Fatoração

O que é Fatoração?

A fatoração consiste em agrupar fatores que compõe uma determinada expressão ou valor. Quando estamos fatorando números inteiros, queremos descobrir quais são os divisores primos de tal número cujo produto o compõe.

A fatoração de expressões tem o mesmo objetivo de verificar os divisores, para que desta forma, possamos colocar termos em evidência, identificar trinômios quadrados perfeitos, diferença de quadrados. Este método agiliza e facilita a resolução de diversos problemas matemáticos.

Vamos dividir o estudo da fatoração em 3 casos.

Primeiro Caso: Fator em Evidência

Para identificar fatores em evidência, queremos descobrir um divisor comum entre todos os termos da expressão.

Por exemplo, o número 374 é o produto 2*11*17, isto é, podemos decompor o número 374 pelos divisores primos encontrados e o número 119 pode ser fatorado pelos divisores primos 7 e 17, então, o fator em comum entre eles é o divisor 17.

Em expressões algébricas, esse fator pode ser isolado, a fim de realizarmos a multiplicação distributiva e recuperarmos a expressão inicial.

Vamos ver exemplos:

Exemplo 1) 78x + 4

Podemos fatorar a expressão acima como

2 * (39x + 2)

Exemplo 2) ax + acx + a

Podemos fatorar a expressão acima como

a * (x + cx + 1) = a * [ x * (1 + c) + 1]

Exemplo 3) ax + bx + by + ay

Podemos fatorar a expressão acima como

x * ( a + b) + y (a + b) = (a + b) * (x + y)

Segundo Caso: Trinômio Quadrado Perfeito

O trinômio quadrado perfeito é a soma de três termos proveniente do produto notável (a+b)², em que a e b são reais positivos.

A detecção desse termo em uma equação pode facilitar e agilizar em muitos passos a resolução do problema final.

Vamos ver exemplos:

Exemplo 1) (a+b)² = a² + 2*a*b + b² lemos da seguinte forma: o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo.

Exemplo 2) y² + 5*y + 6,25 = (y + 2,5)²

Exemplo 3) z² + 10*z + 25 = (z + 5)²

Exemplo 4) w² + 14*w + 49 = (w+7)²

Terceiro Caso: Diferença de Quadrados

A técnica de encontrar diferenças de quadrados consiste na busca pela expressão do tipo a² – b², cuja expansão é feita em (a + b) * (a – b). Ainda, você pode realizar o caminho inverso, se facilitar a resolução, isto é, encontrar o produto da diferença e reduzi-lo a diferença de quadrados, (a² – b²) = (a+b)*(a-b)

Vamos ver exemplos:

Exemplo 1) 49 – x² = (7 + x) * (7 – x)

Exemplo 2) (x + y) * (x – y) = x² – y²

Exemplo 3) 18*x² – 18*y² + 18*a² – 18*b² = 18 * [(x+y)*(x-y) +(a+b)*(a-b)]

Luisa Boccardo Burini