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Divisão Proporcional

DivisÃo em duas partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes X1 e X2 inversamente proporcionais a p1 e p2, deve-se decompor este número M em duas partes X1 e X2 diretamente proporcionais a 1/p1 e 1/p2, que são, respectivamente, os inversos de p1 e p2.

Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que X1+X2=M e

X1
1/p1
 = 
X2
1/p2
 = 
X1+X2
1/p1+1/p2
 = 
M
1/p1+1/p2
 = 
Mp1p2
p1+p2
 = K

A solução segue das propriedades das proporções:

X1
1/2
 = 
X2
1/3
 = 
X1+X2
1/2+1/3
 = 
120
5/6
 = 144

Assim X1=72 e X2=48.

Exemplo: Determinar números X1 e X2 inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos X1-X2=10 e

X1
1/2
 = 
X2
1/3

A solução segue das propriedades das proporções:

X1
1/6
 = 
X2
1/8
 = 
X1-X2
1/6-1/8
 = 
10
1/24
 = 240

Assim X1=40 e X2 = 30.

DivisÃo em vÁrias partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso

X1
1/p1
 = 
X2
1/p2
 =...= 
Xn
1/pn

cuja solução segue das propriedades das proporções:

X1
1/p1
 = 
X2
1/p2
 =...= 
Xn
1/pn
 = 
X1 + X2 + ... + Xn
1/p1+1/p2+...+1/pn
 = 
M
1/p1+1/p2+...+1/pn

Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes X1, X2 e X3 inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que X1+X2+X3=220 e além disso devem valer as proporções:

X1
1/2
 = 
X2
1/4
 = 
X3
1/6
 = 
X1 + X2 + ... + Xn
1/2+1/4+...+1/6
 = 
220
1/2+1/4+...+1/6
 = 240

A solução é X1=120, X2=60 e X3=40.

Exemplo: Para obter números X, Y e Z inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2X+3Y-4Z=10, devemos montar as proporções:

X
1/2
 = 
Y
1/4
 = 
Z
1/6
 = 
2X + 3Y - 4Z
2/2+3/4-4/6
 = 
10
13/12
 = 
120
13

logo X=60/13, Y=30/13 e Z=20/13.

Também existem proporções com números fracionários!

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