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Álgebra

Anéis e Álgebras

Tal como vimos no capitulo anterior, desde o começo da teoria, os sistemas hipercomplexos, que hoje chamamos de álgebras lineares associativas, eram definidas a partir de elementos básicos, definindo a soma de forma natural e o produto distributivamente, a partir da multiplicação de elementos da base.

Este ultimo era feito usando as constantes estruturais, que deviam ser adequadamente escolhidas.

Em 1903, L.E. Dickson deu a primeira definição abstrata de álgebra - embora dependa em parte de coordenadas - num artigo intitulado Definition of a Linear Associative Algebra by an Independent Set of Postulates publicado no Trans. Amer. Math. Soc.

Neste trabalho, ele da duas definições de álgebras lineares associativas. A primeira e nossa velha conhecida, em termos de elementos básicos e constantes estruturais. A novidade aqui e que ele impõe certas condições as constantes estruturais, os postulados do sistema, e mostra que estas condições são independentes entre si, i.e., que nenhuma delas e conseqüência lógica das restantes.

Sua segunda definição se aproxima bastante da forma atual, apesar do uso de coordenadas. Ele considera um sistema de elementos da forma A = Álgebra onde os coeficientes ai, que ele chama de coordenadas do elemento, pertencem a um dado corpo F. Define a soma componente a componente e observa que dados dois elementos A e B sempre existe um outro elemento D tal que A + D = B. Depois, ele diz

Considere uma segunda lei de combinação de elementos com as seguintes propriedades:

1. Para quaisquer dois elementos A e B do sistema A.B e outro elemento do sistema cujas coordenadas são funções bilineares das coordenadas de A e B com coeficientes em F.

2. (A.B).C = A.(B.C) , se A.B,B.C, (A.B).C, A.(B.C) pertencem ao sistema.

3. Existe no sistema um elemento I tal que A.I = A para todo elemento A do sistema.

4. Existe no sistema pelo menos um elemento A tal que A.Z 6= 0 para qualquer elemento Z 6= 0.

Ele prova novamente que suas condições são independentes entre si e, o que e mais importante, que esta segunda definição e equivalente a primeira. Finalmente, uma definição puramente abstrata, livre de coordenadas, foi dada pelo próprio Dickson em 1923.

Quanto ao conceito de anel, pode-se dizer que ele era conhecido e utilizado já nos trabalhos sobre teoria dos números algébricos de Richard Dedekind e Leopold Kroneker (1823 - 1891) embora o termo utilizado fosse ordem. O termo anel foi introduzido em 1897 por David Hilbert (1862 - 1943), ainda no contexto especifico da teoria dos números algébricos. A definição abstrata, com toda sua generalidade, foi dada em 1914 por Abraham A. Fraenkel (1891 - 1965) num artigo intitulado

On zero divisors and the decomposition of rings, no Jour. fur die Reine und Angew. Math.. Ilustrando a abrangência do conceito, ele da vários exemplos de anéis: inteiros modulo n, sistemas de números hipercomplexos, matrizes, e inteiros pàdicos.

O enunciado de sua definição e muito próximo do atual. Ele considera um sistema com duas operações, que chama de soma e produto e estabelece que, em relação a soma, o sistema deve formar um grupo (e enuncia explicitamente os axiomas desta estrutura). Sobre o produto, ele especifica que deve ser associativo e distributivo em relação a soma e inclui a existência de um elemento unidade.

A comutatividade da soma, que não foi postulada, e demonstrada a partir destes axiomas, bem como uma serie de resultados elementais. Ha ainda dois axiomas a mais, referentes a certos elementos, chamados regulares, que não se incluem nas definições modernas.

O objetivo de Fraenkel, neste trabalho, era dar uma teoria abstrata e compreensiva da teoria de anéis, comparável a que Ernst Steinitz tinha formulado para os corpos na sua Algebraischen Teorie des Körper publicada em 1910 no Jour. fur Math. Naturalmente, esta tarefa era por demais ambiciosa para ser satisfatoriamente desenvolvida tão cedo.

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Fonte: www.bienasbm.ufba.br

Álgebra

Considerada como um sistema para resolver problemas matemáticos que envolvam números desconhecidos, a álgebra remonta à Antigüidade. Os egípcios já lidam com este tipo de problema no século XVII a.C., mas seus enunciados mais parecem enigmas ou adivinhações do que equações matemáticas. Chineses e indianos também trabalham com equações algébricas. Os gregos e, depois, os árabes simplificam e aperfeiçoam os métodos de cálculo. No entanto, a álgebra só começa a se constituir como um ramo específico da matemática no Renascimento e desenvolve-se plenamente apenas na Europa moderna e contemporânea.

Origem da palavra Álgebra

A palavra álgebra deriva da expressão árabe al-jabr (reunir), usada no título do livro al-jabr w'al-muqabalah, ou A arte de reunir desconhecidos para igualar uma quantidade conhecida, escrito no século IX por al-Kwarizmi, o mesmo matemático árabe que introduz o sistema decimal e os algarismos indianos no Ocidente. Começa a ser usada na Europa para designar os sistemas de equações com uma ou mais incógnitas a partir do século XI, quando a obra de al-Kwarizmi é traduzida para o latim.

Papiro de Rhind

Os problemas algébricos mais antigos hoje conhecidos datam do século XVII a.C. Estão registrados em um papiro descoberto em 1858 na cidade de Luxor, no Egito, por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Seus enunciados têm a seguinte forma: "Ah, seu inteiro, seu sétimo, fazem 19". Em álgebra moderna, a expressão pode ser traduzida por: x + x/7 = 19. O número desconhecido, ou incógnita, é representado por um símbolo, neste caso o x, manipulado até seu valor ser determinado. O intervalo de tempo transcorrido entre a escrita do Papiro de Rhind e a elaboração desta forma de apresentar as equações algébricas (x + x/7 = 19) é de 34 séculos.

Pai da Álgebra

Os elementos, de Euclides, já estabelecem algumas relações algébricas básicas e seus axiomas são indispensáveis para a solução das equações. No entanto, o chamado "pai da álgebra" é Diofante, matemático grego que vive em Alexandria no século IV d.C., o primeiro a usar sistematicamente símbolos para representar as incógnitas. Diofante é pioneiro na solução das equações indeterminadas, também chamadas de diofantinas, aquelas em que as informações não são suficientes para se obter uma resposta exata, mas permitem estabelecer uma relação entre os termos da equação. Exemplo: Paulo recebe 2 moedas a mais do que 10 vezes as moedas recebidas por João. Quantas moedas Paulo recebe? Em álgebra moderna, o problema pode ser traduzido por x = 10y + 2. Este tipo de equação, ao ser aplicada pelos matemáticos modernos à análise dos números inteiros, produzirá um grande desenvolvimento da teoria dos números, um dos ramos da matemática pura.

Enigma da idade

Ninguém sabe exatamente quando nasceu ou morreu Diofante. Sabe-se apenas que viveu por 84 anos. Ao menos, este é o resultado do enigma elaborado por um de seus discípulos para descrever a vida do mestre: "A juventude de Diofante durou 1/6 de sua vida; depois de mais 1/12, nasceu-lhe a barba. Ao fim de mais 1/7 de sua vida, Diofante casou-se. Cinco anos depois teve um filho. O filho viveu exatamente metade do que viveu o pai, e Diofante morreu quatro anos depois da morte de seu filho. Tudo isso somado é o número de anos que Diofante viveu". O enigma pode ser traduzido por uma equação de primeiro grau onde x é a idade de Diofante:

x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4. O resultado é 84.

SÍntese Árabe

Os árabes não chegam a inovar no terreno da álgebra. No entanto, com a expansão islâmica, a partir do século VII, entram em contato, reúnem e sistematizam os conhecimentos matemáticos construídos por diferentes civilizações. Absorvem a geometria grega e o sistema numérico dos hindus, desenvolvem a trigonometria e simplificam a álgebra. Na Idade Média, com a dissolução do Império Romano do Ocidente e a pouca importância dada às ciências no Império Bizantino, o mundo árabe torna-se o grande centro da pesquisa matemática. Suas bibliotecas na Espanha islamizada são pólos irradiadores desta ciência para o resto da Europa.

Álgebra européia

A expansão comercial européia e as grandes navegações nos séculos XV e XVI provocam um novo interesse pelas ciências. A tradução das obras gregas e árabes repercutem em vários campos. O acesso à geometria euclidiana, por exemplo, reflete-se tanto na retomada da perspectiva nas obras de arte, como na renovação da cartografia promovida pelo geógrafo flamengo Gerhard Mercator em 1569, ou, ainda, nas teorias de Copérnico sobre as órbitas dos planetas. A própria geometria, no entanto, só receberá inovações significativas no século XIX, com o surgimento das geometrias não-euclidianas. É no terreno da álgebra que a matemática européia registra os maiores avanços no início da era moderna.

Equações de 3ºe 4º graus Depois de Diofante, no século IV d.C., o próximo passo significativo no avanço da álgebra é a solução das equações de 3º e 4º graus, no século XVI. Scipione del Ferro e Nicolo Fontana, também chamado de Tartaglia, ou "gago", são os primeiros a resolver a equação de 3º grau, e Lodovico Ferrari resolve a de 4º grau. Seus trabalhos são reunidos no livro Ars magma, de Girolamo Cardano, em 1545.

Números negativos – Girolamo Cardano é o primeiro matemático a aceitar plenamente a existência de números negativos como resultado válido para equações algébricas. Até então, os matemáticos não conseguem imaginar alguma coisa menor do que zero e relutam em aceitar os números negativos resultantes de uma equação de 2º grau. Também não têm certeza sobre a quantidade possível de soluções para as equações.

Esta questão será solucionada definitivamente apenas no final do século XVIII, quando Carl Friedrich Gauss demonstra seu teorema geral da álgebra: cada equação algébrica terá tantas soluções quantas forem as unidades de seu grau. Uma equação de 2º grau terá duas soluções, a de 3º grau terá três soluções, a de 4º grau terá quatro e assim por diante, mas esses resultados serão sempre números complexos.

Notações algébricas No início da era moderna, os matemáticos aperfeiçoam as notações algébricas, aumentam a precisão dos cálculos e obtêm um grande progresso na álgebra. Passam a usar letras para representar as incógnitas, adotam os símbolos de + para adição, para subtração e o sinal = para igualar os termos das equações. François Viète (1540-1603), advogado e matemático amador, é um dos que mais se destacam no período.

Adota vogais para as incógnitas, consoantes para os números conhecidos, gráficos para resolver equações cúbicas e biquadradas (ou de 4º grau) e trigonometria, para as equações de graus mais elevados. Viète, que também simplifica as relações trigonométricas, pode ser considerado um precursor da geometria analítica. As notações atualmente utilizadas nas equações algébricas a, b, c, para os números conhecidos, e x, y, z para as incógnitas são estabelecidas por René Descartes, na primeira metade do século XVII.

Fonte: www.conhecimentosgerais.com.br

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