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Regras de Divisibilidade

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O que são regras de divisibilidade?

As regras de divisibilidade determinam a critérios em que um número natural é divisível por outro, ou seja, para que a divisão resulte em um número natural sem restos.

Vamos fazer um estudo das regras de divisibilidade para os números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 25, 100.

Divisibilidade por 1

Todos os números são divisíveis por 1 e o quociente é igual ao dividendo.

Exemplo: 5/1 = 5

Exemplo: 10/1 = 10

Divisibilidade por 2

Todos os números pares são divisíveis por 2, isto é, todos os números cujo algarismo menos significativo é {0, 2, 4, 6, 8}.

Exemplo: 10/2 = 5

Exemplo: 22/2 = 11

Exemplo: 54/2 = 27

Exemplo: 36/2 = 18

Exemplo: 108/2 = 54

Divisibilidade por 3

Todos os números cuja soma dos algarismos é divisível por 3, também é divisível por 3.

Exemplo: 123/3 = 41, pois 1+2+3 = 6 que é divisível por 3.

Exemplo: 732/3 = 244, pois 7+3+2 = 12 que é divisível por 3.

Exemplo: 89427/3 = 29809, pois 8+9+4+2+7 = 30 que é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Para ser divisível por 4, o número precisa ter uma das duas propriedades a seguir:

Os dois algarismos menos significativos são 00.

Exemplo: 100/4 = 25

Exemplo: 234400/4 = 58600

Os dois últimos algarismos significativos são divisíveis por 4.

Exemplo: 4736/4 = 1184, pois 36 é divisível por 4

Exemplo: 628/4 = 127, pois 28 é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Todo número cujo algarismo menos significativo é {0, 5} é divisível por 5.

Exemplo: 8465/5 = 1693

Exemplo: 9310/5 = 1862

Divisibilidade por 6

Todo número divisível por 2 e 3 também é divisível por 6, ou seja, para que um número seja divisível por 6 ele precisa ser par e ter a soma dos seus algarismos divisível por 3.

Exemplo: 456/6 = 76, pois 456 é par e sua soma 4+5+6 = 15 que é divisível por 3.

Exemplo: 2112/6 = 352, pois 2112 é par e sua soma 2+1+1+2 = 6 que é divisível por 3.

Divisibilidade por 7

Para que um número seja divisível por 7, é necessário que a diferença entre os algarismos mais significativos e o dobro do algarismo menos significativo seja também divisível por 7.

Exemplo: 581/7 = 83, pois 58 – (1)(2) = 58 – 2 = 56 que é divisível por 7.

Exemplo: 322/7 = 46, pois 32 – (2)(2) = 32 – 4 = 28 que é divisível por 7.

Exemplo: 3367/7 = 481, pois 336 – (7)(2) = 336 – 14 = 322 que é divisível por 7.

Divisibilidade por 8

Para ser divisível por 8, um número deve seguir uma entre as duas propriedades a seguir:

Ter os 3 algarismos menos significativos como 000:

Exemplo: 1000/8 = 125

Exemplo: 23000/8 = 2875

Divisibilidade por 9

Todos os números divisíveis por 9 possuem a soma de seus algarismos também divisível por 9.

Exemplo: 5895/9 = 655, pois 5+8+9+5=27 que também é divisível 9 55 por 9.

Exemplo:  25614/9 = 2846, pois 2+5+6+4+1 = 18 que também é divisível por 9.

Exemplo: 9855/9 = 1095, pois 9+8+5+5=27 que também é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Todo número divisível por 10 tem o algarismo menos significativo 0.

Exemplo: 3260/10 = 326

Exemplo: 950/10 = 95

Divisibilidade por 11

Para ser divisível por 11, o número precisa ter a diferença entre os algarismos de ordem ímpar e par também divisíveis por 11 ou igual a zero.

É possível também conferir a divisibilidade pelo 11 através da subtração sucessiva do algarismo menos significativo pelo restante.

Vamos verificar exemplos para os dois critérios.

Exemplo: 24453/11 = 2223

Primeira forma: 

– Soma de ordem par: 3+4+2=9

– Soma de ordem ímpar: 5+4 = 9

– Diferença: 9-9 = 0

Segunda forma:

– 2445 – 3 = 2442
– 244 – 2 = 242
– 24 – 2 = 22 que é divisível por 11

Exemplo: 4948251/11 = 449841

Primeira forma:

– Soma de ordem par: 1+2+4+4= 11

– Soma de ordem ímpar: 5+8+9=22

– Diferença: 22-11 = 11 que é divisível por 11

Segunda forma:

– 494825 – 1 = 494824
– 49482 – 4 = 49478
– 4947 – 8 = 4939
– 493 – 9 = 484
– 48 – 4 = 44 que é divisível por 11.

Divisibilidade por 12

Todo número divisível por 12 é também necessariamente divisível por 3 e 4, isto é, a soma de seus algarismos é divisível por 3 e os dois algarismos menos significativos são divisíveis por 4 ou iguais a 00.

Exemplo: 5948232/12 = 495686

– Divisível por 3 pois a soma 5+9+4+8+2+3+2= 33 é divisível por 3.

– Dois algarismos menos significativos são 32 que é divisível por 4.

Exemplo: 75924/12 = 6327

– Divisível por 3 pois a soma 7+5+9+2+4=27 é divisível por 3.

– Dois algarismos menos significativos são 24 que é divisível por 4.

Divisibilidade por 15

Todo número divisível por 15 é também necessariamente divisível por 3 e 5, isto é, possui a soma de seus algarismos divisível por 3 e seu algarismo menos significativo é {0,5}.

Exemplo: 216840/15 = 14456

– Divisível por 3 pois a soma 2+1+6+8+4+0=21 que é divisível por 3.

– Algarismo menos significativo igual a 0, logo é divisível por 5.

Exemplo: 54975/15 = 3665

– Divisível por 3 pois a soma 5+4+9+7+5=30 que é divisível por 3.

– Algarismo menos significativo igual a 5, logo é divisível por 5.

Divisibilidade por 25

Todo número divisível por 25 possui os dois algarismos menos significativos iguais a 00 ou divisíveis por 25, isto é, iguais a {25, 50, 75}.

Exemplo: 216800/25 = 8672

Exemplo: 12378975/25 = 495159

Exemplo: 32425/25 = 1297

Exemplo: 129850/25 = 5194

Divisibilidade por 100

Todo número divisível por 100 tem os dois algarismos menos significativos como 00.

Exemplo: 129800/100 = 1298

Exemplo: 26100/100 = 261

Luisa Boccardo Burini

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