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Multiplicação

A operação da multiplicação é empregada para somar muitas vezes o mesmo número, pois "multi" significa muitos".

A multiplicação é indicada pelo sinal x ou . (ponto).

Veja um exemplo:

Maria comprou quatro dúzias de laranjas. Se cada dúzia são doze laranjas, então quatro dúzias serão quatro vezes doze.

Assim:

Propriedades da Multiplicação

1. propriedade Comutativa - a ordem dos fatores não altera o produto, isto é, trocamos a ordem dos fatores e o resultado é sempre o mesmo:

10x8 = 80 = 8x10 = 80

ou

axb = c = bxa = c

2. propriedade associativa - para calcularmos o produto de três números, multiplicamos os dois primeiros e, a seguir, multiplicamos o resultado obtido pelo terceiro:

2 x 5 x 6 = (2 x 5) x 6 = 10 x 6 = 60

ou

a x b x c = (a x b) x c

3. propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração - há duas diferentes maneiras para se chegar a um mesmo resultado:

3.(4+6) = 3.10 = 30 ou a.(b + c)

3.4 + 3.6 = 12 + 18 = 30 ou   a. b + a. c

O Elemento Neutro da Multiplicação

O número 1 é o elemento neutro da multiplicação, porque, ao multiplicarmos um número por

1, esse número não sofre alteração, não interferindo no resultado:

9 x 1 = 9

Nós podemos, então, suprimir os fatores iguais a 1:

5.1.3.1 = 5.3 = 15

Fonte: www.vestibular1.com.br

Multiplicação

Multiplicação: é a operação que determina a soma de parcelas iguais.

Para indicar a multiplicação usaremos o sinal x ou · (vezes ou multiplicado por).

Exemplo:

Multiplicação

ou

5 + 5 + 5 + 5 = 20

Propriedades:

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

4

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

6

0

6

12

18

24

30

36

41

47

54

60

7

0

7

14

21

28

35

41

49

56

63

70

8

0

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

9

 0  

 9 

18

27

36 

45 

54 

63 

72

81

90

10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

O produto de dois números naturais é um número natural.

            Exemplo: 2 x 7 = 14

A multiplicação de dois números naturais é comutativa.

            Exemplo: 2 x 7 = 14 = 7 x 2 

A multiplicação com números naturais é associativa.

            Exemplo: (3 x 5) x 2     =    3 x (5 x 2)

                             15 x 2       =     3 x 10 

                                30                  30

O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.

            Exemplo: 1 x 4 = 4 = 4 x 1

O produto de um número natural por uma soma indicada de dois ou mais números naturais é igual a soma dos produtos desse número natural pelas parcelas da soma indicada.

            Exemplo: 2 x (4 + 6) = 2 x 4 + 2 x 6

                             2  x  10 = 8  +  12

                                20           20

Fonte: www.exatas.net

Multiplicação

Multiplicação de Números Decimais

Para multiplicar números decimais, a maioria de nós aprendeu que basta efetuar a multiplicação ignorando as vírgulas, em seguida, contar as casas decimais e colocar  a vírgula no resultado, da direita para a esquerda.

Exemplo:

Multiplicação

Será que realmente compreendemos a multiplicação de números decimais ou simplesmente aprendemos a operar mecanicamente?

Vamos pensar um pouco ao resolver esta operação: 3,25 x 1,2.

Se fizermos por estimativa, o resultado dessa operação vai ser aproximadamente, três vírgula alguma coisa.

Isso acontece porque multiplicando a parte inteira de cada número temos: 3 x 1 = 3.

Como é 3 e pouquinho e 1 e pouquinho, deduzimos que o resultado será um pouco mais do que três.

Quando multiplicamos os números decimais como se não existissem as vírgulas, estamos transformando cada um, em número inteiro:

Para que o número decimal 3,25 se transforme em número inteiro temos que multiplicá-lo por 100, resultando 325.

Para que o número decimal 1,2 se transforme em número inteiro temos que multiplicá-lo por 10, resultando 12.

Efetuando 325 x 12 temos como resultado 3900. Porém a operação a ser resolvida é 3,25 x 1,2.

Se pela estimativa o resultado seria 3 e alguma coisa, qual seria a posição da vírgula no número 3900? Observe:

390,0 – temos 390 não é próximo de nossa estimativa

39,00 – temos 39 que também está longe de nossa estimativa

3,900 – temos 3 e alguma coisa como prevemos

0,39 – também não está próximo de nossa estimativa

Será que é necessário uma regra mecânica para fazermos isso?

Será que se nós professores trabalhássemos mais com a estimativa em sala de aula, nossos alunos não conseguiriam desenvolver melhor a análise e a interpretação de dados?

Outra coisa a se pensar, é porque contamos as casas decimais e colocamos no resultado a vírgula da direita para a esquerda.

Observe:

Multiplicação

Uma outra forma de verificar  a posição da vírgula é trabalhar com frações decimais:

3,25 x 1,2 = 3,9

Multiplicação e divisão - 1ª e 2ª séries

Na 1ª e na 2ª série a ênfase maior está na construção das idéias aditivas e subtrativas porém, inicia-se um trabalho com a construção das idéias da multiplicação e divisão.

Em relação à multiplicação, ela é trabalhada associada a idéia da adição de parcelas iguais.

1ª série

No 3º e 4º bimestre do MDP (Material Didático Positivo) exploram-se noções da multiplicação e da divisão (idéias), sem trabalhar o algoritmo (técnica operatória).

Páginas do material que exploram essas noções:

3º bimestre: 24, 25, 39, 40, 41, 49, 50, 51,52, 53, 54, 55, 56 e 57;

4º bimestre: 10, 11, 12, 13, 17, 18, 19, 34, 35, 36, 37, 38, 43, 44, 61, 62 e 63.

2ª série

Além de continuar explorando as noções de multiplicação e divisão, são introduzidos os algoritmos.

A partir do segundo bimestre , o professor poderá montar tabelas para que o aluno possa estabelecer a relação entre a adição e a multiplicação.

Exemplo:

Nº de Carros
Nº de Pneus
Adição
Nº de Pneus Multiplicação

1

4 pneus

1 x 4 pneus = 4 pneus

2

4 pneus + 4 pneus = 8 pneus

2 x 4 pneus = 8 pneus

3

4 pneus + 4 pneus + 4 pneus = 12 pneus

3 x 4 pneus = 12 pneus

4

4 pneus + 4 pneus  + 4 pneus + 4 pneus = 16 pneus

4 x 4 pneus = 16 pneus

5

4 pneus + 4 pneus 4 pneus  + 4 pneus + 4 pneus = 20 pneus

5 x 4 pneus = 20 pneus

Observações:

As referências (pneus) são de extrema importância para a compreensão do aluno, pois sem ela não possui significado para o aluno.

Na segunda série não há necessidade da memorização das tabelas(tabuadas). O importante é que o aluno compreenda a idéia multiplicativa.

As tabelas não devem ser apresentadas ao aluno sempre na ordem crescente, isto é, 1 x 4; 2 x 4; 3 x 4 e etc.

Elas podem variar, como por exemplo:

Nº de Carros
Nº de Pneus
Adição
Nº de Pneus Multiplicação

4

4 pneus + 4 pneus  + 4 pneus + 4 pneus = 16 pneus

4 x 4 pneus = 16 pneus

2

4 pneus + 4 pneus = 8 pneus

2 x 4 pneus = 8 pneus

5

4 pneus + 4 pneus 4 pneus  + 4 pneus + 4 pneus = 20 pneus

5 x 4 pneus = 20 pneus

3

4 pneus + 4 pneus + 4 pneus = 12 pneus

3 x 4 pneus = 12 pneus

Ao iniciar o ensino da técnica operatória da multiplicação, é importante mostrar aos alunos o algoritmo simplificado e ao mesmo tempo o algoritmo com a decomposição.

Exemplo:

Algoritmo simplificado 

Multiplicação

Algoritmo pela decomposição     

Multiplicação   

Fonte: pessoal.educacional.com.br

Multiplicação

Multiplicação de Números Naturais

É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.

Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:

4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36

O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores.

Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.

Propriedades da multiplicação

Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais númros naturais, o resultado estará em N.

O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.

Multiplicação

Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.

(m.n).p = m.(n.p)

(3.4).5 = 3.(4.5) = 60

Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1.

Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:

1.n = n.1 = n

1.7 = 7.1 = 7

Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento.

m.n = n.m

3.4 = 4.3 = 12

Propriedade Distributiva

Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.

Multiplicação

m.(p+q) = m.p + m.q

6x(5+3) = 6x5 + 6x3 = 30 + 18 = 48

Fonte: pessoal.sercomtel.com.br

Multiplicação

Sabemos que 3 x 5 = 5 + 5 + 5 =15.

Da mesma forma:

Multiplicação

 

Nestes dois exemplos estamos utilizando a idéia de que multiplicar por 3 é somar 3 parcelas iguais.

O problema é que não podemos utilizar essa mesma idéia para efetuar, por exemplo,

Multiplicação

Esta multiplicação não é uma adição de parcelas iguais. Em casos como este devemos considerar a multiplicação de outra maneira.

Sabemos que expressões como "o dobro de", "o triplo de", etc., estão relacionadas com multiplicações. Estas expressões são expressões multiplicativas.

Analogamente, as expressões "a metade de", "a terça parte de", "a quarta parte de", ou Multiplicação de, Multiplicação de, Multiplicação de, conduzem a divisões.

Para se ter a metade, é necessário dividir por 2.

Para se ter a terça parte, é necessário dividir por 3.

E assim por diante.

Vamos utilizar essas idéias e nos apoiar em desenhos para interpretar a multiplicação de frações.

Comecemos pelo exemplo citado:

Multiplicação

O que queremos saber é quanto vale "o dobro" da "terça parte" de Multiplicação.

Começamos por representar Multiplicação:

Multiplicação

Depois, marcamos "a terça parte" de Multiplicação:

Multiplicação Multiplicação

Por último, marcamos "o dobro" da "terça parte" de Multiplicação:

Multiplicação Multiplicação

Agora, vamos repetir o desenho destacando apenas o resultado:

Multiplicação

Quanto vale a parte marcada, em relação ao retângulo todo?

A parte marcada corresponde a Multiplicação do retângulo todo.

Concluímos que Multiplicação.

 

Podemos resumir tudo isso numa regra simples:

Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si.

Para confirmar esta regra, podemos testá-la em outras multiplicações:

Vamos calcular Multiplicação

Temos Multiplicação Multiplicação

Queremos a metade de Multiplicação Multiplicação

A figura nos mostra que a metade de Multiplicação é Multiplicação, ou seja:

Multiplicação

Agora vamos calcular Multiplicação

Multiplicação

Dividimos Multiplicação em 4 partes:

Multiplicação

Multiplicação

Agora tomamos 3 dessas partes:

Multiplicação

ou seja:

Multiplicação

Fonte: educar.sc.usp.br

Multiplicação

Quando pensamos em multiplicação, a primeira ideia que nos vem à mente é a soma de parcelas iguais, por exemplo: 4 x 4 = 4 + 4 + 4 + 4 = 16, ou seja, repetimos quatro vezes o número quatro.

Ou então:

3 x 7 = 7 + 7 + 7 = 21, ou seja, somamos três vezes o número 7.

Essa é uma ideia básica de multiplicação, mas não podemos nos reter somente a isso.

É preciso lembrar que a multiplicação é uma operação matemática que consiste em repetir um número na quantidade de vezes que ele foi indicado, conforme explicado acima.

Observe a nomenclatura

Multiplicação

Se você possui 3 pirulitos e os multiplica por 7, observe a quantidade de pirulitos que vai formar (lembrando que você vai repetir 7 vezes o número 3):

Multiplicação

Se contar todos os pirulitos que tem agora, vai ver que a quantidade (produto final) é 21.

Fonte: www.klickeducacao.com.br

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