Lei de Fourier

A lei de Fourier, como o próprio nome indica, foi estabelecida em 1811 pelo matemático e físico francês Jean Baptiste Joseph, mais conhecido por barão de Fourier. Este publicou uma teoria de propagação do calor, onde introduziu as séries trigonométricas (séries de Fourier).

A lei de Fourier constitui uma lei empírica, isto é, estabelecida a partir da experiência e descreve a teoria da condutibilidade calorífica em regimes de temperaturas estacionárias e variáveis e resolve diversos problemas: parede, barra, esfera, entre outros.

Considera-se uma barra maciça de um dado material, com secção reta constante de área A e comprimento l. Imagina-se ainda que a superfície lateral da barra está termicamente isolada, não havendo portanto trocas de calor com o exterior através dela.

A lei de Fourier permite quantificar a transmissão de calor entre os extremos da barra em regime permanente (estacionário), em função das dimensões da barra, das características do material de que ela é feita e ainda das temperaturas nos seus extremos.

A equação que traduz a lei de Fourier é: Q = k x A x (TD-TE)/l, em que Q é o débito de calor de D para E, A é a área da secção reta, l o comprimento da barra, TD e TE as temperaturas nos extremos da barra e k é a condutibilidade térmica do material de que é feita a barra.

A condutibilidade térmica de um material é uma propriedade física desse material e existem tabelas que indicam os valores de k para os diferentes materiais.

Fonte: www.infopedia.pt

Lei de Fourier

Seja J a densidade de corrente de energia (energia por unidade de área e por unidade de tempo), que é estabelecida na barra devido a diferença de temperaturas entre dois pontos da mesma. A lei de Fourier afirma que há uma proporcionalidade entre o fluxo de energia J e o gradiente de temperatura.

Sendo K uma constante característica do material denominada condutividade térmica.

Consideremos um elemento da barra de comprimento dx e secção S. A energia que entra no elemento de volume na unidade de tempo é JS, e a que sai é J’S. A energia do elemento varia, na unidade de tempo, de uma quantidade igual a diferença entre o fluxo entra e o fluxo que sai.

Esta energia, é empregada para mudar a temperatura do elemento. A quantidade de energia absorvida ou cedida (na unidade de tempo) pelo elemento é igual ao produto da massa deste elemento pelo calor específico e pela variação de temperatura.

Igualando ambas as expressões, e tendo em conta a lei de Fourier, obtemos a equação diferencial que descreve a condução térmica

 

Solução analítica

Suponhamos uma barra metálica de comprimento L, conectada por seus extremos a duas fontes de calor a temperaturas Ta e Tb respectivamente. Seja T0 a temperatura inicial da barra quando conectamos as fontes aos extremos da barra.

Ao cabo de certo tempo, teoricamente infinito, que na prática depende do tipo de material que empregamos, é estabelecido o estado estacionário no qual a temperatura de cada ponto da barra não varia com o tempo. Este estado é caracterizado por um fluxo J constante de energia. A lei de Fourier estabelece que a temperatura variará linearmente com a distância x a origem da barra.

Para descrever o estado transitório buscamos uma solução da forma T(x, t)=F(x)·G(t), variáveis separadas

O sinal negativo assegura o caráter transitório.

Integramos a primeira equação diferencial

Integramos a segunda equação diferencial

É uma equação diferencial similar a de um MHS, cuja solução é a·sen(ωr+δ)

A temperatura em qualquer ponto x ao longo da barra, em um instante determinado, T(x, t) é a solução da equação diferencial, que é uma combinação de dois termos, o que corresponde ao regime permanente mais o do regime transitório.

Condições de contorno

Em x=0, T(0, t)=Ta, temperatura fixa do extremo esquerdo da barra

Em x=L, T(L, t)=Tb, temperatura fixa do extremo direito da barra

O regime variável geral de temperaturas da barra é

Distribuição inicial de temperaturas

Somente, resta por determinar os coeficientes an, identificando esta solução com a distribuição inicial de temperaturas na barra T(x, 0)=T0 no instante t=0.

Mais abaixo, são proporcionados os detalhes do cálculo dos coeficientes an do desenvolvimento em série ao leitor interessado.

A temperatura em qualquer ponto da barra x, em um instante t, é composta da soma de um termo proporcional a x, e de uma série rapidamente convergente que descreve o estado transitório.

O valor de α=K/(ρc) nos da uma medida da rapidez com a qual o sistema alcança o estado estacionário. Quanto maior seja α mais rápido é alcançado o estado estacionário

Fonte: www.fisica.ufs.br

Lei de Fourier

O fator de proporcionalidade k (condutividade térmica) que surge da equação de Fourier é uma propriedade de cada material e vem exprimir a maior ou menor facilidade que o material apresenta à condução de calor.

Os valores numéricos de k variam em extensa faixa dependendo da composição química, estado físico e temperatura dos materiais. Quando o valor de k é elevado o material é considerado condutor térmico e, caso contrário, isolante térmico. Com relação à temperatura, em alguns materiais como o alumínio e o cobre, k varia muito pouco com a temperatura, porém em outros, como alguns aços, k varia significativamente com a temperatura. Nestes casos, adota-se comumente como solução de engenharia um valor médio de k em um intervalo de temperatura. A variação da condutividade térmica com a temperatura é mostrada na figura abaixo para alguns materiais.

Fonte: www.descolando.com.br