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Uso da Calculadora

O USO DA CALCULADORA NAS SÉRIES INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL

E POR FALAR EM CALCULADORA...

A discussão sobre o  uso da calculadora  nas escolas de Educação Básica não é recente e tem se expandido em artigos publicados e trabalhos apresentados em Congressos da área da Educação Matemática. Particularmente, essa discussão encontra maior eco quando se discute a incorporação deste artefato às atividades pedagógicas junto aos alunos e alunas dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. De fato, enquanto para alguns seu uso nas escolas poderia tornar-se uma ferramenta importante no processo pesagógico, para outros – mesmo compreendendo que ela se espalha por todo o tecido social - seu uso comprometeria a aprendizagem das crianças. Como bem apontam Pinheiro e Campiol (2005, p.132),

Apesar deste artefato estar presente na vida da maioria de nossos alunos e nossas alunas, muitas vezes ignoramos esse fato e inventamos uma nova realidade, da qual a calculadora não faz parte, o que nos parece muito cômodo, mas, na verdade, causa uma inconformidade na nossa vida escolar.

Nesse sentido, cabe pontuar que se, por um lado, a escola  usualmente “faz de conta” que esse artefato não existe, por outro, quando admite sua existência, impede que ele faça parte do contexto escolar. Tal impedimento está  geralmente associado à suposta “preguiça mental” que os alunos desenvolveriam com seu uso, uma vez que, segundo essa concepção, eles “deixariam de raciocinar” ao utilizá-la, como se o simples fato de não mais “armar contas” fosse determinante para a falta do desenvolvimento desse “raciocínio”. Contrapondo-se ao argumento do “não raciocínio”, pesquisas como as de Girotto (2005), Maestri (2004) e Pinheiro e Campiol  (2005)  têm  demonstrado que, ao contrário, seu uso permite que os estudantes desenvolvam “habilidades vinculadas ao cálculo mental, à decomposição e à estimativa” (Pinheiro e Campiol, 2004, p.129).

Assim, no primeiro encontro dedicado à temática, propô-se ao grupo de professores, além da  leitura de textos, a resolução de algumas atividades, voltadas aos Anos Iniciais, com o intuito de problematizar o uso desta ferramenta em suas práticas pedagógicas.

Em convergência com  Klüsenner (2000, p.123), as atividades comtemplavam:

Campo numérico

Valor posicional e valor absoluto
Números decimais
Operações
Relações e propriedades dos números

O uso da calculadora com os números decimais

A calculadora nos passatempos, brincadeiras e jogos

Resolvendo problemas com a calculadora

A calculadora no nosso dia-a-dia.

Após a intensa discussão – com grande parte dos participantes posiciondo-se contra o uso –  quatro professoras propuseram-se a incorporar tais atividades – totais ou parciais – em suas turmas. Assim, nos encontros posteriores,  as professoras relataram suas práticas pedagógicas aos demais participantes e, mesmo classificando a experiência como “muito boa”,  relatos como “depois voltei a trabalhar com o QVL” [Quadro Valor Lugar] mostram que, usualmente, os professores temem o perigo de os alunos “se tornarem mais preguiçosos ainda em pensar”, conforme relatou uma das professoras.

Uma das professoras comentou o “medo” que sentiu ao  apontar  que:

Quando peguei a terceira série, encontrei dificuldade em como passar isso [referindo-se aos conteúdos mínimos constantes no Plano de Estudos] pra turma toda, turma grande, por isso eu vim aqui [nos encontros]. A partir desse momento, estou tendo esse contato com o material e vocês dando a idéia de que é possível fazer que vai dar certo. Se não der certo na primeira, vai dar na segunda, ou tente outra vez. Estou me encorajando a arriscar a trabalhar com calculadora, arriscar a trabalhar com geometria. Tudo isso aí vai me encorajando, porque só vou me encorajar quando ouvir pessoas que já trabalharam e deu certo.

O excerto acima aponta para duas questões que podem ser consideradas relevantes. A primeira delas diz respeito aos conteúdos mínimos da terceira série. Ao comentar que não sabia “como passá-los”, a professora reconhece a existência de uma grade curricular que, segundo ela, deve “guiar”sua prática pedagógica.

Durante a apresentação, em nenhum momento a professora questionou a legitimidade de tais conteúdos, tomando-os, portanto, como “algo dado”, não passível de contestações. O segundo aspecto aqui reputado como importante refere-se ao “encorajamento” da docente para trabalhar com calculadora. Nota-se na fala da professora que ela só incorporará tais conteúdos e ferramentas tecnológicas se “ouvir pessoas que já trabalharam e deu certo”. O medo de “errar” , de burlar o Plano de Estudos – linear, seqüencial e tradicional -, não permite que ela tome inciativa. Como apontou outra professora “acredito que ocorreram tentativas [de rupturas com a inclusão de atividades problematizadas nos encontros] com ótimos resultados, mas em certos momentos estamos presos a nossa trajetória escolar, a certas crenças”.

Tais relatos apontam para a necessidade de prosseguir na discussão a fim de que a máquina de calcular deixe de ser um mito na escola, uma vez que não há justificativa para o fato da escola, usualmente, fingir que ela não existe.

Abaixo estão elencadas algumas das atividades propostas:

1) Coloque a calculadora em cima de sua mesa.

a) Quantas teclas existem na sua calculadora?

b) Localize nas teclas:

Os algarismos de 0 a 9
Os sinais das operações: +, -, x, :
Qual a tecla que liga a máquina?
Qual a tecla que apaga o que está no visor?
Qual a tecla que desliga a máquina?

2) Calcule 26 + 26 + 26 + 26 + 26

Como você poderia facilitar esse cálculo? Procurando apertar o menor número possível de teclas, qual delas você digitaria?

Acione a seqüência de teclas indicadas e observe o que ocorre:

a) 2 x 3 = = = =
b) 3 x 2 = = = =
c)1: 10 = = = =

3) Nesta atividade, procure encontrar a seqüência que aciona o menor número de teclas para gerar no visor da calculadora as seguintes seqüências:

a) (2; 1,8; 1,6; 1,4; ...........)
b) (1,25; 1,48; 1,71; ...........)
c) (2; 0,2; 0,002; 0,0002; ........)

4) Em uma calculadora, registrou-se o número 2458. O que devemos fazer para encontrar nessa calculadora o número 2738, sem apagar o número 2458?

Realize o menor número de manipulações possível. Escreva todos os passos seguidos.

5) Utilizando a calculadora, verifique qual dos números indicados abaixo é a melhor aproximação de 29,5 : 7.

a) 4,2
b) 4,26
c) 4,25
d) 4,28
e) 4,272
f) 4,273

6) Encontre uma maneira de registrar o número 54 no visor da calculadora sem apertar as teclas 5 e 4.

a) Escreva os passos que você utilizou para resolver a questão.
b) Agora encontre uma maneira de registrar o número 167 sem apertar as teclas 1, 6 e 7. Escreva os passos que você utilizou para resolver o problema.

7) Eduardo gostaria de resolver a seguinte multiplicação: 25 x 59, porém, quando pegou a calculadora viu que a tecla do número 5 estava quebrada. Como Eduardo pode utilizar a calculadora para realizar esse cálculo?

8) Quero multiplicar 543 por 28, no entanto, a tecla de multiplicação está quebrada. Como posso proceder?

9) Brincando com o teclado

987 - 789 =                             654 - 456 =                        321 - 123 =

741 - 147 =                             852 - 258 =                        963 - 369 =

951 - 159 =                             753 - 357 =

10) Observe a operação abaixo, acrescente ao primeiro fator uma unidade, ao segundo diminua uma e observe: o que está acontecendo com os resultados?

         4 x 4 =     - - - -     5 x 3 =

11) Encontre o 20 como resultado de uma seqüência de operações e números utilizando apenas 5 teclas.

Como por exemplo: 12 + 8 =

12) Utilizando as teclas + e - esboce alguns cálculos, obtendo como resultado o número 40. Depois, utilizando as teclas +, -, x, :, também apresente alguns cálculos cujo resultado seja 40.

13) Quanto devo pagar por um produto de R$ 40,00 que está em oferta com 25% de desconto? Faça esse cálculo sem utilizar a tecla %.

14) Efetue e observe as seguintes multiplicações (use a calculadora quando considerar necessário):

6 x 2 =
66 x 2 =
666 x 2 =
6 666 x 2 =
66 666 x 2 =

a) Agora, sem usar a calculadora, escreva o resultado de 66 666 666 x 2 =
b) Qual é a regra dessas multiplicações?
c) Crie um problema semelhante a este multiplicando por 3.

15) Agora, calcule os resultados das seguintes expressões e confira-os na calculadora:

8 x 8 + 13 =
88 x 8 +13 =
888 x 8 +13 =
8 888 x 8 + 13 =

Use a calculadora para descobrir quais algarismos os losangos escondem no seguinte produto:

 4  7 = 6 743  56

16) Se quisermos calcular 28 – 13 + 32 – 11, o que devemos fazer?

Teclas de Memória

Digitando M+ guardamos na memória os resultados positivos.
Digitando M- guardamos na memória os resultados negativos.
Digitando MCR chamamos ou vemos os resultados armazenados.

17) Um estudante, ao efetuar a operação 10 x 4 – 20 : 5 + 30 x 2 =, encontrou como resultado 68. Explique qual o caminho seguido e procure justificar esse procedimento. O resultado encontrado está correto?

18) Quais dos cálculos abaixo apresentam como resultado número maior ou menor que 800?

a) 23,4 x 45,001 =
b) 18,77 x 40,03 =
c) 9,3 x 9,3 x 9,3 =
d) 346,778 + 453,33 =
e) 1000 – 199,9999 =
f) 2000 – 200,00001 =

19) Estime o provável resultado. Após, confira o resultado na calculadora.

a) 235,53 x 74,8 =
b) 0,87 x 1,2 =
c) 1,23 x 1,35 =

ALGUNS JOGOS

1) Sem repetir, usar qualquer uma das 10 teclas da calculadora, qualquer uma das quatro operações e a tecla de igual. Por quantos caminhos diferentes se pode chegar ao 10?

2) Sem repetir, usar qualquer uma das 10 teclas da calculadora, qualquer uma das quatro operações e a tecla de igual e conseguir como resultado somente 100.

3) Quatro saltos até o zero

Digitar um número com  4 dígitos. A proposta é reduzir o número escolhido a zero em somente quatro etapas utilizando apenas números com dois dígitos. Você pode usar todas as quatro operações, mas uma de cada vez. Registre todos os seus passos.

4) Quem atinge primeiro 90?

Digite na calculadora um número entre 100 e 200 e divida até chegar próximo ou no 90.

5) Quem é mais rápido?

Este jogo deve ser uma disputa entre dois grupos com o mesmo número de participantes em cada grupo.

Regras a serem seguidas:

No jogo há duas listas de cálculos e haverá um limite de tempo para a realização dos cálculos de cada lista.
Apenas um dos grupos ficará com as calculadoras.
Um dos grupos só poderá efetuar os cálculos com a calculadora, enquanto o outro deverá efetuar todos os cálculos sem a calculadora.
Cada aluno trabalhará individualmente, após receber uma lista de cálculos.
A correção deverá ser feita pelos alunos, ao término do tempo determinado para a execução de cada lista.
Os dois grupos deverão resolver as duas listas de cálculos.
Cada grupo ganha um ponto sempre que um aluno encontra o resultado correto de uma conta, dentro do limite de tempo estipulado.
Ganhará o jogo o grupo que, ao final, tiver maior número de pontos.
Em caso de empate, os grupos deverão criar um critério para o desempate.

1ª LISTA

a) 1 +1 +1 +1 +1+ 1 =
b) 30 : 5 =
c) 3 x 7 =
d) 2 + 2 + 2 + 2 =
e) 537 – 537 =
f)
5376 – 0 =
g) 200 + 30 + 2 =
h) 173 x 1 =
i) 5879 x 0 =
j) 10 654 + 0 =

2ª LISTA

a) 136 + 357 =
b) 38 x 7 =
c) 1 004 – 678 =
d) 1 083 + 25 + 132 =
e) 1 190 – 975 =
f) 1 000 – 673 =
g) 144 : 6 =
h) 3 431 x 2 =
i) 1 212 x 5 =
j) 392 : 7 =

6) Preciso ou não preciso usar a calculadora?

Material: Cartelas (tabela 1, tabela 2, tabela 3 e tabela 4); calculadora, lápis e papel.

Número de jogadores: grupos de 4 componentes, arrumados em duplas.

Instruções:

a. Cada dupla inicia o jogo com 10 pontos.
b. Na vez de a dupla jogar, os componentes podem utilizar a calculadora. Mas, atenção! Ela só poderá ser usada, no máximo, 3 vezes em cada cartela.
c. Se ela for utilizada mais de 3 vezes, a dupla perde 1 ponto em cada vez excedente. No entanto, se ela for utilizada apenas 1 vez a dupla ganha 2 pontos; se ela for utilizada 2 vezes, a dupla ganha 1 ponto.
d.
Tire par ou ímpar para decidir que dupla começará o jogo. A dupla vencedora começa a resolver a tabela 1. Enquanto isso, a outra dupla confere se as contas realizadas estão corretas.
e. A dupla que está resolvendo a tabela perderá 1 ponto para cada resposta errada.
f. Ao final do tempo, computam-se os pontos das duplas que trabalharam. Em uma tabela deverão ser registrados os pontos ganhos e os pontos perdidos.
g. Agora é a vez da outra dupla. Ela deverá resolver a cartela do jogo 2. Enquanto isso acontece, a primeira dupla confere os resultados.

Ao final do tempo, repete-se a 6ª etapa.

Utilizar os mesmos procedimentos para a realização das 3ª e 4ª tabelas.

Ao final do jogo, cada dupla terá resolvido duas tabelas.

Depois é só fazer o levantamento dos pontos e ver quem ganhou.

7) Vamos às compras?

Dispomos de R$20,00 para fazer umas compras, mas não podemos gastar todo o dinheiro. Precisamos ficar com pelo menos R$5,00.

Procedimentos a serem seguidos:

a. Formar grupos de 5 participantes, no máximo. Cada grupo receberá um fôlder de mercado, farmácia para realizar sua compra. Um dos participantes do grupo fará o registro dos gastos e saldos após cada compra; o outro fiscalizará e os demais utilizarão a calculadora, que passará de mão em mão, para controle dos gastos.
b. O professor deverá marcar um tempo para as compras (de 5 a 10 minutos).
c. Terminado o tempo, cada grupo dirá com quanto ficou. Ganha o grupo que ficar com quantia mais próxima de R$ 5,00.

8) Formando palavras com a calculadora

Efetuar as operações e descobrir as palavras que respondem os enigmas:

a) Ela é Deusa Egípcia: 101 x 51=
b) Os terráquios só têm um: 235 x 3=
c) Está entre o cinco e o sete: 79 x 65=
d) É amarga como fel: 286 x 13=
e) Assim são os pêlos da girafa: 1871 x 27=
f) Toma-se um por vez: 527 x 7 + 20=

Inventar outros cálculos escrevendo palavras.

Ieda Maria Giongo

REFERENCIAS

GIROTTO, Márcia Ballestro. Calculadora: um artefato cultural e uma ferramenta de estudo e compreensão de questões sociais. Lajeado: UNIVATES, 2005. Monografia de Conclusão de Curso de Especialização.
KLÜSENER, Renita. Aritmética nas séries iniciais: o que é? Para que estudar? Como ensinar? Porto Alegre: UFRGS, 2000.
MAESTRI, Rosane da Silva. Etnomatemática e a calculadora em um assentamento do Movimento Sem Terra. In: KNIJNIK, Gelsa; WANDERER, Fernanda e OLIVIERA, Cláudio José. Etnomatemática, Currículo e Formação de Professores. Santa Cruz do Sul: Edunisc, 2004.
PINHEIRO, Josiane de Moura e CAMPIOL, Giane. A utilização da calculadora nas séries iniciais. In: Práticas Pedagógicas em Matemática e Ciências nos Anos Iniciais. Ministério da Educação; Universidade do Vale do Rio dos Sinos – São Leopoldo: Unisinos; Brasília: MEC, 2005.

Fonte: www.sbem.com.br

Uso da Calculadora

Usando a calculadora para aprender

A matemática é uma ferramenta poderosa que desenvolve o raciocínio lógico e nos ajuda a resolver problemas e a tomar decisões de forma mais consciente.

Uma das decisões que constantemente precisamos tomar diz respeito ao tipo de cálculo mais adequado a diferentes situações problema.

De maneira geral poderíamos falar em quatro tipos de cálculo que deveriam ser explorados e exercitados na escola: o cálculo escrito (algoritmos), o cálculo mental exato, o cálculo mental aproximado (estimativas) e o cálculo feito com ferramentas de apoio, das quais a mais comum é a calculadora.

Na escola deveríamos explorar situações e estratégias específicas de cada uma dessas modalidades de cálculo, bem como dar ao aluno certa margem de liberdade na escolha de que tipo de cálculo seria mais adequado aos problemas que resolve, de forma semelhante ao que ocorre fora da escola, quando escolhemos livremente o procedimento de cálculo que mais nos convém. É lógico que a calculadora não deve ter mais espaço que as outras formas de cálculo na escola, mas ela pode enriquecer muito a prática, se mediada ou proposta por você.

A calculadora libera a turma para pensar

Enquanto a maquininha eletrônica faz o serviço braçal, seus alunos têm mais tempo para descobrir novos caminhos dentro da Matemática.

Galileu Galilei (1564-1642) não inventou a luneta para ficar bisbilhotando a intimidade alheia. O equipamento abriu ao cientista italiano a possibilidade de ampliar os estudos sobre astronomia e de fazer proposições científicas. Para Antônio José Lopes Bigode, consultor em educação matemática, a calculadora será muito mais valiosa na escola se sua utilização seguir o mesmo espírito. "Não se pode usá-la somente para fazer contas mais rápido, sem alterar os conteúdos curriculares", argumenta Bigode. É preciso, segundo ele, olhar adiante, como fez, literalmente, Galileu Galilei.

Na sua argumentação a favor da calculadora, Bigode cita um fragmento do livro Didática da Matemática, de um autor bastante conhecido na área, o carioca Malba Tahan: "A generalização das calculadoras tornou inteiramente obsoletas as provas das operações. Não se pode falar em prova dos noves numa época em que as máquinas é que operam. Retirado esse entulho algebrístico, poderíamos ocupar o tempo do educando fazendo-o aprender outros pontos da Matemática que são de indiscutível interesse". O livro é de 1961 e Tahan se referia a velhos instrumentos mecânicos de cálculo, movidos a manivela.

Existem ao menos três áreas da educação matemática cujos conteúdos podem ser potencializados pelo uso da calculadora.

Veja a seguir quais são elas e alguns exemplos de atividades:

1. Resolução de problemas

Com a calculadora é possível aproximar o raciocínio que se faz na resolução de problemas de situações da vida real. "A máquina permite operar os números 'malcomportados' com os quais temos contato diariamente", afirma Bigode. Um exemplo são os preços, geralmente quebrados, dos bens de consumo.

2. Cálculo mental e estimativa

Na área da estimativa e do cálculo mental, existem atividades em que o instrumento é empregado para checar rapidamente se o raciocínio está correto. "Se nessa mesma atividade o aluno tiver de parar para checar o resultado fazendo contas no papel, o exercício perde o sentido, fica moroso e ele logo se aborrece", explica Bigode.

Um exemplo de atividades de cálculo mental: suponha que a tecla 8 de sua calculadora esteja quebrada.

Qual deve ser a sequência de teclas para obter o resultado destas operações:

a) 5x8
b) 9x8
c) 12x18
d) 1888:2

Veja algumas possíveis soluções:

a) 5x4x2 ou 10-2x5
b) 9x4x2 ou 16:2x9
c) 20-2x12 ou 9+9x12
d) 1900-12:2 ou 1444+444:2

3. Intuição matemática

No campo da investigação matemática, a calculadora permite explorar temas que até há pouco tempo eram vistos apenas na teoria e resumidos a alguns exemplos. É o caso dos números primos, hoje amplamente utilizados nos sistemas de criptografia que estão por trás das senhas da informática. Números compostos por primos razoavelmente grandes podem proteger sistemas de senhas, pois a tarefa de decompô-los empregando métodos braçais e mesmo computacionais é quase impossível.

É de longa data o fascínio pelos números primos. O tema sempre instigou os matemáticos. Proposições célebres, como a Conjecutra de Goldbach (todo número par maior que 4 é a soma de dois números primos), de 1742, podem ser lançadas como desafios na 5ª série com ajuda da calculadora. Eles provavelmente (quem sabe?) não vão solucioná-las, mas, ao "brincar" com os números, vão apurar cada vez mais a competência de cálculo.

"O problema cai como uma provocação", diz Bigode. Os alunos tentam encontrar contra-exemplos para números pequenos (20 = 13 + 7), médios (100 = 53 + 47) e, depois de tentar até o 200, sem sucesso, acabam memorizando uma tabuada de números primos. Porém, há sempre um mais atirado que dispara "e o 2000?"

Para instigá-los ainda mais, basta responder 1997 + 3. O problema, a partir daí, é decidir se 1997 é ou não primo. No cálculo escrito, a tarefa demoraria de 20 a 30 minutos. Com a calculadora e o conhecimento do Crivo de Eratóstenes (um método para encontrar números primos), resolve-se em um minuto. "A máquina permite aventuras por túneis antes escuros. Possibilita criar e checar hipóteses, percebendo regularidades que poderão vir a ser generalizadas", conclui Bigode.

Um pouco de história

A origem da calculadora se confunde com a do computador. O que hoje se faz com uma maquininha de 5 reais era tarefa, na década de 1940, de amontoados de válvulas que, apesar de ocupar salas imensas, não faziam nada além do que somar, subtrair, multiplicar e dividir. A eletrônica trouxe agilidade e miniaturizou os equipamentos. Conhecer a história da computação é uma forma de se familiarizar com a informática de hoje.

O USO DA CALCULADORA

Objetivos:

Familiarizar-se com o uso da calculadora
Desenvolver habilidades de raciocínio.
Promover o trabalho em equipe.
Permitir a compreensão e a verificação de propriedades das operações.
Descobrir regularidades.
Verificar a hierarquia das operações.
Verificar resultados, estimativas e fazer auto avaliação.

Descrição dos procedimentos:

Explorar as calculadoras com os alunos: suas teclas e para que servem, visor, operações que realizam, funções básicas, etc.

Discutir as soluções apresentadas pelos alunos (ou grupos) e fazer os comentários pertinentes tais como: a hierarquia das operações em uma expressão aritmética, a questão das aproximações, as propriedades operatórias exploradas nos exercícios.

Sugestões de atividades e Jogos

1) Coloque a calculadora em cima de sua mesa.

a) Quantas teclas existem ?
b) Localize nas teclas:

Os algarismos de 0 a 9
Os sinais das operações: +, -, x, :
Qual a tecla que liga a máquina?
Qual a tecla que apaga o que está no visor?
Qual a tecla que desliga a máquina?
Quais são as operações que sua calculadora faz?

2) Observe o painel de sua calculadora. A primeira linha de teclas numéricas forma o número 789. Qual é número formado na segunda linha? E na terceira?

3) Digite o número 123 456 789.

a) O que você observou no visor?
b) Sua calculadora aceita números de até quantos dígitos?
c) Qual é o maior número que você pode escrever em sua calculadora?
d) Qual é o maior número de algarismos ou dígitos distintos que você pode escrever em sua calculadora?

4) Calcule 26 + 26 + 26 + 26 + 26

a) Como você poderia facilitar esse cálculo?
b) Procurando apertar o menor número possível de teclas, qual delas você digitaria?

5) Acione a sequência de teclas indicadas e observe o que ocorre:

a) 2 x 3 = = = =
b) 3 x 2 = = = =
c)1: 10 = = = =

6) Procure encontrar a sequência que aciona o menor número de teclas para aparecer no visor da calculadora as seguintes sequências:

a) (2; 1,8; 1,6; 1,4; ...........)
b) (1,25; 1,48; 1,71; ...........)
c) (2; 0,2; 0,002; 0,0002; ........)

7) Em uma calculadora, registrou-se o número 2458.

O que devemos fazer para encontrar nessa calculadora o número 2738, sem apagar o número 2458?

Realize o menor número de manipulações possível.

Escreva todos os passos seguidos.

8) Encontre uma maneira de registrar o número 54 no visor da calculadora sem apertar as teclas 5 e 4.

a) Escreva os passos que você utilizou para resolver a questão.
b) Agora encontre uma maneira de registrar o número 167 sem apertar as teclas 1, 6 e 7.

Escreva os passos que você utilizou para resolver o problema.

9) Eduardo gostaria de resolver a seguinte multiplicação: 25 x 59, porém, quando pegou a calculadora viu que a tecla do número 5 estava quebrada.

Como Eduardo pode utilizar a calculadora para realizar esse cálculo?

10) Quero multiplicar 543 por 28, no entanto, a tecla de multiplicação está quebrada. Como posso proceder?

11) Brincando com o teclado

987 - 789 = 654 - 456 = 321 - 123 =
741 - 147 = 852 - 258 = 963 - 369 =

O que você observou nos resultados?

12) Encontre o 20 como resultado de uma seqüência de operações e números utilizando apenas 5 teclas.

Como por exemplo: 12 + 8 =

13) Utilizando as teclas + e - faça alguns cálculos, obtendo como resultado o número 40.

Depois, utilizando as teclas +, -, x, :, também apresente alguns cálculos cujo resultado seja 40.

14) Quanto devo pagar por um produto de R$ 40,00 que está em oferta com 25% de desconto?

Faça esse cálculo sem utilizar a tecla %.

15) Efetue e observe as seguintes multiplicações (use a calculadora quando considerar necessário):

6 x 2 =
66 x 2 =
666 x 2 =
6 666 x 2 =
66 666 x 2 =

a) Agora, sem usar a calculadora, escreva o resultado de 66 666 666 x 2 =
b) Qual é a regra dessas multiplicações?
c) Crie um problema semelhante a este multiplicando por 3.

16) Agora, calcule os resultados das seguintes expressões e confira-os na calculadora:

8 x 8 + 13 =
88 x 8 +13 =
888 x 8 +13 =
8 888 x 8 + 13 =

17) Um estudante, ao efetuar a operação 10 x 4 – 20 : 5 + 30 x 2 =, encontrou como resultado 68.

Explique qual o caminho seguido e procure justificar esse procedimento.

O resultado encontrado está correto?

Fonte: cenfopgestaripatinga.files.wordpress.com

Uso da Calculadora

Uma reflexão sobre o uso da calculadora em sala de aula

CRENÇA EM ALGUNS MITOS

Os alunos:

Vão deixar de raciocinar

Vão ficar preguiçosos

Desaprendem a fazer cálculos

Tornam-se dependentes da máquina

Calculam mecanicamente

Não podem usá-la no vestibular.

VAMOS REFLETIR SOBRE TAIS JUSTIFICATIVAS

Antes de qualquer coisa é importante salientar que calculadora não é moda, faz parte da realidade de quase todas as atividades profissionais.

Tal como o computador, a calculadora é muito útil para fazermos cálculos precisos com rapidez. Ela é utilizada no mundo todo, em praticamente todas as atividades profissionais, para evitar as tarefas demoradas, enfadonhas e repetitivas de certos cálculos.

As primeiras máquinas mecânicas de calcular foram inventadas há cerca de trezentos e cinqüenta anos. Mas as pequenas calculadoras eletrônicas de bolso surgiram há cerca de trinta anos. Foram sendo aperfeiçoadas, diminuindo de tamanho e de preço. Tal como a régua e o compasso, a calculadora é mais um instrumento para promover a aprendizagem. Entretanto, ela possui um potencial bem mais amplo de aplicações em situações extra-escolares. E isso a coloca numa situação privilegiada, como poderoso auxiliar da aprendizagem.

A proposta do nosso material didático sugere o uso da calculadora como auxiliar da aprendizagem. A indicação do uso desta tecnologia em sala de aula, acontece de forma intencionalmente planejada, em alguns momentos, através de atividades. Estas foram adequadamente selecionadas de modo que sejam motivadoras e despertem a curiosidade, ajudando a raciocinar.

Além disso, o material propicia situações que levam os alunos a usar equilibradamente as várias formas de cálculo: o cálculo escrito; a estimativa; o cálculo mental e o uso de instrumentos como a calculadora.

Se o objetivo principal do ensino da Matemática é levar os alunos a desenvolver a compreensão conceitual das idéias matemáticas, para ativar o raciocínio e resolver problemas, então não cabem dúvidas acerca do uso da calculadora em aula. Nossa tarefa consiste em saber utilizá-la com inteligência. Querer que uma criança faça cinqüenta operações com lápis e papel, não garante que ela vá raciocinar.

Para refletirmos um pouco mais sobre estas idéias vamos observar a contribuição de SMOLE (1999, pág.9 – Manual do Professor ):

Não é verdade que alunos que não utilizam máquinas sabem fazer contas melhor e com mais consciência do que aqueles que as utilizam. A falta de habilidade com números é conseqüência da maneira mecânica e sem significado que eles são ensinados e da ausência de um trabalho efetivo com cálculo mental e estimativa em todos os níveis escolares.

Quanto ao vestibular, praticamente, não encontramos uma situação em que os números envolvidos nas questões exigissem realmente o uso da máquina. Geralmente, as questões de vestibulares não são feitas para que os alunos mostrem destreza de cálculo, mas para que utilizem conhecimentos mais amplos e habilidades de pensamento matemático que deveriam ter sido desenvolvidos durante o aprendizado.

Além do mais, há universidades em diversas regiões do país em que o uso da calculadora é exigido desde os primeiros dias de aula, e o que se vê são alunos que não fazem a menor idéia de como calcular nem mesmo uma simples porcentagem em sua máquinas. Isso mostra que um dos papéis da escola, que é o de levar o aluno a dominar, minimamente, as tecnologias presentes em sua realidade, não está sendo atingido.

A calculadora, quando usada de modo planejado, não inibe o pensar matemático; pelo contrário, tem efeito motivador na resolução de problemas, estimula processos de estimativa e cálculo mental, dá chance aos professores de proporem problemas com dados mais reais e auxilia na elaboração de conceitos e na percepção de regularidades . A utilização da calculadora humaniza e atualiza nossas aulas e permite aos alunos ganharem mais confiança para trabalhar com problemas e buscar novas experiências de aprendizagem.

Além disso, podemos dizer que há uma grande economia de tempo com o uso da calculadora quando o objetivo não é a técnica operatória, e sim a estratégia percorrida para a resolução de um problema. Pode-se por exemplo, descrever por escrito a estratégia a ser utilizada e, depois, concretizar tal estratégia utilizando-se a calculadora.

Portanto, o principal debate sobre as calculadoras no ensino não é mais se elas devem ou não ser introduzidas na escola, e sim como usá-las de forma significativa, explorando as habilidades intelectuais dos alunos, sem procedimentos mecânicos.

Vejamos a seguir outros motivos a serem considerados como possibilidades para o trabalho com a calculadora em sala de aula:

1) O uso da calculadora permite que os alunos enfrentem problemas reais, com seus dados reais, podendo chegar rapidamente ao resultado, e que possam também levantar hipóteses factíveis.

Projetos que têm como foco situações interdisciplinares ou problemas do cotidiano que envolvem números “complexos” ( e não os números bem-comportados dos livros), quando explorados com calculadoras, permitem que os alunos façam com facilidade cálculos enfadonhos e gigantescos que, se realizados à mão, poderiam desviar a atenção dos alunos sobre o que é essencial nas relações entre dados, condições e resultados da situação-problema.

Numa cultura inflacionaria, além de ser necessário trabalhar com índices de duas, três ou mais casas decimais, é preciso ter conhecimentos sobre porcentagem e fazer um acompanhamento crítico da realidade econômica do país.

2) O uso adequado da calculadora permite enriquecer a construção de conceitos.

Você já tentou obter o resto da divisão de 1997 por 23 usando uma calculadora simples? Experimente !

Este problema de formulação simples (mas que exige raciocínio), é um exemplo de que não bastam as teclas e o visor da calculadora. Se os alunos desconhecem as relações envolvidas no algoritmo da divisão, tal atividade não será resolvida facilmente. Esse exemplo serve para derrubar o mito de que as crianças ficam preguiçosas por usar a calculadora.

3) A calculadora permite estimular a atividade matemática: fazer hipóteses, observar regularidades do sistema de numeração e das operações, verificar, investigar ...

O que acontece se eu teclar 2 + 3 = = = = = ?

E 3 + 2 = = = = = ?

Explore 200 - 2 = = = = = =

Valerá para multiplicações ?

4) O uso da calculadora é mediado pelo professor; o professor faz propostas de utilização da calculadora com objetivos bem definidos e momentos demarcados.

5) A calculadora será usada em sala de aula sempre que o cálculo for um passo do trabalho, e não a atividade principal.

A preocupação de que a Escola deva propiciar aos alunos situações de convívio também com esta tecnologia, é manifestada pelo MEC. Leia a seguir um texto extraído dos Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática, v. 3, págs. 46 e 47.

O RECURSO ÀS TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO

As técnicas, em suas diferentes formas e usos, constituem um dos principais agentes de transformação da sociedade, pelas implicações que exercem no cotidiano das pessoas.

Estudiosos do tema mostram que escrita, leitura, visão, audição, criação e aprendizagem são capturados por uma informática cada vez mais avançada. Nesse cenário, insere-se mais um desafio para a escola, ou seja, o de como incorporar ao seu trabalho, apoiado na oralidade e na escrita, novas formas de comunicar e conhecer.

Por outro lado, também é fato que o acesso a calculadoras, computadores e outros elementos tecnológicos já é uma realidade para parte significativa da população.

Estudos e experiências evidenciam que a calculadora é um instrumento que pode contribuir para a melhoria do ensino da Matemática. A justificativa para essa visão é o fato de que ela pode ser usada como um instrumento motivador na realização de tarefas exploratórias e de investigação.

Além disso, ela abre novas possibilidades educativas, como a de levar o aluno a perceber a importância do uso dos meios tecnológicos disponíveis na sociedade contemporânea. A calculadora é também um recurso para verificação de resultados, correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de auto-avaliação.

Como exemplo de uma situação exploratória e de investigação que se tornaria imprópria sem o uso de calculadora, poder-se-ia imaginar um aluno sendo desafiado a descobrir e a interpretar os resultados que obtém quando divide um número sucessivamente por dois (se começar pelo 1, obterá 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125; 0,015625). Usando a calculadora, terá muito mais condições de prestar atenção no que está acontecendo com os resultados e de construir o significado desses números.

Finalmente, podemos dizer que deixar de preparar os alunos para tal realidade equivale a privá-los de ter acesso a um conhecimento tão básico.

Como nos diz Paulo Freire: “Ensinar exige Bom Senso”; portanto tenhamos bom senso! A qualidade do ensino não depende dos recursos eletrônicos disponíveis e sim do uso que se faz deles.

Fonte: pessoal.educacional.com.br

Uso da Calculadora

A RELAÇÃO ENTRE OS PROFESSORES DOS PRIMEIROS ANOS DO ENSINO FUNDAMENTAL E A CALCULADORA

As Tecnologias e a Escola

Nos últimos anos temos percebido a grande influência da área das tecnologias da comunicação e da informação em âmbito educacional, os avanços ocorrem com tanta rapidez que se não buscarmos uma atualização rapidamente ficamos completamente desatualizados. A vida das pessoas e da sociedade vem se transformando com a descoberta de tantas tecnologias, na escola a coisa não acontece muito diferente, se alguns anos atrás nossos alunos tinham acesso apenas a livros didáticos e a bibliotecas, hoje, percebemos que muitos deles, independente de suas idades, vivem conectados em busca de diferentes informações, o avanço tecnológico exige uma mudança de postura e concepção dos professores que precisam adaptar suas metodologias em busca de atrair os alunos e transformar tanta informação em conhecimento.

A tecnologia é um processo contínuo através do qual a humanidade molda, modifica e gere a sua qualidade de vida. Há uma constante necessidade do ser humano de criar, a sua capacidade de interagir com a natureza, produzindo instrumentos desde os mais primitivos até os mais modernos, utilizando-se de um conhecimento científico para aplicar a técnica e modificar, melhorar, aprimorar os produtos oriundos do processo de interação deste com a natureza e com os demais seres humanos. A tecnologia pressupõe em primeiro lugar um agente para que esta aconteça, assim, como a máquina não possui vida própria, necessitando sempre do ser humano para gerenciá-la, se a entendemos como uma ciência pressupomos que exige produção científica, esta produção só pode acontecer num ambiente produtivo; num ambiente de trabalho que, por sua vez, só pode ter vida com a presença do ser humano; é ele quem cria as teorias que resultam em ciência, dentro de um ambiente de produção, é o principal ator da tecnologia (BUENO 1999, p. 87).

De acordo com o autor a tecnologia não deve ser separada do ser humano e das questões sociais, da problematização de como o homem pode aplicar seus conhecimentos, produzindo novas tecnologias, para gerar mais conforto para todos e bem estar social.

Também, Sandholtz, Ringstaff, Dwier (1997), reforçam a idéia de que a tecnologia não é uma panacéia para a reforma do ensino, mas ela pode ser um catalisador significativo para a mudança. Para aqueles que procuram uma solução simples e inovadora, a tecnologia não é a resposta. Para aqueles que procuram uma ferramenta poderosa para apoiar ambientes de aprendizagem colaborativos, a tecnologia tem um enorme potencial.

Dentro dessa realidade é necessário que encaremos o uso das tecnologias dentro da escola, pois fora da escola ela faz parte do dia-a-dia de muitos de nossos alunos. De acordo com Litwin (1997), o desenvolvimento atual da tecnologia redefiniu as tarefas intelectuais em todos os níveis do sistema educacional. Fora da escola, atingiu os espaços de brinquedo das crianças e adolescentes e criou um novo estilo de pensamento. É preciso analisar o impacto que as tecnologias têm trazido na forma de pensar dos nossos alunos e não fazer da escola algo isolado da realidade.

Na sociedade contemporânea, as tecnologias da informação e da comunicação trazem novas maneiras de viver e se organizar, acarretando mudanças bem significativas na vida em sociedade (acesso a informação, comunicação, pesquisas, organização das pessoas). Um exemplo disso é a maneira comum como que os jovens utilizam celulares ou a internet como meio de comunicação, da mesma forma que conversam com amigos, acessam sítios, buscam informações e interagem com naturalidade.

Para Kenski (2003), é preciso que a prática docente também se oriente nesse sentido. A apreensão do conhecimento na perspectiva das tecnologias digitais precisa ser assumida como possibilidades didáticas.

A Calculadora na Escola

Conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais (2000), a calculadora é um recurso para verificação de resultados, correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de auto-avaliação.

Várias pesquisas comprovam que a utilização da calculadora favorece o processo de construção de conceitos e conhecimentos, uma vez que dada uma situação problema o aluno se preocuparia mais em buscar a solução (aplicar o conceito ensinado) do que fazer cálculos repetitivos. O professor nessa situação tem a possibilidade de fazer uma abordagem ampla em torno do significado e a análise de diversas situações em que se pode utilizar o conceito.

Segundo O’Brien (2000), quando as crianças são proibidas de usar a calculadora não têm espaço para desenvolver o raciocínio ou inventar estratégias de resolução de problemas originais. Em relação a alguns educadores que dizem que o uso da calculadora deixaria a mente preguiçosa, o autor argumenta dizendo que se calcular trouxesse inteligência, os computadores seriam grandes gênios.

O ábaco como calculadora

O ábaco, criado pelos chineses, é considerado a primeira calculadora da história, com ele podemos utilizar operações de adição e subtração, apesar de suas limitações acabou sendo o principal mecanismo de cálculo durante muitos séculos.

Em 1642, a calculadora, ou melhor, o ábaco, sofreu uma grande evolução, por meio do francês Blaise Pascal. Filho de um cobrador de impostos, Pascal idealizou uma máquina automática de cálculos para ajudar seu pai em sua profissão. A invenção de Pascal foi importante pelo fato de a mesma realizar os cálculos de forma rápida, algo bem diferente do que se via na utilização do ábaco.

Mesmo assim, a máquina de Pascal também realizava apenas operações de adição e subtração.

Foi só em 1671 que o filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm Von Leibniz desenvolveu um mecanismo capaz de realizar as outras operações: a “roda graduada”.

No fim do século XIX e início do século XX, as calculadoras eram objetos de uso bastante restrito. Foi nos anos seguintes, com a criação de máquinas cada vez menores e mais baratas, que a calculadora se transformou no popular instrumento que conhecemos atualmente.

A Calculadora e os Professores

A discussão sobre o uso da calculadora nas escolas de Educação Básica não é recente e tem se expandido em artigos publicados e trabalhos apresentados em Congressos da área da Educação Matemática. Particularmente, essa discussão encontra maior eco quando se discute a incorporação deste artefato às atividades pedagógicas junto aos alunos do Ensino Fundamental. De fato, enquanto para alguns seu uso nas escolas poderia tornar-se uma ferramenta importante no processo pedagógico, para outros seu uso comprometeria a aprendizagem das crianças.

Apesar deste artefato estar presente na vida da maioria de nossos alunos e nossas alunas, muitas vezes ignoramos esse fato e inventamos uma nova realidade, da qual a calculadora não faz parte, o que nos parece muito cômodo, mas, na verdade, causa uma inconformidade na nossa vida escolar (PINHEIRO E CAMPIOL, 2005, p.132).

Nesse sentido, parece que se, por um lado, a escola usualmente “faz de conta” que esse artefato não existe, por outro, quando admite sua existência, impede que ele faça parte do contexto escolar.

A calculadora deve ser usada nas aulas de matemática para dar maior destaque à potencialidade dos alunos, à criatividade e ao raciocínio. Para Borba (1995), sua utilização proporciona uma maior discussão em sala de aula, guiando o tema trabalhado a diversas direções de investigação desenvolvidas pelos educandos.

Isso não significa que a passividade dos alunos seja superada, porém aumentam as possibilidades de haver um debate matemático em sala de aula.

De acordo com Pucci (2003), o problema mais sério da relação entre professores e as calculadoras é que muitos docentes fingem que a calculadora ainda não foi inventada. Segundo tal autor, há professores que enxergam a calculadora como um objeto ineficaz no processo de ensino aprendizagem e esquecem na vida em sociedade utilizamos calculadores de acordo com nossas necessidades.

D’Ambrósio (1993) afirma que ignorar a presença de computadores e calculadoras na educação matemática é condenar os estudantes a uma subordinação total a subempregos.

Relação entre professores e a calculadora

Conforme dados do departamento Municipal e cultura, a pequena cidade de Porto Amazonas está situada a de 80 km da capital paranaense e possui cerca de 4200 habitantes, nela funcionam quatro escolas municipais que trabalham com as primeiras séries do Ensino Fundamental, atingindo cerca de quinhentos alunos.

Para conhecermos mais sobre os professores daquele municipio e descobrirmos sobre suas concepções a respeito da utilização da calculadora em sala de aula, organizamos um questionário e aplicamos aos professores que atuam nos primeiros anos do Ensino Fundamental, seguem os dados por nós encontrados.

1 - Qual a sua formação acadêmica?

Com relação a formação acadêmica dos entrevistados, 16% possuem o ensino médio, 40% Superior incompleto e 44% possui Ensino Superior. Sendo assim, 84% dos professores tiveram ou têm acesso ao ensino superior. O que nos faz concluir que tal percentual durante seu processo de formação acadêmica refletiram sobre as orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática e a inserção da calculadora na sala de aula.

2 - Quanto tempo atua como docente?

Com relação ao tempo de atuação como docente 8% atuam a até 5 anos, 11% de 6 à 10 anos, 62% de 11 à 20 anos e 19% de 21 anos em diante. Percebemos que 81% dos professores possuem acima de 11 anos de atuação docente, que entende-se ser uma equipe experiente, que já participou e várias capacitações e reflexões a cerca da inclusão das tecnologias na escola.

3 - Você já teve acesso a algum material que sugerisse a utilização da calculadora?

Quando questionados se já tiveram acesso a algum material que sugerisse a utilização da calculadora, 80% afirmam que sim e 20% não tiveram contato com nenhum material desse tipo. O que confirma que a maioria dos docentes pesquisados receberam orientações sobre os benefícios da utilização da calculadora em sala de aula.

4 - Você permite que os alunos utilizem a calculadora durante as aulas?

Os professores ao serem interrogados se eles permitem que os alunos utilizem a calculadora durante as aulas, 42% deles afirmam utilizar as vezes e 58% dizem nunca utilizar esse aparato tecnológico com seus alunos.

Fazendo uma análise mais precisa percebemos uma parcela significativa dos professores que não permitem que seus alunos utilizem a calculadora em suas aulas, o que se contrapõem com as sugestões dos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (2000) que destacam, que tal instrumento tecnológico favorece o aprendizado do aluno. Tais professores mesmo sabendo da importância da utilização da calculadora em sala de aula, são resistentes a tal prática pedagógica. O que confirma a pesquisa de Kenski (2003) que retrata que é preciso que a utilização das tecnologias digitais precisam ser assumidas como possibilidades didáticas pelos professores.

5 - Qual a sua opinião a respeito da utilização da calculadora nas aulas de matemática?

Dos docentes entrevistados, 42% acreditam que a utilização da calculadora favorece o aluno no processo de ensino aprendizagem e 58% afirmam que atrapalha no desenvolvimento do aluno, pois substitui o raciocínio.

Percebe-se pela análise do gráfico um argumento muito forte utilizado pelos professores é que a calculadora pode interferir no raciocínio dos alunos, embora não existam pesquisas que afirmem essa idéia.

Conclusão

Com a pesquisa bibliográfica tivemos a oportunidade de nos aprofundarmos com relação a necessidade da inserção das tecnologias em âmbito educacional, conhecermos trabalhos e projetos desenvolvidos sobre a temática, refletirmos melhor quais são as sugestões propostas pelos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática para o Ensino Fundamental. O contato com os professores, durante a pesquisa de campo, revelou fatos reais que acontecem dentro da sala de aula, dentre esses a resistência de muitos docentes em relação a utilização da calculadora. Apesar da maioria dos professores receberem orientações sobre a utilização da calculadora e acreditarem no potencial deste artefato tecnológico, poucos inserem tal instrumento em suas práticas pedagógicas com os alunos, persistindo numa idéia equivocada que a calculadora vai atrapalhar o desenvolvimento do raciocínio dos alunos. Concluímos que mesmo a calculadora se destacando por ser um instrumento tecnológico simples e barato, a sua utilização nos anos iniciais do Ensino Fundamental na cidade de Porto Amazonas é restrita, pois uma quantidade expressiva de professores afirmam não permitir que alunos utilizem de tal instrumento tecnológico na escola. Acreditamos na necessidade do professor encontrar um ponto de equilíbrio relacionada a utilização deste artefato em sala de aula, para assim conseguir aprimorar sua metodologia de ensino e também incluir seu aluno na sociedade.

Lauro Igor Metz

Darbi Jean A. da S. Marcondes

Referências

BORBA, M. C. O uso de calculadoras gráficas no ensino de funções na sala de aula. Semana de Estudos em Psicologia da Educação Matemática. Recife: livro de resumos, mar.1995, p. 67 – 72.
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BUENO, N. L. O desafio da formação do educador para o ensino fundamental no contexto da educação tecnológica. Dissertação de mestrado. CEFET – PR. Curitiba. 1999
D’AMBROSIO, U. Etnomatemática: arte ou técnica de explicar e conhecer. 2.ed.São Paulo: Editora Ática, 1993.
D´AMBROSIO, Ubiratan. O uso da calculadora. Disponível em: <www.ima.mat.br/ubi/pdf/uda_006.pdf>. Acesso em: 05 mar. 2009.
LITWIN, E. Tecnologia Educacional, política, história e propostas. Artes Médicas. Porto Alegre, 1997.
KENSKI, V. M. Novas Tecnologias na Educação Presencial e a Distância. In: BARBOSA, R. L.L. Formação de Educadores: desafios e perspectivas. São Paulo: Unesp, 2003. Cap. 5, p. 91-107.
KENSKI, V.M. Tecnologias e Ensino Presencial e a Distância. Campinas: Papirus, 2003.
O’ BRIEN, T.. Abaixo a matemática do papagaio. Revista Nova Escola, São Paulo, n.134, p. 12-14, ago. 2000.
PINHEIRO, J. M. e CAMPIOL, G. A utilização da calculadora nas séries iniciais. In: Práticas Pedagógicas em Matemática e Ciências nos Anos Iniciais. Ministério da Educação; Universidade do Vale do Rio dos Sinos – São Leopoldo: Unisinos; Brasília: MEC, 2005.
PUCCI, L.F.S. Educação Politicamente Incorreta. Instituto Galileu Galilei para a Educação. 2003. Disponível em <www.geocities.com>. Acessado em 21 de set. 2010.
SANDHOLTZ, J. H.; RINGSTAFF, C.; DWIER, C.D. Ensinando com tecnologia: criando salas de aula centradas nos alunos. Artes Médicas. Porto Alegre, 1997.

Fonte: www.projetos.unijui.edu.br

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