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Divisão

 

Divisão é a operação inversa da multiplicação e está ligada à ação de repartir em partes iguais.

Para indicar a divisão usaremos o sinal: ou ÷ (dividido por)

Exemplo:

Divisão

 

Quando a divisão de um número por outro é exata, dizemos que o primeiro é múltiplo do segundo ou que o primeiro é divisível pelo segundo.

            Exemplo: 12 ÷ 2 = 6 (Então 12 é múltiplo de 6 ou 12 é divisível por 6)

A divisão de números naturais também é indicada com um traço horizontal.

            Exemplo:     Divisão 

O quociente de números naturais nem sempre é um número natural.

            (6 ÷ 5) não é um número natural

A divisão de números naturais não é comutativa.

6 : 3  é diferente de 3 : 6

A divisão de números naturais não é associativa.

(8 : 4) : 2  é diferente de 8 : (4 : 2)

O número 1 não é elemento neutro da divisão de números naturais.

2 ÷ 1 é diferente de  1 ÷ 2

Em uma divisão o divisor não pode ser zero.

Na divisão de zero por um número natural não-nulo, o resultado é sempre zero.

Divisão é a operação que permite separar um número em várias partes. Ela é indicada pelos sinais / ou : (dois pontos).

Veja este exemplo:

Paulo tem oito biscoitos e quer dividi-los entre os dois filhos: 

Podemos representar isso assim:

Propriedade Fundamental da Divisão

Exata - o quociente é o número que, multiplicado pelo divisor, é igual ao dividendo:

8 : 2 = 4 ou 4 x 2 = 8

A divisão pode ser: exata (como no caso acima) ou com resto.

Divisão com Resto

Nem sempre a divisão é exata.

Vamos ver um exemplo:

Observações:

a) para que a divisão seja realizada, é preciso que o dividendo seja maior que o divisor ou igual a ele:

6 : 3 = 2

6 : 6 = 1

8 : 9 ---- não é possível realizar a divisão

b) não existe divisão por zero.

Divisibilidade

Observe estas divisões de números naturais:

Como você vê, em algumas o resto é igual a zero, isto é, a divisão é exata.

Quando isso acontece dizemos que o dividendo é divisível pelo divisor:

48 é divisível por 4 e 63 é divisível por 3.

Divisibilidade de alguns números - você pode saber se um número é divisível por 2, por 3, por 4, por 5, por 6 ou por 9 sem efetuar a divisão.

Basta saber que:

um número é divisível por 2 quando é par, como 246

um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3, como 162

um número acima de 99 é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4, como 228

um número é divisível por 5 quando seu numeral apresenta, na ordem das unidades, o algarismo 0 ou o 5, ou seja, - quando termina em 0 ou 5, como 300 e 85

um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3

um número é divisível por 9.

Números Primos

Todo número natural é divisível por 1 e por ele mesmo, porém alguns números, como já vimos, são divisíveis por outros números, alem desses dois:

1 é divisível por 1

2 é divisível por 1 e por 2

3 é divisível por 1 e por 3

4 é divisível por 1, por 2 e por 4

5 é divisível por 1 e por 5

6 é divisível por 1, por 2, por 3 e por 6

7 é divisível por 1 e por 7

8 é divisível por 1, por 2, por 4 e por 8

9 é divisível por 1, por 3 e por 9

Números primos são aqueles que só são divisíveis por dois números: por 1 e por ele mesmo.

Os números que são divisíveis por mais de dois números distintos, chamam-se números compostos.

Observação: o número 1 não é primo nem composto, é o único número divisível apenas por um número, ele mesmo.

Para saber se um número é primo, é preciso descobrir se ele é divisível por um dos números primos.

Ao efetuar a divisão o quociente deve ser menor ou igual ao divisor:

Tabela dos Números Primos de 1 a 50

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Múltiplos

Múltiplo de a é todo resultado da multiplicação de um número natural por a.

Veja um exemplo:

4 . 6 = 24, portanto 24 é um múltiplo de 6 ou 4 .

a = 24, portanto 24 é um múltiplo de a.

Para obter todos os múltiplos de 6, você deve multiplicar 6 pelos números naturais:

6 . 0 = 0               6 . 1 = 6               6 . 2 = 12               6 . 3 = 18

6 . 4 = 24               6 . 5 = 30               6 . 6 = 36               6 . 7 = 42

6 . 8 = 48               6 . 9 = 54

OU: 6+6=12+6=18+6=24+6=30+6=36+6=42+6=48+6=54

Decomposição em Fatores Primos

Decompor um número natural em fatores primos é escrever esse número na forma de uma multiplicação em que todos os fatores são números primos.

Observe as várias maneiras de se decompor um número em produto:

20 = 1.2    20 = 2 .10     20 = 4 . 5      20 = 1 . 1 . 20       20 = 1 . 2 . 10

20 = 1 . 4 . 5    20 = 2 . 2 . 5    20 = 1 . 1 . 2 . 10    20 = 1 . 1 . 2 . 2 . 5

Você pode notar que em um dos casos todos os fatores são números primos:

20 = 2 . 2 . 5

O número 20 pode ser decomposto em um produto de números primos. A mesma coisa ocorre com todos os números compostos não nulos.

Lembre-se: todo número natural maior do que 1 ou é primo ou pode ser decomposto em um produto de fatores primos.

Divisores de um Número

Um número natural não nulo b é divisor do número natural a quando a é divisível por b (sendo o resto 0):

4 é divisor de 12 porque 12 é divisível por 4

8 é divisor de 32 porque 32 é divisível por 8

Observação: 1 é divisor de qualquer número natural.

É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na matemática em que se procura achar quantas vezes um número contém em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um todo que se dividiu.

À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de Quociente.

1) A divisão exata

Veja: 8 : 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 é o divisor, 0 é o resto

A prova do resultado é: 2 x 4 + 0 = 8

Propriedades da divisão exata

  • Na divisão em N não vale o fechamento, pois 5 : 3 não pertence a N
  • O conjunto N não têm elemento neutro em relação a divisão, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 não pertence a N. Logo 3:1 é diferente de 1:3
  • A divisão em N não tem a propriedade comutativa, pois 15 : 5 é diferente de 5: 15
  • A divisão em N não tem a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 é diferente de 12 : (6:2) = 4

Pode-se afirmar que a divisão exata tem somente uma propriedade.

Observe este exemplo: (10 + 6) : 2 = 16 :2 = 8

(10+6):2 = 10:2 + 6 :2 = 8

O quociente não sofreu alteração alguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos então esta propriedade de distributiva da divisão exata válida somente para direita, com relação às operações de adição e subtração.

Um dos mandamentos da matemática é JAMAIS DIVIDA POR ZERO. Isto significa dizer que em uma operação o divisor tem que ser maior do que zero.

2) A divisão não-exata

Observe este exemplo: 9 : 4 é igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o quociente e 1 é o resto.

A prova do resultado é: 2 x 4 + 1 = 9

De um modo geral na divisão :

Operação divisão exata: D:d = q > d.q = D, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e o resto é subentendido “igual a zero”.

Operação divisão não-exata: D = d.q + r, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente, r é o resto.

Fonte: www.exatas.net/www.vestibular1.com.br/www.juliobattisti.com.br

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