O conjunto de todos os brasileiros.
O conjunto de todos os números naturais.
O conjunto dos números reais tal que x2-4=0.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do
alfabeto: A, B, C, ..., Z.
José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.
1 é um elemento do conjunto dos números naturais.
-2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x2-4=0.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.
José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
1 pertence ao conjunto dos números naturais.
-2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x2-4=0.
Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo 
,
que se lê: "pertence".
1N
Para afirmar que 0 não é um número natural, escrevemos:
0N
Um símbolo matemático para a negação é a barra /.
Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:
Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.
A = { a, e, i, o, u }
N = { 1, 2, 3, 4, ... }
M = { João, Maria, José }
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
A = { x : x é uma vogal}
N = { x : x é um número natural}
M = { x : x é uma pessoa da família de Maria}
Diagrama de Venn-Euler (lê-se: "Ven-óiler"): Os conjuntos são mostrados graficamente
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado
por A
B, se todos os
elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que
um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B,
além de conter os elementos de A, contém também outros
elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto
B é o superconjunto que contém A.
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
AB = { x: aA
ou xB }
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
A
B = { x:
aA e xB
}
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A
e B, denotada por A
B
e a interseção de A e B, denotada por AB,
ainda são conjuntos no universo.
Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
AA = A e A
A = A
1. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
AAB,
BAB,
ABA,
ABB
2. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
AB equivale a AB
= B
AB equivale a AB
= A
3. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A(BC)
= (AB)C
A(BC)
= (AB)C
4. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
AB = BA
AB = BA
5. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A Ø = A
6. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.
A Ø
= Ø
7. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A U = A
8. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A ( B
C ) = ( A B
) ( A
C )
A ( B C
) = ( A B )
(A C )
Os gráficos abaixo mostram a distributividade.
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
A-B = { x: a
e x
B
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por C BA, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
C BA = A-B = { x: x
A e x B }
Quando não existe dúvida sobre o universo U em que trabalhamos, simplesmente utilizamos a letra c posta como um expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Exemplos especiais são: Øc=U e Uc=Ø.
O complementar da reunião de dois conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.
(AB)c = Ac Bc
O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.
(A1 A2
... An)c = A1c
A2c ... Anc
O complementar da interseção de dois conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.
(AB)c =
Ac Bc
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.
AB = { x: xAB
e xAB
}
A situação gráfica para a diferença simétrica é:
Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, mostrar que:
1. A=Ø se, e somente se, B=A
B.
2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.
3. A diferença simétrica é comutativa.
4. A diferença simétrica é associativa.
5. AA=Ø (conjunto
vazio).
6. A interseção entre A e BC
é distributiva, isto é:
A(BC)
= (AB)(AC)
7. AB está contida
na reunião de AC
e de BC, mas esta inclusão
é própria, isto é:
AB
(AC)(BC)
conjuntos numéricos
I) Números Naturais
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }
II) Números Inteiros
Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }
Fonte: pessoal.sercomtel.com.br
Conjuntos Numéricos
I) Números Naturais
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }
II) Números Inteiros
Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }
|
Todo
número natural é inteiro, isto é, N é um |
III) Números Racionais
- São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.
|
Q
={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z |
Assim como exemplo podemos citar o -1/2 , 1 , 2,5 ,...
-Números decimais exatos são racionais
Pois 0,1 = 1/10
2,3 = 23/10 ...
- Números decimais periódicos são racionais.
0,1111... = 1/9
0,3232 ...= 32/99
2,3333 ...= 21/9
0,2111 ...= 19/90
-Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do número 1.
- São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.
-São compostos por dízimas infinitas não periódicas.
Exs: 
- É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.
Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos de R chamados intervalos.
Intervalo fechado nos extremos a e b:
Intervalo fechado em a e aberto em b:
Intervalo aberto em a e fechado em b:
Intervalo aberto em a e b:
Temos também:
Fonte: www.exatas.hpg.ig.com.br
N = {0,1,2,3,4,5...}
Convém destacar um subconjunto: N* = N - {0} = {1,2,3,4,5...}
É importante lembrar que sempre é possível efetuar a adição e a multiplicação, isto é, a soma e o produto de dois números naturais sempre terá como resultado um número natural, já a subtração entre dois números naturais nem sempre é um número natural, como por exemplo 2 - 5, não pertence aos N, temos então o surgimento do conjunto dos números inteiros.
Z = {...-3,-2,-1,0,1,2,3...}
No conjunto dos inteiros destacamos os seguintes subconjuntos:
Z* = Z - {0} = {...-3,-2,-1,1,2,3...}
Z+ = {0,1,2,3,4...} (inteiros não negativos)
Z - = {0,-1,-2,-3,-4...} (inteiros não positivos)
Z*+ = {1,2,3,4...} (inteiros positivos)
Z*- = {-1,-2,-3,-4...} (inteiros não negativos)
Neste conjunto sempre é possível efetuar a adição, a multiplicação e a subtração entre números inteiros, isto é, sempre estas operações resultam em um número inteiro. Já a divisão nem sempre resulta em um número inteiro, como por exemplo, 7 : 2 ,não pertence aos inteiros surgindo assim o conjunto dos racionais.
Q = {x tal que x = a/b (a sobre b) onde aÎ (pertence) Z a b E Z* (Z menos o zero)}.
O conjunto dos números racionais Q é a união do conjunto dos números naturais (N), inteiros (Z) e as frações positivas e negativas, como por exemplo:
Q = -5 ; - 4/3 ; - 1; 0; 0,25 ; 1/2 ; 3/4 ; 1; 6/5 ; 2
Obs: Um número racional pode aparecer em forma de dízima periódica, isto é, um numeral decimal, com a parte decimal formada por infinitos algarismos que se repetem periodicamente, como por exemplo: 4,5555 (período 5) , 10,878787 (período 87) e 9,8545454... (período 54, parte não periódica 8)
Exemplo: transformar em frações irredutíveis os números:
a) 0,1111....
x=0,111...
10x=1,111...
daí,
10x-x=1
x=1/9
portanto, 0,111...=1/9
b) 2,1343434...
x=2,1343434...
10x=21,3434...
1000x=2134,3434....
daí,
1000x-10x=2113
x=2113/990
portanto, 2,1343434...=2113/990
- raiz quadrada de dois = 1,414...;
- raiz quadrada de três = 1,73...;
- dízimas não periódicas;
Fonte: www.ficharionline.com
O conceito de número foi evoluindo ao longo dos tempos, tendo-se criado novos números para responder a problemas entretanto surgidos.
NATURAIS
INTEIROS
RACIONAIS
REAIS
NÚMEROS NATURAIS
Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais.
A representação matemática deste conjunto é:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Entretanto...surgiu outro tipo de problema:
" Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? "
Para resolver este tipo de problemas foram criados os números fraccionários. Estes números juntamente com os números inteiros formam os racionais.
A representação matemática deste conjunto é:
Q = Z ? { números fraccionários }
Os pitagóricos ao aplicarem o Teorema de Pitágoras para determinar a medida do comprimento da diagonal de um quadrado de lado unitário, não conseguiram encontrar um número racional para essa medida.
A representação matemática deste conjunto é:
R = Q ? { números irracionais }
A apresentação realizada no âmbito da acção
de formação "Utilização das TIC em Contexto
Educativo"
Feijó, 20 de Junho de 2001 Hélia e Marina
Fonte: www.proformar.org
