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Álgebra

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A álgebra é a área da Matemática que estuda a manipulação de equações, polinômios e outras formas algébricas através do uso de operações válidas para os conjuntos numéricos.

Mas como a Humanidade começou a realizar esta manipulação tão abstrata?

História da Álgebra

A história da Álgebra tem seu início com o estudioso Diofante de Alexandria que viveu entre 325 d.C e 409 d.C. e suas contribuições se basearam no uso de símbolos para referenciar os cálculos matemáticos. Desta forma, a representação de expressões passava a ser mais compacta e abstrata, deixando de ser totalmente a partir de palavras.

A retomada deste legado ocorre na Babilônia na ascensão do Império Árabe, por volta do ano 825, quando foi escrita a obra que cunha o termo álgebra, nomeada Hisab Al-jabr w’al-muqabalah (˜O livro da compendia no cálculo pela conclusão e balanceamento˜, frequentemente abreviada como Al-jabr) pelo matemático, astrônomo e geógrafo árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm).

Este trabalho é fruto da dominância cultural e científica árabe durante a Baixa Idade Média, em que despontaram outras áreas do saber como astronomia, aritmética e houve um resgate e tradução de diversos manuscritos para a língua árabe como Os Elementos de Euclides.

O principal legado de al Khowarizmi foi a apresentação da notação posicional indiana ao Ocidente, isto é, o sistema numérico que conhecemos hoje com 10 algarismos hindu-arábicos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Desta forma, o matemático inspirou muitos eruditos a investigarem esta área de estudo, desenvolvendo novas formas de usar frações decimais, determinar áreas e volumes.

A representação de equações por símbolos, removendo ainda mais palavras, ocorre apenas em meados do século XVI, com o advogado François Viète que decifrava códigos secretos de mensagens de guerra entre a França e a Espanha. Outras contribuições contemporâneas a esta época ocorreram com o inglês Robert Record que criou o símbolo de igualdade (=).

A eliminação completa das palavras em equações foi alcançada com René Descartes, grande matemático e filósofo, aperfeiçoou o sistema de representação de equações ao criar o símbolo (.) para a multiplicação, a notação que conhecemos hoje de expoentes e potenciação e passou a usar as primeiras letras do alfabeto como coeficientes da incógnita e termos independentes e as últimas letras do alfabeto para representar as próprias incógnitas, por exemplo, ax+b. Agora vamos estudar as equações algébricas e polinômios. Mas primeiramente, entenderemos as bases das equações algébricas que são as variáveis e operações.

Variáveis

As variáveis são identificadas usualmente pelas últimas letras do alfabeto e identificam valores desconhecidos na equação.

Ex: x + 8 = 0

A variável da equação é x.

Ex: y² + 3×y + 2 = 0

A variável da equação é y.

Operações

As operações mais usadas na álgebra são adição, subtração, divisão, multiplicação, radiciação e potenciação.

Vamos ver algumas propriedades de cada uma das operações que são válidas para operandos de quaisquer conjuntos.

Adição

A operação da adição consiste em somar elementos iguais. Podemos somar, por exemplo, variáveis iguais, termos independentes iguais. As principais propriedades da adição são:

Associatividade: podemos associar termos da soma e ainda obter o mesmo resultado.

Ex: (x + y) + z = x + (y + z)

Ex: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) = 12

Comutatividade: podemos comutar, isto é, intercambiar os termos da soma e ainda obter o mesmo resultado.

Ex: x + y = y + x

Ex: 6 + 11 = 11 + 6 = 17

Existência de um elemento neutro: existe um elemento que, quando somado a qualquer equação não altera seu resultado. No caso da adição, esse elemento é o número zero (0).

Ex: x + 0 = x

Ex: 53 + 0 = 53

Existência de um elemento inverso: temos um elemento inverso quando a soma de um elemento e seu inverso sempre gera o elemento neutro.

Ex: x + (−x) = 0

Ex: 30 + (−30) = 0

Multiplicação

A multiplicação é indicada pelo sinal de ( × ) o qual indica que em uma operação de y × z iremos somar y vezes a variável z.

Ex: 8×3 = 8 + 8 + 8 = 24

Ex: 4×5 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

As propriedades da multiplicação são:

Associatividade: ao associar diferentes termos da multiplicação, ainda obteremos os mesmos resultados.

Ex: ( x × y ) × z = x × ( y × z )

Ex: ( 3 × 2 ) × 4 = 3× ( 2 × 4 ) = 24

Comutatividade: podemos comutar, ou seja, intercambiar elementos da multiplicação sem alterar o resultado final.

Ex: y × z = z × y

Ex: 7 × 9 = 9 × 7 = 63

Existência de um elemento neutro: existe um elemento ao qual a sua multiplicação por qualquer termo não afeta o resultado.

Nessa operação, o elemento neutro é 1.

Ex: z × 1 = z

Ex: 437 × 1 = 437

Existência do elemento inverso: para cada termo (menos o zero), existe um elemento inverso cuja multiplicação gera o elemento neutro, que no caso da multiplicação é o número 1.

Ex: z x ½ = 1

Ex: 2 x ½ = 1

Distributividade: a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição indica que o produto da soma de dois termos é igual a soma de cada um dos termos multiplicados pelo primeiro.

Ex: x × ( y + z ) = x × y + x × z

Ex: 3 × ( 6 + 4) = 3×6 + 3×4 = 30

Subtração

A subtração de elementos consiste na mesma operação que a soma do primeiro operando com o negativo do segundo operando.

Ex: x – y = x + (–y)

Ex: 7 – 3 = 7 + ( –3) = 4

Atenção: Nem todas as propriedades da soma podemos usar para a subtração.

Ex: A subtração não é comutativa , podemos observar simplesmente ao fazer

3 − 1 ≠ 1 − 3
2 ≠ − 2

Ex: A subtração não é associativa

(2–8)–3 = − 9

2 − (8 − 3) = − 3

No entanto, existe um elemento inverso e um elemento neutro para a subtração, assim como para a soma.

Divisão

A divisão de elementos é a operação inversa da multiplicação, garantindo assim as propriedades de existência do elemento inverso. Também, existe o elemento neutro, que é o mesmo da multiplicação, o número 1.

Ex: 1/x = x

Ex: 3/1 = 3

Mas igualmente a subtração não assume todas as propriedades da soma, a divisão também não assume todas as propriedades da multiplicação.

Ex: a divisão não é associativa.

(3 / 4) / 2 = 0,375
3 / (4 / 2) = 1,5

Ex: a divisão não é comutativa.

4 / 2 = 2
2 / 4 = 0,5

Expressões Algébricas

Expressões são o núcleo da Álgebra. Elas compõe uma sequência de operações matemáticas entre operandos. Tais expressões podem ser de dois tipos: numéricas, isto é, entre valores conhecidos ou expressões algébricas, que envolvem variáveis entre os operandos.

Ex: 8 + 49/7 – 3 = 12 é uma expressão numérica

Ex: x + y é uma expressão algébrica

Equações

Equações são expressões algébricas com uma igualdade.

Ex: x² + 2 × x + 1 = 0

Ex: x + 4 = 0

Polinômios

Um polinômio é uma expressão algébrica específica formada por operações entre monômios, que é um produto de uma ou mais variáveis a determinado expoente multiplicado por um coeficiente.

Ex: 2x²

Esse é um monômio com a variável x.

Ex: 8xy

Este é um polinômio nas variáveis x e y

Ex: 9x8 + 7x3

Luisa Boccardo Burini

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