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Polinômios

 

Um polinômio pode ter constantes, variáveis e expoentes, mas nunca divisão por uma variável.

Estes são exemplos de polinômios:

  • 3x
  • x - 2
  • -6y2 - (79)x
  • 3xyz 3xy + 2 Z - 0,1xz - + 0,5 200Y
  • 512V 5 + 99W 5
  • 5

Sim, "5" é um polinômio, um termo é permitido , e pode até mesmo ser apenas uma constante!

E estes são não polinômios

  • 3xy -2 não é, porque o expoente é "-2" (expoentes só pode ser 0,1,2, ...)
  • 2 / (x + 2) não é, por causa da divisão por um variável não é permitido
  • 1 / x não é tanto
  • √x não é, porque o expoente é "½"

Mas estes são permitidos:

  • x / 2 é permitido , porque você pode dividir por uma constante
  • também 3x / 8 pela mesma razão
  • √2 é permitido, porque isto é uma constante (= 1,4142 ... etc)

Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma Polinômios em que cada ai é um número complexo (ou real) tal que n é um número natural e an ≠ 0. Os números ai são denominados coeficientes do polinômio P(x). O termo a0 é chamado coeficiente constante ou termo independente.

Exemplos:

1) P(x) = x3 +2 x2 - 3x + 10 é um polinômio de grau 3.

Note que segundo a notação acima temos a0=10, a1 = -3, a2 = 2 e a3 = 1.

2) Q(x) = x2 + 1 é um polinômio de grau 2 tal que a0 = 1, a1 = 0 e a2 = 1.

3) R(x) = 7 é um polinômio de grau zero tal que a0=7.

Observe que P(x) = x2 + x + x ½ +2 não é um polinômio devido ao expoente ½.

Similarmente, Q(X) = x3 +2x +x-2 +3 não é polinômio devido ao expoente –2.

Definição: Dado o número complexo (ou real) a, o número P(a) é chamado valor numérico do polinômio P(x) em x = a. Além disso, se P(a) = 0 então dizemos que a é uma raiz do polinômio P(x).

Exemplos:

1) Se P(x) = x2 -3x + 2 então P(3) = 32 - 3 3 + 2 = 9 – 9 + 2 = 2 é o valor numérico de P(x) em x=3.

Além disso, x = 1 e x = 2 são raízes do polinômio P(x) já que P(1) = 12 – 3 ⋅ 1 + 2 = 1 – 3 +2 = 0

e P(2) = 22 – 3 ⋅ 2 + 2 = 4 – 6 + 2 = 0. 2)

As raízes do polinômio Q(x) = x2 +1 são os números complexos i e –i, já que Q(i) = i2 + 1 = -1 + 1 =0 e Q(-i) = (-i)2 + 1 = -1 + 1 =0.

2) As raízes do polinômio Q(x) = x2 +1 são os números complexos i e –i, já que Q(i) = i2 + 1 = -1 + 1 =0 e Q(-i) = (-i)2 + 1 = -1 + 1 =0.

Teorema: Se x = a é uma raiz do polinômio P(x) então P(x) pode ser reescrito como o produto de x - a por um certo polinômio Q(x), ou seja, se x = a é raiz de P(x) então existe um polinômio Q(x) tal que P(x) = (x − a)Q(x).

Exemplo: Já vimos que x = 1 é raiz do polinômio P(x) = x2 -3x + 2 então P(x) pode ser reescrito por P(x) = (x −1)Q(x).

No caso, o polinômio Q(x) é dado por Q(x) = x − 2, já que Polinômios

Observe que o polinômio Q(x) pode ser encontrado fazendo-se a divisão do polinômio P(x) pelo polinômio x–a, ou seja Polinômios

Observe ainda que, neste caso, o grau de Q(x) é um a menos do que o grau de P(x).

Fonte: www.mackenzie.br/www.mathsisfun.com/

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