Facebook do Portal São Francisco Google+
+ circle
Home  Mecânica Ondulatória  Voltar

Mecânica Ondulatória

 

O notável matemático suíço Euler (1707-1873) havia, no passado, ampliado o princípio da mínima ação de Maupertuis para coordenadas generalizadas, dando origem a mecânica de Euler-Lagrange. Conforme vimos anteriormente, existe estreito paralelismo, tanto histórico como formal, entre os princípios da mínima ação e do mínimo tempo, o primeiro aplicado à mecânica de corpos em movimento e o segundo, à luz. O princípio de Fermat aplica-se ótica geométrica, na qual aproximamos a luz por ``raios'' que seguem uma trajetória que minimiza o tempo de percurso. De fato, ambos foram concebidos para descrever a trajetória da luz.Louis de Broglie (1892-1987) procurou unificar o tratamento formal da luz e da matéria sugerindo que esta última pudesse ter um tratamento matemático análogo ao da ótica.

A matéria seria, segundo a hipótese de De Broglie, também uma onda, obedecendo uma relação análoga:

Mecânica Ondulatória

que resulta, no caso do elétron, em comprimentos de onda muito menores que o da luz para uma mesma energia. Ao atravessar um desnível de energia potencial, ocorre também uma mudança no momento e, conseqüentemente, no comprimento de onda da partícula de matéria. Em analogia aos fenômenos da luz, isso corresponde a uma ``refração de matéria''. A onda de matéria tem, portanto, um comprimento de onda modulado pela curva de potencial. Assim, as variações de potencial possuem um papel semelhante ao do índice de refração no caso da luz. Essa analogia sugere que seja possível construir uma equação de onda para tais ondas de matéria.

Nas palavras de De Broglie:

``os resultados precedentes ...que estabeleceram um elo entre o movimento de um móvel e a propagação de uma onda deixam entrever a possibilidade de uma síntese de teorias antagônicas sobra a natureza da radiação'' (De Broglie, 1925)

O movimento de um corpúsculo passa a ter uma relação indissociável com uma onda (a ``onda de fase''), sobre a qual De Broglie postulava:

 

``O Princípio de Fermat aplicado à onda de fase é idêntico ao princípio de Maupertuis aplicado ao móvel: as trajetórias dinamicamente possíveis do móvel são idênticas aos raios possíveis da onda''

``Pensamos que esta idéia de uma relação profunda entre os dois grandes princípios da Ótica Geométrica e da Dinâmica poderia ser um guia precioso para realizar a síntese das ondas dos quanta'' (De Broglie, 1925)

O físico austríaco Erwin Schrödinger (1887-1961), particularmente versado na resolução de equações diferenciais parciais, seguiu este ``guia precioso'' proposto por De Broglie ao utilizar a teoria da equação eikonal, originária da ótica geométrica, e que descreve o comportamento da luz ao transitar por regiões de variação gradual de índice de refração. Feitas as necessárias adaptações, a partir dessa teoria da ótica geométrica, Schrödinger publicou, em 1925, sua bem conhecida equação diferencial para as ondas de matéria (Kragh 1982).

Mecânica Ondulatória

O potencial Mecânica Ondulatória determina as condições de contorno, resultando em uma equação de autovalores e autovetores, como qualquer onda confinada. No caso de átomos, as funções de onda descrevem os orbitais dos elétrons, porém seu uso se extende, evidentemente, a muitos outros problemas relacionados à estrutura microscópica da matéria.

Fonte: plato.if.usp.br

Mecânica Ondulatória

1. Equação de Schrödinger

Em só dois anos, de 1925 - 1926, foram desenvolvidas duas novas abordagens aos fenômenos atômicos. Werner Heisenberg (1901 - 1976) criou sua mecânica matricial e Erwin Schrödinger (1887 - 1961) desenvolveu sua mecânica ondulatória. (Schrödinger e Eckart demonstraram em 1926 a equivalência matemática de ambas teorias. A teoria de Schrödinger teve, porém, mais êxito que a de Heisenberg que é uma abordagem muito abstrata.)

Schrödinger publicou em 1926 sua nova teoria numa série de quatro artigos nos Annalen der Physik com o título “Quantisierung als Eigenwert-problem” - quantização como problema de autovalores- (79, 361; 79, 489; 80, 437; 81, 109). Heisenberg apresentou sua versão da mecânica quântica em Zeitschrift für Physik, 33, 879 (1925).

No centro da mecânica ondulatória de Schrödinger está a equação denominada de “Equação de Schrödinger”:

Mecânica Ondulatória

Eq. 1 é uma equação diferencial parcial, assim como também a equação de onda das vibrações de uma corda esticada e a equação de onda da radiação eletromagnética. A Equação de Schrödinger tem muitas propriedades em comum com estas equações clássicas, veja a seção 7.2 do curso de Mecânica.Não podemos deduzir a Equação de Schrödinger logicamente, partindo de princípios fundamentais, vamos simplesmente postular a sua validade. É isso um procedimento aceitável, enquanto produz resultados que coincidem com a realidade. (Para o uso relativístico existe uma variante relativista da Eq. 1)

Mecânica Ondulatória, a "função de onda", é uma função complexa com a qual vamos descrever os estados de sistemas dinâmicos, como partículas, átomos, grupos de partículas etc. U(x,t) é a energia potencial do sistema. No caso de um elétron com a carga e no potencial V(x) temos U(x) = e V(x).

(Em vez de dizer energia potencial, fala-se também simples- e erroneamente do potencial.)

Vemos, então, que a cada sistema dinâmico corresponde em mecânica quântica uma função de onda Mecânica Ondulatória(x,t). Para agora, nos preocuparemos somente de saber como se encontra a funçãoMecânica Ondulatória(x,t) que corresponde a um sistema dado quando este está num estado determinado.

Em geral, o estado del sistema variará com o tempo numa forma complicada e Mecânica Ondulatória(x,t) não será separável nas coordenadas x e t. Mas em alguns casos, antes excepcionais, Mecânica Ondulatória(x,t) é separável e adota a forma

Mecânica Ondulatória

Isso ocorre, por exemplo, quando U(x) não depende explicitamente do tempo.
(O psi maiúscula Mecânica Ondulatória(x,t) e o psi minúscula Mecânica Ondulatória(x) vem-se quase idênticos. Vou escrever sempre as coordenadas x,t, se existir perigo de equivocação. Um psi sem a coordenada t será sempre o psi minúscula. O método de separação de variáveis é descrito detalhadamente em 7.7.2 da Mecânica.)

Substituindo (2) em (1) -e dividir por Mecânica Ondulatória(x)·Mecânica Ondulatória(t)- proporciona

Mecânica Ondulatória

sendo E a constante de separação.

A função Mecânica Ondulatória(x), que é uma função apenas de x, satisfaz à equação de Schrödinger independente do tempo (4) (uma equação diferencial ordinária):

Mecânica Ondulatória

Depois vamos mostrar que a constante E não é sino a energia do sistema. (Foi por isso que denominei a constante de separação de E.) Habitualmente, escreve-se a Eq. 4 numa forma mais simples:

Mecânica Ondulatória

onde H é definido como

Mecânica Ondulatória

onde D := d/dx e D2 := d2/dx2.

A grandeza H é um operador e é chamado de hamiltoniano (W. R. Hamilton, 1805 - 1865).

A generalização do operador D2 para o caso de três dimensões é o laplaciano (J. G. Laplace, 1749 - 1827), veja Mecânica 7.2.1:

Mecânica Ondulatória

Se considera os símbolos D, D2, H etc. como operadores que operam sobre a função que fica na direita deles. No momento, trata-se só de uma maneira sucinta de escrever a equação independente do tempo de Schrödinger. Mais adiante, vamos dedicar uma seção inteira a estes operadores, pois eles são fundamental para uma formulação simbólica da mecânica quântica. No curso de Mecânica, seção 3.5, já foi introduzido o operador D e em 4.4 aparece uma equação do tipo (5). Uma equações desta forma é denominada de equação do autovalor, pois uma solução de tal equação é chamada autovalor. Na Mecânica, os operadores atuaram sobre vetores, agora estão atuando sobre uma função, a função Mecânica Ondulatória(x). Estas funções são chamadas autofunções.

Na formulação simbólica da mecânica quântica vamos tratar as funções ??(x) também como vetores. Desta forma obteremos uma simplificação notável da teoria.

A função Mecânica Ondulatória(t) é solução da equação

Mecânica Ondulatória

Mecânica Ondulatória

ou

Mecânica Ondulatória

ou, finalmente,

Mecânica Ondulatória

O fator c pode ser tomado igual a 1.

Quando conhecemos as soluções da Eq. 4, temos também a solução geral da Eq. 1:

Mecânica Ondulatória

A Eq. de Schr. (4) não contem o número imaginário i. As funções Mecânica Ondulatória(x) são ditas autofunções e são sempre representadas por a letra minúscula Mecânica Ondulatória(x). Os valores possíveis da energia são os autovalores do hamiltoniano H.

Para ilustrar o uso da Eq. (4), consideramos o seguinte caso:

2. Uma partícula numa "caixa" unidimensional

Mecânica Ondulatória
Figura 1

A figura mostra uma região de x = 0 até x = L, onde uma partícula pode mover -se livremente, mas nos pontos 0 e L temos "paredes" da energia potencial infinitamente altas. Trata-se obviamente de um exemplo um pouco irreal, nunca vamos ver na realidade forças infinitas. Mas este exemplo pode servir como modelo aproximativo de várias situações reais. A partícula vai ficar na caixa e
sua onda de matéria vai interferir consigo própria depois das reflexões nas paredes, analogamente ao caso das ondas estacionárias de uma corda vibrante. Também as ondas de matéria têm nós nas "paredes".

A energia potencial é constante no interior da caixa de potencial e é conveniente fazer U = 0 nesta região. Assim, na região 0 < x < L, devemos exprimir a Eq. 4 na forma

Mecânica Ondulatória

A equação

Mecânica Ondulatória

é formalmente idêntica à Eq. 9 -também independente do tempo- do parágrafo 7.7.2 da Mecânica onde ela foi analisada detalhadamente. Também é da mesma forma que a equação do movimento do pêndulo simples, Eq. (3.2.5) no parágrafo 3.2.1 da Mecânica. A solução da Eq. 11 será, então, harmônica da forma

Mecânica Ondulatória

(Em 2.4 vamos usar também a solução equivalente, em forma complexa,

Mecânica Ondulatória

que se usa muito devido ao fato de ser mais fácil de manipular funções complexas do que funções trigonométricas. Não se deve confundir a forma (13) com uma solução da forma Mecânica Ondulatória que é solução da equação diferencial Mecânica Ondulatória.)

Mas sim existe uma grande diferença entre nossa Eq. 11 e a Eq. das oscilações harmônicas simples Mecânica Ondulatória. A variável desta equação é uma função do tempo e a equação tem, por isso, uma única solução que satisfaz a dois condições iniciais.

A variável da Eq. 11 é uma função do espaço e a equação não tem somente uma solução, mas sim um conjunto completo de soluções (as autofunções) que satisfazem a equação e as condições de contorno. Uma equação como a Eq. 11 é chamado de equação de autovalores.

Volvamos agora à solução da Eq. 11.

Uma vez que as "paredes" são infinitamente altas, a partícula não pode estar fora da caixa. Então, Mecânica Ondulatória(x) deve ser nula fora da caixa e nas paredes. uma solução da Eq. 11 deve satisfazer as seguintes condições de contorno:

Mecânica Ondulatória

Vamos determinar as constantes A e B da solução geral (12) usando as condições (14).

Mecânica Ondulatória

Com Mecânica Ondulatória(L) = 0 temos

Mecânica Ondulatória

Não podemos pedir que B = 0, pois isso significaria que Mecânica Ondulatória(x) = 0 para 0 < x < L, ou seja, não haveria partícula nenhuma na caixa.

Mecânica Ondulatória(L) = 0 requer, então, sen kL = 0, e isso só é possível, se kL for um múltiplo inteiro de Mecânica Ondulatória, isto é, se

Mecânica Ondulatória

Já que Mecânica Ondulatória, obtemos para os seguintes valores permitidos Mecânica Ondulatória da energia

Mecânica Ondulatória

São esses os autovalores da Eq. 11, ou seja, os níveis de energia de uma partícula numa caixa com paredes infinitamente altas. Vemos que a energia da partícula está quantizada, pois não pode ter qualquer valor.

(Só anotamos os valores positivos de n, já que os negativos dão os mesmos valores de En -e também de Mecânica Ondulatórian(x)- que os positivos.)

As autofunções, ou seja, as funções de onda permitidas, são dadas por

Mecânica Ondulatória

Observe que os cálculos que acabamos de fazer são bastante semelhantes a os cálculos feitos no caso da corda vibrante.Pode-se dizer que a corda vibrante é um modelo para muitos aplicações da mecânica quântica.

No parágrafo 7.2.2 (Eq. 27) da Mecânica, determinamos também o fator An , pedindo que as autofunções fossem normalizadas, ou seja, pedimos que se cumpra a relação

Mecânica Ondulatória

(Qualquer função de onda que satisfaça à Eq.Mecânica Ondulatória se diz normalizada.)

A Eq. 17 confirma que a probabilidade de encontrar a partícula na caixa é 1.

 

A avaliação da Eq. 17 demonstra, que os fatores An devem ser iguais a (2/L)1/2, ou seja devem ter o mesmo valor como os fatores bn no caso da corda vibrante.

Aqui está o cálculo:

Mecânica Ondulatória

O número n chama-se de número quântico. Este número determina um valor possível da energia e, ao mesmo tempo determina a autofunção correspondente.

É muito interessante ver que uma partícula numa caixa não pode ter energia total nula, ou seja, ela nunca pode estar em repouso. Classicamente, uma partícula pode ter todos os valores positivos da energia, inclusive a energia E = 0.

Na mecânica quântica, o número quântico n = 1 determina a "energia de ponto zero", ou seja, a menor energia total possível. Todas as partículas ligadas (bound) têm energia de ponto zero (0-point energy).

A função de onda associada ao estado Mecânica Ondulatória.

É isso o estado fundamental. A função de onda completa é

Mecânica Ondulatória

Os níveis de energia são separados segundo o quadrado de n, pois En = E1 n2.

Se conhecermos E1, podemos calcular a energia dos níveis "excitados" E2 = 4E1, E3 = 9 E1, E4 = 16 E1 etc.

A diferença da energia entre dois níveis adjacentes é

Mecânica Ondulatória

Vê-se que Mecânica OndulatóriaE é tanto menor quanto maior o tamanho L da caixa. Chegando a dimensões macroscópicos, Mecânica OndulatóriaE será essencialmente zero. Isso significa que não haverá mais quantização e que todo valor de E será possível.

Generalizando, podemos dizer que os resultados da mecânica quântica cumprirão as expectativas da física clássica quando a micro física se acerca à macro física. Este resultado vemos também na seguinte ilustração.

Para completar os resultados obtidos nesse parágrafo, ilustramos as primeiras 4 autofunções, Eq. 16, e as funções densidade de probabilidade, Mecânica Ondulatória, correspondentes.

Mecânica Ondulatória

Observe que o número de meios comprimentos de onda de cada autofunção é igual a seu número quântico n. O número de nós é n+1, se se conta também os extremos (há n ventres no estado n).

(Os gráficos das autofunções (16) se assemelham às funções que descrevem as formas possíveis tomadas por uma corda vibrante fixa em seus extremos, veja o curso de Mecânica, parágrafo 7.2.2 figura 7.2.2.

A razão disso é que os dois sistemas obedecem a equações diferenciais independentes de tempo de formas análogas, e que eles satisfazem condições análogas nos pontos extremos.)

As curvas da densidade de probabilidade quântica Mecânica Ondulatória oscilam mais e mais quando n cresce. No limite em que n tende a infinito as oscilações são tão rápidas que numa experiência somente se pode medir um valor médio da densidade de probabilidade que se acerca ao valor da mecânica clássica, a reta azul na Fig. 3. Este é outro exemplo para o fato de que para Mecânica Ondulatória a mecânica quântica se aproxima à mecânica clássica. Este comportamento foi previsto pelo princípio de correspondência da antiga teoria quântica.

Mecânica Ondulatória
Figura 3

No estado fundamental, n=1, vemos que a probabilidade de encontrar a partícula é maior na região central da caixa do que perto dos extremos. No estado n = 2, a probabilidade de encontrar a partícula no centro da caixa é zero, etc. Segundo a mecânica clássica, a partícula encontra-se com igual probabilidade (=1/L) em qualquer ponto x no interior da caixa: ela se move com velocidade constante de parede até parede, onde sofre uma reflexão perfeita. A sua distribuição de probabilidade é uma paralela ao eixo-x.

Fonte: www.tecnicodepetroleo.ufpr.br

Mecânica Ondulatória

Absorção de Ondas

Qualquer onda, seja ela de natureza eletromagnética ou mecânica pode interagir com a matéria no qual ela se propaga, tendo como resultado uma diminuição da intensidade da onda. De um modo geral, esta interação se processa mais acentuadamente quando existe uma transição brusca de dois meios, acontecendo aí os fenômenos de reflexão, refração e absorção das ondas. Uma vez que os dois primeiros fenômenos já estão discutidos em outras seções, vamos nos preocupar apenas com a absorção.

Mecânica Ondulatória
Absorção de Ondas

Quando pelo menos uma parte de uma onda é absorvida, ocorre uma mudança na energia do material absorvedor, existindo uma variação no estado vibracional e rotacional do material. Sendo a intensidade "I" definida como a razão entre a potência "Pot" da onda pela unidade de área "A", temos que:

Mecânica Ondulatória

onde a potência por sua vez é a energia total "E" dividida pelo tempo "t". Caso uma onda possua intensidade inicial "I0" e final "I", após emergir de um corpo absorvedor, temos que a intensidade emergente será tanto menor quanto maior for a espessura "L" da amostra e quanto maior for a concentração "N" de centros absorvedores do sistema considerado (estes centros absorvedores são geralmente átomos, moléculas ou outro defeito capaz de absorver a luz).

Deste modo, a absorvidade "Ab" de uma onda, definida como o logaritmo do quociente I0/I é uma quantidade adimensional, que varia entre 0 e 1. A expressão para ela pode ser representada como se segue:

Mecânica Ondulatória

onde "a" é uma constante de proporcionalidade denominada "absortividade" e depende do comprimento de onda considerado. Sua unidade dependerá das unidades adotadas para "N" e "L", sendo que se "L" é expresso em centímetros e "N" em número de moléculas/cm3, então a absortividade deverá ser expressa em número de moléculas/cm2, que é a área efetiva de absorção de uma molécula vista pela onda. Caso a freqüêcia da onda não provoque ressonâncias na amostra, ela não será absorvida e a área efetiva de absorção é aproximadamente zero. De modo contrário, se acontecer alguma ressonância no material, a onda deverá ser absorvida, ou seja, a área de absorção será máxima.

No caso particular da absorção óptica, os corpos claros e espelhados apresentam alta refletividade e baixa absorvidade enquanto que os corpos escuros apresentam o comportamento inverso (a substância mais absorvente que se conhece é o "negro de fumo", que absorve 99% da energia luminosa nele incidente).

Mecânica Ondulatória
Corpos Claros

Mecânica Ondulatória
Baixa Absorção

Mecânica Ondulatória
Corpos Escuros

Mecânica Ondulatória
Alta Absorção

A expressão que relata o decréscimo da intensidade da onda devido à sua absorção gradativa é descrita pela lei de Beer-Lambert, cujo modelo é visto através da figura abaixo, onde "dx" representa uma fatia infinitesimal na direção "x" da amostra.

Mecânica Ondulatória
Decaimento da Amplitude da onda incidente devido à absorção.

Pela figura, verificamos que o comprimento "L" da amostra provoca um decréscimo na intensidade da onda incidente. Desta forma, a Lei de Lambert-Beer relaciona a intensidade da onda com a concentração de espécies absorvedoras e a absortividade, de forma que:

Mecânica Ondulatória

Arrebentação das Ondas

O fenômeno conhecido como "ARREBENTAÇÃO" é muito conhecido dos surfistas, uma vez que este fica impossibilitado de se deslocar sobre a crista da onda caso a onda em questão não se arrebente. De um modo geral, só é possível se praticar o surfe em regiões próximas da praia. Isto ocorre pois o refluxo das águas que acontece na parte na região inferior acaba causando uma diferença de velocidades nas partes inferior e superior da onda, tendo como resultado que a parte superior passa por cima da parte inferior.

Caso uma onda não tenha arrebentado, o surfista não pode se deslocar em direção à praia pois não ocorre o arrastamento, mas sim, apenas uma oscilação vertical da prancha.

Mecânica Ondulatória
O surfista desliza sobre as ondas somente depois que ela arrebentou.

Apesar de um cálculo preciso do momento no qual uma onda arrebenta seja algo complicado, uma regra aproximada nos diz que quando a proporção entre a altura da onda e a profundidade da água no local estiver na razão 3/4, este é o momento no qual a onda arrebenta (ex.: Uma onda de 4 metros arrebenta quando a profundidade da onda for de 2 metros).

Batimento de Ondas

Designamos por BATIMENTO ao fenômeno que acontece quando existe uma superposição entre duas fontes emissoras de ondas que produzam ondas que possuam a mesma direção, amplitude e freqüências próximas "f1" e "f2". Pelo fato das freqüências diferirem uma da outra, haverá momentos de interferência construtiva, onde a amplitude resultante será grande e momentos de interferência destrutiva, acarretando numa amplitude diminuta.

Mecânica Ondulatória

Um exemplo familiar de batimento é aquele produzido por dois diapasões, ou por duas cordas de guitarra de freqüências parecidas. Neste caso, ouvimos um som de intensidade variável, cuja freqüência de batimento "fbat" é a subtração das duas freqüências envolvidas dividida por 2 (fbat=(|f1-f2|)/2).

A função de cada onda pode ser descrita através de uma senóide, com vetores de onda k, além de fases ph1 e ph2, respectivamente.

Mecânica Ondulatória
BATIMENTOS PRODUZIDOS POR DOIS DIAPASÕES

Pelo princípio da superposição de ondas, a onda resultante será determinada pela soma algébrica das duas ondas individuais.

Mecânica Ondulatória

Através do uso da relação entre a soma de dois senos, verificamos que a expressão anterior pode ser reescrita sob a forma:

Mecânica Ondulatória

onde a fase de batimento phbat=|ph1-ph2|/2 e as freqüência e fase médias são dadas pelas média aritmética das freqüência e fases iniciais (fmed = (f1+f2)/2 e phmed=(ph1+ph2)/2).

Difração das Ondas

É possível ouvir o som produzido por uma explosão que se situa atrás de um muro delimitador, mesmo que este tenha grande espessura de tal forma que as ondas sonoras não consigam atravessá-lo. Da mesma forma, se algum membro da sua família que está trancado sozinho num dos quartos colocar uma música num volume bem alto num aparelho de som potente, todos os outros irão reclamar (principalmente os que não apreciarem o tipo da música escolhida). Deste modo, percebemos que o som (e todos os outros tipos de ondas) tem a capacidade de contornar obstáculos. A esta habilidade definiu-se o nome de DIFRAÇÃO, que ocorre devido ao fato do comprimento de onda dos sons variarem de alguns centímetros a vários metros, de forma que estas ondas longitudinais acabam são "grandes" em comparação com as aberturas e obstáculos frequentemente encontrados na natureza.

Mecânica Ondulatória

Quando partes de uma onda são ceifadas pela presença de obstáculos, sua propagação no meio considerado torna-se bem mais complicada, fugindo ao que o bom senso esperaria. Isto pode ser exemplificado imaginando-se um tanque cheio d'água com ondas planas se propagando em sua superfície. De início, poderia se pensar que além do orifício, a onda só se propagaria nos pontos situados entre as extremidades da passagem. Porém, o que realmente acontece é que o orifício funciona como se fosse uma fonte de ondas puntiforme, produzindo ondas circulares (Caso a passagem seja muito grande comparado com o comprimento de onda da onda incidente, apenas nas regiões próximas às bordas é que será notado alguma curvatura nas ondas).

Mecânica Ondulatória
Se o tamanho do obstáculo for da origem do comprimento de onda, ocorre a difração.

Deste modo, podemos definir como DIFRAÇÃO a curvatura que uma onda faz ao passar por um obstáculo. Esta curvatura pode ocorrer em maior ou em menor grau, dependendo da forma e das dimensões do obstáculo a ser transpassado.

O fenômeno da difração pode ser entendido com base no princípio de Huygens, descoberto em 1678 pelo holandês Christiaan Huygens. O referido princípio considera que cada ponto de uma dada frente de onda age como se fosse uma fonte puntiforme de ondas. A nova frente de onda (num instante posterior), é determinada pela superfície envoltória de todas estas ondículas esféricas emitidas por estas fontes puntiformes que se propagaram durante o intervalo pertinente.

Mecânica Ondulatória
Cada ponto de uma frente de ondas age como se fosse uma fonte puntiforme.

Cumpre notar que no caso das ondas luminosas, seus comprimentos de onda variam de 4000 a 8000 angstrons aproximadamente. Por esta razão não se observa a difração da luz com facilidade, pois as aberturas e fendas são muito maiores do que o comprimento desta ondas.

Dispersão das Ondas

Muitas ondas periódicas complicadas que comumente aparecem na natureza são misturas de ondas harmônicas mais simples que possuem diferentes amplitudes, freqüências e comprimentos de ondas. Um exemplo interessante e alvo de inúmeras pesquisas médicas e científicas são as ondas cerebrais, como mostradas na figura abaixo:

Mecânica Ondulatória
Mecânica Ondulatória
Ondas cerebrais

Um teorema útil para se analisar estas funções é o teorema de fourier que possibilita decompor uma função de onda de aparência tenebrosa numa somatória de ondas senoidais bem comportadas. Deste modo, mesmo ondas de formas semelhantes às ondas cerebrais podem ser descritas através de uma somatória de "N" funções senoidais, com amplitudes Ai, vetor de onda ki, freqüências angulares wi e fase si, onde "i" representa o índice da somatória considerada.

Mecânica Ondulatória

Se o meio oferecer mais resistência à passagem de certos comprimentos de onda do que outros, as velocidades das ondas no meio serão diferentes e consequentemente a forma da onda inicial mudará com o transcorrer da passagem. Quando isto ocorrer, dizemos que o meio é um MEIO DISPERSOR. Por outro lado, se o meio oferecer resistências iguais para todas as ondas que passam por ele, a forma inicial da onda se conservará ao longo do tempo e não haverá dispersão (o meio neste caso é denominado MEIO NÃO-DISPERSOR).

Portanto, DISPERSÃO é a mudança da forma da onda inicial quando esta passa por um meio cuja velocidade das ondas do meio depende do comprimento da onda.

Mecânica Ondulatória
Mecânica Ondulatória
Mecânica Ondulatória
Ondas num meio dispersor

Mecânica Ondulatória
Mecânica Ondulatória
Mecânica Ondulatória
Ondas num meio não-dispersor

EX.: Ondas luminosas ao incidir no interior do vidro do prisma ou numa lâmina de água provoca a dispersão pois a velocidade da cor vermelha é a maior enquanto que o violeta é o menor. Com isto apesar do ângulo de entrada for igual, como no caso da luz policromática branca, o ângulo de saída diferirá, ocasionando o fenômeno da decomposição da luz branca.

Mecânica Ondulatória
Dispersão num prisma de vidro

Mecânica Ondulatória
Dispersão em gotículas de água

Interferência de Ondas

Considere dois pulsos deslocando-se em direções opostas numa corda. Caso estes dois pulsos se interceptem num determinado momento, pode ocorrer interferência construtiva ou destrutiva, de acordo com a forma inicial dos pulsos. Se os dois pulsos estão do mesmo lado da corda, ocorre interferência construtiva e as amplitudes dos pulsos serão somadas. Caso contrário, acontece no momento do encontro a interferência destrutiva e as amplitudes dos dois pulsos serão subtraídas (o cancelamento completo só existe se os pulsos forem idênticos).

Mecânica Ondulatória
Mecânica Ondulatória

Estas interferências se resultam de acordo com o princípio da superposição de ondas, que infere que a forma da função de onda resultante é igual à soma algébrica das funções de ondas individuais.

O estudo da interferência das ondas é de grande valia à telecomunicações, uma vez que este fenômeno é um dos responsáveis pelas limitações no tráfego de informações. Certos tipos de modulação possuem a propriedade muito importante de minimizar o ruído, como a interferência de um sistema de comunicação. Entretanto esta supressão é conseguida às custas de uma banda de transmissão com um range de freqüências consideravelmente maior do que a banda do sinal original("redução de ruído em banda larga"). Esta banda representa a largura do espectro do sinal, sendo que uma transmissão de grandes quantidades de informação em diminutos intervalos de tempo, necessitam de sistemas emissores de sinais de banda larga para acomodar os sinais(A largura de faixa representa uma limitação em sistemas de comunicação. Se a banda for insuficiente, é preciso diminuir a velocidade de sinalização e consequentemente aumentar o tempo de transmissão). Um esquema eficiente conta com uma minimização do tempo de transmissão, e o envio de uma quantidade máxima de informação num menor tempo possível.

O fenômeno da interferência também ocorre quando uma fina camada de óleo se espalha sobre uma superfície irregular, como uma calçada ou uma sarjeta ou então produzimos uma bolha de sabão com um pouco de água e detergente. Em ambos os casos um feixe luminoso policromático ao incidir nesta película sofre reflexão tanto na superfície superior quanto na inferior da camada de óleo ou sabão. Como resultado, surge regiões escuras nas referentes às zonas de interferência destrutiva e regiões claras quando ocorre interferência construtiva.

Mecânica Ondulatória
Película de Óleo

Mecânica Ondulatória
Bolha de Sabão

Outro exemplo interessante de interferência acontece quando feixes de cores diferentes se cruzam, verificando uma mudança de cor apenas na região do cruzamento dos feixes, voltando às cores originais após saírem daquela região.

Mecânica Ondulatória
Feixe de Laser se cruzando

Mecânica Ondulatória
Feixe de Luz de cruzando

Fenomenologicamente, as interferências podem ser classificadas em interferências unidimensionais (caso da corda com pulsos movimentando-se em sentidos opostos), bidimensionais (pelílas de óleo ou sabão) e tridimensionais (veja os feixes de luz se cruzando acima).

Polarização das Ondas

Considere inicialmente a luz produzida no Sol. Devido ao fato das fontes de ondas terem um grande número de irradiadores de ondas, bem como de causalidades nos processos de emissão, as ondas são formadas por diversos planos de polarização espalhados em todos os ângulos possíveis. Estas ondas são chamadas de ondas naturais ou não-polarizadas. Em contrapartida, dizemos que uma onda está polarizada quando oscila num só plano de vibração, chamado plano de polarização da onda.

Mecânica Ondulatória
Mecânica Ondulatória
Ondas Não-Polarizadas

Mecânica Ondulatória
Mecânica Ondulatória
Ondas Polarizadas

Existem na natureza processos que permitem separar determinados planos de vibração do feixe de ondas não polarizadas. Isto é conseguido com um dispositivo denominado POLARIZADOR, que só deixa passar as componentes paralelas ao seu eixo ótico dos planos de vibração das ondas incidentes. Uma grande variedade de polarizadores ópticos são construídos e vendidos comercialmente, a tabela abaixo nos exemplifica alguns deles:

EXEMPLOS DE POLARIZADORES

Mecânica Ondulatória
Mecânica Ondulatória
Mecânica Ondulatória
Mecânica Ondulatória

Através das figuras anteriores, podemos observar que após a onda emergir do polarizador só existe as componentes paralelas ao seu eixo óptico, sendo eliminadas as componentes perpendiculares. É muito corriqueiro também o uso de um segundo polarizador que se situa logo em seguida do primeiro, com a finalidade de assegurar que a onda emergente esteja realmente polarizada. Este segundo polarizador, que muitas vezes é análogo ao primeiro é denominado ANALISADOR.

Mecânica Ondulatória
Polarizador e o analisador

Mecânica Ondulatória
Ângulo entre os planos

Considere "ß" o ângulo formado entre os eixos óticos do analisador e do polarizador. Caso estes eixos sejam perpendiculares entre si (ângulo de 90 graus), nenhuma onda emergirá do analisador. Se por outro lado os eixos forem paralelos, toda a luz que chega ao analisador acabará saindo.

De um modo geral, sendo "Ie" e "Is" as intensidades de entrada e saída da onda no analisador, temos que:

Mecânica Ondulatória

que é conhecida como LEI DE MALUS. Caso ocorra o aparecimento de mais de um analisador em nosso sistema, a lei de malus pode ser generalizada, sendo uma produtória dos cossenos ao quadrado de todos os ângulos entre o polarizador e o analisador.

Mecânica Ondulatória

Verifica-se que a polarização é um fenômeno típico das ondas transversais. Sendo assim, podemos concluir que o som jamais poderá ser polarizado enquanto que todo o espectro eletromagnético (luz, ultravioleta, raios X, infravermelho, raios Gama, ondas de rádio, microondas, etc), podem ser polarizadas por se tratarem de ondas transversais.

Existe alguma aplicação prática no estudo da polarização? Sim. Podemos citar por exemplo a fluorescência polarizada, técnica experimental com aplicações na farmacologia. Através desta técnica, podemos detectar a presença de drogas ilícitas em medicamentos. O processo consiste em colocar uma pequena amostra do remédio num feixe de luz plano-polarizada monocromática devidamente colimada. Esta luz monocromática passa através de um filtro polarizador vertical afim de deixar a luz polarizada verticalmente antes de chegar à amostra. Com isto, somente as moléculas com orientação vertical absorvem a luz e passando para um estado excitado. Ao decaírem, estas moléculas emitem luz nos planos paralelos e perpendicular ao feixe de ondas incidente, sendo suas intensidades (tanto paralela quanto perpendicular) medidas experimentalmente.

Deste modo, a fração entre a intensidade da luz polarizada verticalmente que incide na amostra e a intensidade da luz polarizada horizontalmente que sai da amostra é medida pela quantidade de moléculas que rotacionaram durante a excitação ótica.

Mecânica Ondulatória
Esquema geral da polarização por fluorescência

Uma amostra que contenha fluorfosfato emite luz depolarizada pois não pode rotacionar durante a excitação óptica. Ao se adicionar uma mistura de soro e anticorpos ao sistema, ocorre uma reação entre as duas substâncias e o complexo resultante emite luz polarizada, a qual em seguida se efetua uma curva padrão de concentração de fluorfosfato versus polarização.

Através da construção de uma curva padrão para a amostra e sua subseqüente comparação com os gráficos de concentração versus polarização de drogas conhecidas, podemos determinar o tipo da droga que está presente na amostra.

Reflexão das Ondas

Quando se emite um som nas proximidades de um obstáculo como por exemplo uma caverna, as ondas sonoras sofrem reflexão nas paredes da caverna e voltam na direção oposta e, quando elas chegam ao nosso ouvido, nós ouvimos o eco. Portanto a existência do eco se deve unicamente propriedade de reflexão das ondas sonoras.

Da mesma forma, as cores dos objetos são devida à reflexões de alguns comprimentos de ondas pela luz incidente sobre eles. Assim, quando olhamos para um objeto opaco, vemos somente a parcela não absorvida da luz que chegou até ele.

Mecânica Ondulatória

Mecânica Ondulatória

Mecânica Ondulatória

Mecânica Ondulatória

Mecânica Ondulatória

Mecânica Ondulatória

Um mesmo objeto pode adquirir tons diferentes de acordo com o tipo de luz que chega até ele. Por exemplo uma flor vermelha na luz branca(denominada luz policromática por apresentar todas as cores do espectro), pode tornar-se negra se retirarmos a luz branca e incidirmos sobre ela apenas luz monocromática verde. Isto acontece porque somente os comprimentos de ondas correspondentes àos tons avermelhados é que são efetivamente refletidos pela flor, sendo os outros absorvidos. Como o verde pertence à faixa do espectro que é absorvida, a flor não refletirá luz nenhuma, tornando-se negra. Já as folhas continuam verdes pois toda a luz que chega até elas acaba sendo refletida.

Mecânica Ondulatória
Luz Policromática

Mecânica Ondulatória
Luz Monocromática Vermelha

Mecânica Ondulatória
Luz Monocromática Verde

Do que foi escrito no parágrafo anterior, podemos presumir que um objeto é branco quando reflete todas as cores. Da mesma forma, um objeto é negro quando absorve todas as cores. E por fim, um objeto pode tornar-se negro se a luz que incide nele não possuir a faixa de comprimentos por ele refletida.

A luz ou qualquer outra onda, ao incidir numa superfície polida, seguem uma regra simples, conhecida como lei de reflexão, a qual nos diz que o ângulo no qual o raio de luz atinge a superfície é o mesmo que será refletido, ou seja, o ângulo de incidência "I" é igual ao de reflexão "R".

Mecânica Ondulatória

LEI DA REFLEXÃO

Apesar da luz ser um exemplo vistoso, as reflexões de outros tipos de ondas também podem ser observadas como por exemplo a reflexão de ondas mecânicas numa corda ou então de uma pedra atirada nas águas de um lago tranqüilo.

Mecânica Ondulatória
Antes da Reflexão

Mecânica Ondulatória
Depois da Reflexão

Refração de Ondas

Considere uma onda que atravessa uma superfície de separação entre dois meios quaisquer (água e óleo, ar e vidro, corda fina e corda grossa, etc), sua direção inicial é desviada. Este desvio no ângulo de incidência, de depende exclusivamente das características do meio, é denominado REFRAÇÃO. A refração é a explicação de inúmeros efeitos interessantes, como o arco-íris, a cor do céu no pôr-do-Sol, o uso de lentes nos óculos e instrumentos astronômicos, etc.

Mecânica Ondulatória
Por-do-sol

Mecânica Ondulatória
Telescópio refrator de luz

A lei básica que regulamenta a refração é a chamada "LEI DE SNELL-DECARTES", onde relaciona os ângulos de incidência "i" e penetração "r" com os índices de refração relativo entre os meios em questão (por índice de refração relativo, podemos entender como a divisão entre as velocidades dos dois meios). Qualquer que seja o tipo de onda envolvida na refração, sua freqüência não se altera. O mesmo não ocorre com a velocidade e o comprimento de onda.

Mecânica Ondulatória
Esquema de refração

A onda refratada sempre está em concordância de fase com relação onda incidente. Já com relação à onda refletida, podemos afirmar que se o meio no qual ela penetrou for mais denso do que o meio do qual ela veio, as ondas refletida e refratada estão em oposição de fase. Já na hipótese inversa, ou seja, quando o meio no qual ela penetrou se apresenta menos denso do que o meio do qual ela veio, as duas ondas estarão com a mesma fase.

Matematicamente, sendo "nr,i"= vi/vr, o índices de refração relativo entre os meios, temos:

Mecânica Ondulatória

Por esta lei, percebemos que a incidência de raios perpendiculares (paralelos à reta normal) à fronteira que separa os dois materiais não causa desvio no sentido de propagação da onda, uma vez que todos os pontos que constituem a frente de onda acabam sofrendo uma mudança de velocidade simultaneamente.

Fonte: www.cdcc.sc.usp.br

Sobre o Portal | Política de Privacidade | Fale Conosco | Anuncie | Indique o Portal