de que o conjunto de todas as matrizes de ordem n × n pode ser considerado como um espaço vetorial de dimensão Álgebra Denotando por Eij a matriz que tem um 1 na posição i,j e 0 em todas as outras, uma matriz Álgebra pode ser escrita na forma Álgebra Neste momento resulta evidente, por fim, que as matrizes também são sistemas hipercomplexos. Convém observar que Sylvester não utiliza esta notação que nos é familiar. Ela foi introduzida por Eduard Study (1862-1922) em 1889.

Teoria de corpos

O conceito de corpo, como um conjunto fechado pelas operações de soma e multiplicação onde existem oposto e inverso de todo elemento (com exceção do inverso do zero, ´e claro), bem como o conceito de corpo gerado por n números complexos Álgebra como o conjunto de todos os números que podem se obter somando, subtraindo, multiplicando e dividindo estes número (exceito, mais uma vez, a divisão por zero) já aparecem no trabalho de Galois sobre resolução de equações polinomiais. Também encontra-se ali o construção do corpo que se obtém por extensão de um corpo dado por um novo elemento que não lhe pertence. Ele chama estas estruturas de domínios de racionalidade.

Na verdade, todos estes corpos contem o corpo dos números racionais e são, portanto, de característica 0. Porem, no seu trabalho intitulado “Surla théorie des nombres”, publicado no Bulletin des Sciences de Ferussac em 1830, Galois constrói também os corpos finitos.

Essencialmente, ele usa a idéia de Gauss de considerar congruências modulo. um primo p e constrói o que hoje denotamos como Álgebra o corpo cosinteiros modulo p. Depois ele considera o anel de polinômios com coeficientes em Álgebrae toma congruências modulo um polinômio irredutível f. E fácil provar que se f tem grau n, então o conjunto das classes de restos assim construído e um corpo finito com Álgebra elementos. Desta forma, ele constrói os corpos que hoje chamamos de Corpos de Galois e denotamos por GF Álgebra Consciente da novidade de sua descoberta, ele diz:

Se concordamos em considerar como zero todas as quantidades que, nos cálculos algébricos, resultam múltiplos de p, e se tentamos encontrar, sob esta convenção, a solução de uma equação algébrica f(X) = 0 que M. Gauss designa com a notação f(X) _ 0, o costume e considerar só soluções inteiras. Havendo sido levado, por minhas próprias pesquisas, a considerar soluções incomensuráveis, atingi certos resultados que considero novos.

Muitos anos mais tarde, E.H. Moore (1862-1932) provou, em 1903, que todos os corpos finitos da mesma ordem são isomorfos entre si e, portanto, isomorfos ao corpo de Galois dessa ordem.

Outra linha de pesquisa extremamente importante que levou a trabalhar com a noção de corpo, desde outro ponto de vista foi a teoria de números. Quando Gauss tinha apenas 20 anos, ele escreveu uma obra fundamental, as Disquisitiones Arithmeticae que enviou a Academia Francesa em 1800 e foi releitada. Gauus a publicou por si mesmo no ano seguinte. Foi nessa obra que ele intruduziu a notação para congruências que usamos ainda hoje. Na quarta seção do texto, ele estuda os resíduos quadráticos: dado um um primo p e um inteiro a que não é múltiplo de p, um outro inteiro x diz-se um resíduo quadrático de a, em modulo p se

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Esta linguagem tinha sido introduzida por Euler em 1754/55. Ele foi o primeiro a estabelecer a Lei de reciprocidade quadrática: se p e q são dois inteiros primos, então p é um resíduo quadrático em modulo q se e somente se q ´e um residua quadrático em modulo p. Subsequentemente, A.M. Legendre (1752-1833) deu outra demonstração dessa lei e introduziu o símbolo de Legendre que ainda se utiliza em teoria de números. Gauss mostrou que ambas as demonstrações estavam incompletas e deu a primeira demonstração completa desta lei. Posteriormente ele publicou outras quatro demonstrações diferentes. Anos mais tarde, Gauss considerou também resíduos cúbicos e biquadraticos, numa serie de artigos publicados entre 1808 e 1832. Foi nesses trabalhos que, para obter simplicidade e elegância nas suas demonstrações, Gauss introduziu os números que hoje chamamos de inteiros de Gauss, que são complexos da forma a + bi onde a e b são números inteiros. Ele provou que muitas das propriedades dos números inteiros se estendem aos inteiros de Gauss: por exemplo, o pequeno teorema de Fermat: Se p=a+bi ´e um inteiro de Gauss primo e definimos sua norma por N(p) = a2 + b2 e a ´e um outro inteiro de Gauss que não é múltiplo de p, então

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A teoria dos inteiros de Gauss e um primeiro passo na direção de uma área de grande importância na algebra atual; a teoria dos números algébricos. Esta teoria se desenvolveu a partir dos esforços de diversos autores para provar o Teorema de Fermat, que afirma que uma equação da forma Álgebra não tem soluções inteiras para Álgebra O primeiro resultado positivo, nessa direção, foi de Bernard Frénicle de Bessy (1605-1675) , um amigo de Fermat, que provou a afirmação para n = 4 no Traite des triangles rectangles em nombres publicado postumamente, em 1676. Postriormente, Euler provou que esta afirmação é verdadeira para n = 3 e também para n = 4 em 1738 e Legendre a provou para n = 5 em 1823, mas o resultado geral permaneceu em aberto por muito tempo mais 1. O próprio Gauss parece não ter tido especial interesse neste resultado. Apos tentar provar a afirmação para o caso n = 7, sem sucesso, ele escreveu a H.W.M. Olbers (1758-1840) em 1816:

Eu confesso,de fato, que o Teorema de Fermat, como proposição isolada, tem poco interesse para mim, uma vez que uma multidão de tais proposições, que não podem ser provadas nem refutadas, podem ser formuladas facilmente.

O caso n = 7 foi resolvido por Gabriel Lame (1795-1870) em 1838 e Peter Gustave Lejeune-Dirichlet (1805-18590 estabeleceu a verdade da afirmação para n = 14.

A primeira tentativa de se obter resultados gerais é devida a Ernst Eduard Kummer (1810-1893). Ele abandonou a teologia para se dedicar a matemática, foi discípulo de Gauss e Dirichlet e foi professor em Breslau e Berlim. Ele considerou a equação Álgebraonde p é um inteiro primo ea fatorava na forma:

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onde Álgebradenota uma raiz péssima da unidade, isto é, uma raiz da equação:

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Isto o levou a estender da idéia dos inteiros de Gauss, considerando números da forma

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que ele chamou de inteiros complexos e hoje chamamos de inteiros ciclotômicos.

Em 1843 ele deu as definições apropriadas de inteiro primo, divisibilidade etc. e cometeu o erro de assumir que a decomposição de todo inteiro complexo como produto de primos era única. Desta forma, ele conseguiu provar o Teorema de Fermat. Quando ele enviou seu manuscrito a Dirichlet, este apontou o erro e, em 1844, Kummer reconheceu que a critica de Dirichlet estava correta. Incidentalmente, também Cauchy e Lame , em alguma oportunidade, cometeram o mesmo erro. Para obeter a unicidade da decomposição, Kummer criou a teoria dos números ideais em 1844 e com ela provou, por exemplo, que sua demonstração funcionava para todos os inteiros menores do que 100, menos para 37, 39 e 67. Num artigo de 1857 Kummer estendeu seus resultados a estes três primos excepcionais.

Finalmente, Richard Dedekind (1831-1916) que fora discípulo de Gauss e professor secundário por mais de cinqüenta anos, atacou o problema da fatorização única de uma forma inteiramente diferente. Em primeiro lugar, ele estendeu ainda mais a idéia dos inteiros de Gauss. Um numero complexo diz-se um numero algébrico se ele ´e raiz de uma equação da forma

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onde Álgebra são números inteiros e diz-se um inteiro algébrico se e raiz de uma equação da forma acima, com Álgebra

Com estas definições prova-se facilmente que os números algébricos formam um corpo, os inteiros algébricos um domínio de integridade e que se um inteiro algébrico e um numero racional, então ele e um inteiro ordinário. Neste contexto, Dedekind deu a primeira definição formal de corpo (K¨orper) e de anel, que ele chamava de ordem.

A teoria abstrata de corpos foi iniciada por Heinrich Weber (1842- 1913) em 1893. Tempo depois, Leonard Eugene Dickson (1874-1954) e Edward V. Huntington (1874-1952) deram, independentemente, em 1903, definições de corpo a traves de conjuntos de postulados. Em 1908, Kurt Hensel (1861-1941) introduziu um novo tipo de corpo: o corpo dos números padicos que tem, também, aplicações na teoria algébrica de números e levou a definição do conceito de valorização. Motivado pela grande variedade de corpos que tinha sido definidos, Ernst Steinitz tentou um estudo compreensivo da teoria abstrata de corpos no seu trabalho fundamental sobre o assunto, de 1910, que, conjuntamente com um artigo clássico de Emmy Noether, de 1929, são considerados, por exemplo por Bourbaki , como os dois pilares fundamentais da ´algebra moderna.

Neste trabalho ele introduz a noção de corpo primo, de característica de um corpo e prova um resultado fundamental: que todo corpo pode-se obter do seu corpo primo pela adjunção de uma serie (eventualmente infinita) de elementos transcendentes e depois a adjunção de uma serie de elementos algébricos. Também neste trabalho ele introduz a noção de polinômio separável , que ele chama de vollkommen ou completo, e prova que sobre um corpo, todo polinômio e irredutível ou se decompõe num produto de fatores lineares, se e somente se ele e extensão de um corpo dado pela adjunção de um numero finito de raízes de polinômios sepáveis.

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