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Funções Trigonométricas

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O que são funções trigonométricas?

As funções trigonométricas são funções angulares, que são relacionadas ao círculo trigonométrico. Este círculo é adotado como uma circunferência de raio igual a 1 unidade, isto é, uma volta representa 360 graus.

As principais funções trigonométricas são:

– Seno;

– Cosseno;

– Tangente.

Para obter estas funções, vamos olhar para o primeiro quadrante do círculo trigonométrico, primeiramente, analisando a extração das funções seno, cosseno e tangente sobre um triângulo retângulo.

Círculo Trigonométrico

O triângulo retângulo é aquele que possui um dos ângulos como 90°, chamado também de ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa.

funcao-trigonometrica-2

O seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Para o ângulo indicado como x, temos que:

sen(x) = cateto oposto / hipotenusa

A medida do cosseno é extraída como a razão entre cateto adjacente pela hipotenusa:

cos(x) = cateto adjacente / hipotenusa

Atenção: Perceba que a hipotenusa é o maior lado do triângulo, portanto, as medidas de seno e cosseno serão sempre menor ou igual a 1.

Exemplo: Para um triângulo retângulo, sabemos que um dos catetos tem a medida de 12 centímetros e a hipotenusa é de 15 centímetros. De o seno e o cosseno de todos os ângulos internos do triângulo referido.

Para hipotenusa 15 e um cateto 12, vamos descobrir o outro lado x com a relação de Pitágoras:

15² = 12² + x²
225 = 144 + x²
x = 9

Para o ângulo oposto α ao lado 12:

sen( α ) = 12/15 =. ⅘ = 0,8
cos( α ) = 9/15 = ⅗ = 0,6

Para o ângulo oposto β ao lado 9:

sen( β ) = 9/15 = ⅗ = 0,6
cos( β ) = 12/15 = ⅘ = 0,8

Para o ângulo de 90º, olhar no círculo trigonométrico:

sen(90º) = 1
cos(90º) = 0

Veja que, para ângulos complementares, isto é, α + β = 90º, sen( α ) = cos( β ) e cos( α ) = sen( β )

A tangente é a razão entre o cateto oposto pelo cateto adjacente , ou ainda, seno pelo cosseno.

tan(x) = cateto oposto / cateto adjacente

Agora vamos observar o círculo trigonométrico novamente. Para um ponto P = (x1, y1) na circunferência de raio unitário, o valor da coordenada x é o seno do ângulo entre a reta que liga o ponto P até a origem (0,0) e o eixo y. A coordenada y do ponto P é o cosseno.

funcao-trigonometrica-3

Existem ângulos notáveis de medidas de seno, cosseno e tangente a saber:

ângulo 30º 45º 60º
seno ½ √2 /2 √3 /2
cosseno √3 /2 √2 /2 1/2
tangente √3 /3 1 √3

O círculo trigonométrico pode servir como uma calculadora para seno e cosseno para o ângulo x.

Exemplo: Qual é o ângulo x apresentado no círculo trigonométrico?

Dado que o sen(x) = 0,5 então o ângulo x é 30º.

Exemplo: Quais são os ângulos internos de um triângulo retângulo com 2 catetos iguais?

Se os dois catetos são iguais, seno e cosseno dos ângulos menores que 90º são iguais, logo, 90º+2x = 180, x = 45º

Relação Fundamental

A relação fundamental é a equação mais importante da trigonometria pois ela relaciona o seno e o cosseno:

sen(x) ² + cos(x) ² = 1

Exemplo: Qual é a tangente do ângulo cujo cosseno é 0,6 ?

Usando a relação fundamental, dividindo-a por cosseno ao quadrado, temos:

funcao-trigonometrica-4

Luisa Boccardo Burini

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