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Função Quadrática

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O​ ​que​ ​é​ ​uma​ ​função​ ​quadrática?

Uma função quadrática é um polinômio de segundo grau, ou seja, um polinômio cujo maior expoente é 2.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo:​ ​x²​ ​+​ ​45x​ ​+​ ​3

Exemplo:​ ​- 87x²​ ​+​ ​123x​ ​-​ ​4801

Escrevemos as funções quadráticas de forma geral como a​x²​ ​+​ ​b​x​ ​+​ ​c​ em que a​, b​,​ ​c pertencem ao conjunto dos números Reais e a​ é necessariamente diferente de zero.

Vamos estudar o comportamento destas funções:

funcao-quadratica-1

Raízes​ ​das​ ​funções​ ​quadráticas

A raiz da função quadrática pode ser calculada com a fórmula de Bhaskara como

funcao-quadratica-2

Veja que essa fórmula nos dá 2 respostas! Isso se deve ao fato de que temos uma equação de segundo​ ​grau​, então existem 2​ ​valores​ ​que podem ser:

Raízes Reais iguais: Você deve estar pensando como podemos dizer que são dois valores iguais?​ ​Podemos dizer que são dois valores reais iguais pois o comportamento da função continua sendo quadrático. Em funções que temos apenas uma solução, o comportamento é linear, como em x + 2. Para comparar com uma função quadrática, vamos utilizar x²​ ​+​ ​4x​ ​+​ ​4​.

funcao-quadratica-3

Exemplo:​ ​x² + 4x + 4, a fórmula de Bhaskara para esse caso fica

funcao-quadratica-4

Como sabemos as raízes, podemos simplificar a função quadrática como (x+2)(x+2)​. Faça a multiplicação distributiva e confirme que resulta na mesma função quadrática! Perceba também que a multiplicação dos termos (x+2)(x+2) também possui como raiz o valor -2.

Raízes Reais distintas:

Exemplo:​ ​x² – 8x + 7 a fórmula de Bhaskara para esse caso fica

funcao-quadratica-5

Realizando as operações devidas, vemos que os valores de x raiz da função quadrática são x1 = 7 e  x2 = 1.

Para facilitar e quando é fácil fazer de cabeça, podemos usar um pequeno truque.

funcao-quadratica-6

No nosso exemplo, podemos fazer de cabeça o seguinte raciocínio: quais dois números resultam na soma de 8 e quando multiplicados um pelo outro temos o valor 7?

funcao-quadratica-7

Atenção:​ ​Nem todos os casos possibilitam essa estratégia! Essa ideia é para agilizar as contas e evitar as operações da fórmula de Bhaskara, mas por vezes as raízes são bem difíceis de acertar.

Raízes Complexas: As raízes complexas possuem a forma a​ ​+​ ​bi​ ​ ​e​ ​ ​a​ ​-​ ​bi​, em que i é a unidade imaginária i²​ ​=​ ​-1​. Dizemos que são raízes complexas​ ​conjugadas​ pois possuem parte real igual e a parte imaginária é uma a negativa da outra.

Exemplo:​ ​x² – 3x + 10 a fórmula de Bhaskara para esse caso fica

funcao-quadratica-8

As raízes que iremos obter são x1 = 1, 5 + i√31 e x2 = 1 5 − i√31.

Note que como a parte imaginária vem da raiz quadrada, realmente sempre teremos raízes complexas conjugadas.

O que isso significa, em termos do gráfico da função, uma vez que a raiz é o ponto de cruzamento da função com o eixo x?

funcao-quadratica-9
Significa que a função não cruza o eixo, pois, como nesse caso o coeficiente a>0​, ela está localizada acima do eixo x.

 

Luisa Boccardo Burini

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