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CONJUNTOS numéricos



Alguns conceitos primitivos

Conjunto

O conjunto de todos os brasileiros.
O conjunto de todos os números naturais.
O conjunto dos números reais tal que x2-4=0.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Elemento

José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.
1 é um elemento do conjunto dos números naturais.

-2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x2-4=0.

Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.

Pertinência

José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.

1 pertence ao conjunto dos números naturais.

-2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x2-4=0.

Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo CONJUNTOS numéricos, que se lê: "pertence".

Para afirmar que 1 é um número natural, escrevemos:

1CONJUNTOS numéricosN

Para afirmar que 0 não é um número natural, escrevemos:

0CONJUNTOS numéricosN

Um símbolo matemático para a negação é a barra /.

Algumas notações para conjuntos

Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:

Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.

A = { a, e, i, o, u }

N = { 1, 2, 3, 4, ... }

M = { João, Maria, José }

Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.

A = { x : x é uma vogal}
N = { x : x é um número natural}
M = { x : x é uma pessoa da família de Maria}

Diagrama de Venn-Euler (lê-se: "Ven-óiler"): Os conjuntos são mostrados graficamente

CONJUNTOS numéricos

Subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por ACONJUNTOS numéricosB, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.

Alguns conjuntos especiais

Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.

Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.

Reunião de conjuntos

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

ACONJUNTOS numéricosB = { x: aCONJUNTOS numéricosA ou xCONJUNTOS numéricosB }

Interseção de conjuntos

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.

ACONJUNTOS numéricosB = { x: aCONJUNTOS numéricosA e xCONJUNTOS numéricosB }

Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.

CONJUNTOS numéricos

Propriedades dos conjuntos

Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por ACONJUNTOS numéricosB e a interseção de A e B, denotada por ACONJUNTOS numéricosB, ainda são conjuntos no universo.

Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:

ACONJUNTOS numéricosA = A e ACONJUNTOS numéricos A = A

1. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

ACONJUNTOS numéricosACONJUNTOS numéricosB, BCONJUNTOS numéricosACONJUNTOS numéricosB, ACONJUNTOS numéricosBCONJUNTOS numéricosA, ACONJUNTOS numéricosBCONJUNTOS numéricosB

2. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

ACONJUNTOS numéricosB equivale a ACONJUNTOS numéricosB = B
ACONJUNTOS numéricosB equivale a ACONJUNTOS numéricosB = A

3. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

ACONJUNTOS numéricos(BCONJUNTOS numéricosC) = (ACONJUNTOS numéricosB)CONJUNTOS numéricosC
ACONJUNTOS numéricos(BCONJUNTOS numéricosC) = (ACONJUNTOS numéricosB)CONJUNTOS numéricosC

4. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

ACONJUNTOS numéricosB = BCONJUNTOS numéricosA
ACONJUNTOS numéricosB = BCONJUNTOS numéricosA

5. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A CONJUNTOS numéricosØ = A

6. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.

A CONJUNTOS numéricosØ = Ø

7. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A CONJUNTOS numéricosU = A

8. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

A CONJUNTOS numéricos( BCONJUNTOS numéricos C ) = ( A CONJUNTOS numéricosB )CONJUNTOS numéricos ( ACONJUNTOS numéricos C )
ACONJUNTOS numéricos ( B CONJUNTOS numéricosC ) = ( A CONJUNTOS numéricosB )CONJUNTOS numéricos (A CONJUNTOS numéricosC )

Os gráficos abaixo mostram a distributividade.

CONJUNTOS numéricos

Diferença de conjuntos

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

A-B = { x: aCONJUNTOS numéricos e xCONJUNTOS numéricos B

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:

CONJUNTOS numéricos

Complemento de um conjunto

O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por C BA, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

C BA = A-B = { x: xCONJUNTOS numéricos A e x CONJUNTOS numéricosB }

Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:

CONJUNTOS numéricos

Quando não existe dúvida sobre o universo U em que trabalhamos, simplesmente utilizamos a letra c posta como um expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Exemplos especiais são: Øc=U e Uc=Ø.

Leis de Augustus De Morgan

O complementar da reunião de dois conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.

(ACONJUNTOS numéricosB)c = Ac CONJUNTOS numéricosBc

O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.

(A1CONJUNTOS numéricos A2CONJUNTOS numéricos ... CONJUNTOS numéricosAn)c = A1CONJUNTOS numéricosc A2cCONJUNTOS numéricos ... CONJUNTOS numéricosAnc

O complementar da interseção de dois conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.

(ACONJUNTOS numéricosB)c = Ac CONJUNTOS numéricosBc

Diferença simétrica

A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.

ACONJUNTOS numéricosB = { x: xCONJUNTOS numéricosACONJUNTOS numéricosB e xCONJUNTOS numéricosACONJUNTOS numéricosB }

A situação gráfica para a diferença simétrica é:

CONJUNTOS numéricos

Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, mostrar que:

1. A=Ø se, e somente se, B=ACONJUNTOS numéricosB.

2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.

3. A diferença simétrica é comutativa.

4. A diferença simétrica é associativa.

5. ACONJUNTOS numéricosA=Ø (conjunto vazio).

6. A interseção entre A e BCONJUNTOS numéricosC é distributiva, isto é:

ACONJUNTOS numéricos(BCONJUNTOS numéricosC) = (ACONJUNTOS numéricosB)CONJUNTOS numéricos(ACONJUNTOS numéricosC)

7. ACONJUNTOS numéricosB está contida na reunião de ACONJUNTOS numéricosC e de BCONJUNTOS numéricosC, mas esta inclusão é própria, isto é:

ACONJUNTOS numéricosBCONJUNTOS numéricos (ACONJUNTOS numéricosC)CONJUNTOS numéricos(BCONJUNTOS numéricosC)

conjuntos numéricos

I) Números Naturais
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }

II) Números Inteiros
Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }

Fonte: pessoal.sercomtel.com.br

Conjuntos numéricos

Conjuntos Numéricos
I) Números Naturais
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }

II) Números Inteiros
Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }

Todo número natural é inteiro, isto é, N é um
subconjunto de Z

III) Números Racionais

- São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.

Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z
com b diferente de 0 }

Assim como exemplo podemos citar o -1/2 , 1 , 2,5 ,...

-Números decimais exatos são racionais

Pois 0,1 = 1/10

2,3 = 23/10 ...

- Números decimais periódicos são racionais.

0,1111... = 1/9

0,3232 ...= 32/99

2,3333 ...= 21/9

0,2111 ...= 19/90

-Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do número 1.

IV) Números Irracionais

- São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.

-São compostos por dízimas infinitas não periódicas.

Exs: CONJUNTOS numéricos

V) Números Reais

- É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.

Resumindo:

CONJUNTOS numéricos

Intervalos :

Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos de R chamados intervalos.

Intervalo fechado nos extremos a e b:

CONJUNTOS numéricos

Intervalo fechado em a e aberto em b:

CONJUNTOS numéricos

Intervalo aberto em a e fechado em b:

CONJUNTOS numéricos

Intervalo aberto em a e b:

CONJUNTOS numéricos

Temos também:

CONJUNTOS numéricos

Fonte: www.exatas.hpg.ig.com.br

Conjuntos Numéricos

1- Naturais (IN)

N = {0,1,2,3,4,5...}

Convém destacar um subconjunto: N* = N - {0} = {1,2,3,4,5...}

É importante lembrar que sempre é possível efetuar a adição e a multiplicação, isto é, a soma e o produto de dois números naturais sempre terá como resultado um número natural, já a subtração entre dois números naturais nem sempre é um número natural, como por exemplo 2 - 5, não pertence aos N, temos então o surgimento do conjunto dos números inteiros.

2- Inteiros (Z)

Z = {...-3,-2,-1,0,1,2,3...}

No conjunto dos inteiros destacamos os seguintes subconjuntos:

Z* = Z - {0} = {...-3,-2,-1,1,2,3...}

Z+ = {0,1,2,3,4...} (inteiros não negativos)

Z - = {0,-1,-2,-3,-4...} (inteiros não positivos)

Z*+ = {1,2,3,4...} (inteiros positivos)

Z*- = {-1,-2,-3,-4...} (inteiros não negativos)

Neste conjunto sempre é possível efetuar a adição, a multiplicação e a subtração entre números inteiros, isto é, sempre estas operações resultam em um número inteiro. Já a divisão nem sempre resulta em um número inteiro, como por exemplo, 7 : 2 ,não pertence aos inteiros surgindo assim o conjunto dos racionais.

3-Racionais (Q)

Q = {x tal que x = a/b (a sobre b) onde aÎ (pertence) Z a b E Z* (Z menos o zero)}.

O conjunto dos números racionais Q é a união do conjunto dos números naturais (N), inteiros (Z) e as frações positivas e negativas, como por exemplo:

Q = -5 ; - 4/3 ; - 1; 0; 0,25 ; 1/2 ; 3/4 ; 1; 6/5 ; 2

Obs: Um número racional pode aparecer em forma de dízima periódica, isto é, um numeral decimal, com a parte decimal formada por infinitos algarismos que se repetem periodicamente, como por exemplo: 4,5555 (período 5) , 10,878787 (período 87) e 9,8545454... (período 54, parte não periódica 8)

Exemplo: transformar em frações irredutíveis os números:

a) 0,1111....

x=0,111...

10x=1,111...

daí,

10x-x=1

x=1/9

portanto, 0,111...=1/9

b) 2,1343434...

x=2,1343434...

10x=21,3434...

1000x=2134,3434....

daí,

1000x-10x=2113

x=2113/990

portanto, 2,1343434...=2113/990

4-Irracionais (I) - É todo número decimal não-exato e não periódico, bem como toda raiz não-exata.

- raiz quadrada de dois = 1,414...;
- raiz quadrada de três = 1,73...;
- dízimas não periódicas;

5-Reais (IR)

CONJUNTOS numéricos

Fonte: www.ficharionline.com

Conjuntos Numéricos

CONJUNTOS numéricos

O conceito de número foi evoluindo ao longo dos tempos, tendo-se criado novos números para responder a problemas entretanto surgidos.

NATURAIS

INTEIROS

RACIONAIS

REAIS

NÚMEROS NATURAIS

Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais.

CONJUNTOS numéricosCONJUNTOS numéricosCONJUNTOS numéricosCONJUNTOS numéricos

NÚMEROS INTEIROS

A representação matemática deste conjunto é:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

NÚMEROS RACIONAIS

Entretanto...surgiu outro tipo de problema:

" Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? "

Para resolver este tipo de problemas foram criados os números fraccionários. Estes números juntamente com os números inteiros formam os racionais.

A representação matemática deste conjunto é:

Q = Z ? { números fraccionários }

NÚMEROS REAIS

Os pitagóricos ao aplicarem o Teorema de Pitágoras para determinar a medida do comprimento da diagonal de um quadrado de lado unitário, não conseguiram encontrar um número racional para essa medida.

A representação matemática deste conjunto é:

R = Q ? { números irracionais }

A apresentação realizada no âmbito da acção de formação "Utilização das TIC em Contexto Educativo"
Feijó, 20 de Junho de 2001 Hélia e Marina

Fonte: www.proformar.org

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