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DIVISÃO PROPORCIONAL

DivisÃo em duas partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes X1 e X2 diretamente proporcionais a p1 e p2, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja: X1+X2= M, mas

X1
p1
 = 
X2
p2

A solução segue das propriedades das proporções:

X1
p1
 = 
X2
p2
 = 
X1+X2
p1+p2
 = 
M
p1+p2
 = K

O valor de K é que proporciona a solução pois:

X1 = K p1 e X2 = K p2

Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes X1 e X2 diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que X1+X2=100 e

X1
2
 = 
X2
3

cuja solução segue de:

X1
2
 = 
X2
3
 = 
X1+X2
2+3
 = 
100
5
 = 20

Exemplo: Determinar números X1 e X2 diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar X1-X2=60 e escrever:

X1
8
 = 
X2
3
 = 
X1-X2
8-3
 = 
60
5
 = 12

Segue que X1=96 e X2=36.

DivisÃo em vÁrias partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo que a soma seja X1+X2+...+Xn=M e

X1
p1
 = 
X2
p2
 =...= 
Xn
pn

A solução segue das propriedades das proporções:

X1
p1
 = 
X2
p2
 =...= 
Xn
pn
 = 
X1+X2+...+Xn
p1+p2+...+pn
 = 
M
p1+p2+...+pn
 = K

Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes X1, X2 e X3 diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que X1+X2+X3=120 e além disso:

X1
2
 = 
X2
4
 = 
X3
6
 = 
X1+X2+X3
12
 = 
120
12
 = 10

logo X1=20, X2=40 e X3=60.

Exemplo: Determinar números X, Y e Z diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2X+3Y-4Z=120.

A solução segue das propriedades das proporções:

X
2
 = 
Y
4
 = 
Z
6
 = 
2X + 3Y - 4Z
2×2+3×4-4×6
 = 
120
-8
 = -15

logo X=-30, Y=-60 e Z=-90. Também existem proporções com números negativos!

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