Regras de Divisibilidade

Regras de Divisibilidade – O que são

As regras de divisibilidade determinam a critérios em que um número natural é divisível por outro, ou seja, para que a divisão resulte em um número natural sem restos.

As regras de divisibilidade são atalhos matemáticos que permitem determinar instantaneamente se um número pode ser dividido igualmente por outro, sem precisar realizar a divisão completa. Elas ajudam a verificar facilmente os restos num relance.

Vamos fazer um estudo das regras de divisibilidade para os números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 25, 100.

Divisibilidade por 1

Todos os números são divisíveis por 1 e o quociente é igual ao dividendo.

Exemplo: 5/1 = 5
Exemplo: 10/1 = 10

Divisibilidade por 2

Todos os números pares são divisíveis por 2, isto é, todos os números cujo algarismo menos significativo é {0, 2, 4, 6, 8}.

Exemplo: 10/2 = 5
Exemplo: 22/2 = 11
Exemplo: 54/2 = 27
Exemplo: 36/2 = 18
Exemplo: 108/2 = 54

Divisibilidade por 3

Todos os números cuja soma dos algarismos é divisível por 3, também é divisível por 3.

Exemplo: 123/3 = 41, pois 1+2+3 = 6 que é divisível por 3.
Exemplo: 732/3 = 244, pois 7+3+2 = 12 que é divisível por 3.
Exemplo: 89427/3 = 29809, pois 8+9+4+2+7 = 30 que é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Para ser divisível por 4, o número precisa ter uma das duas propriedades a seguir:

Os dois algarismos menos significativos são 00.

Exemplo: 100/4 = 25
Exemplo: 234400/4 = 58600

Os dois últimos algarismos significativos são divisíveis por 4.

Exemplo: 4736/4 = 1184, pois 36 é divisível por 4
Exemplo: 628/4 = 127, pois 28 é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Todo número cujo algarismo menos significativo é {0, 5} é divisível por 5.

Exemplo: 8465/5 = 1693
Exemplo: 9310/5 = 1862

Divisibilidade por 6

Todo número divisível por 2 e 3 também é divisível por 6, ou seja, para que um número seja divisível por 6 ele precisa ser par e ter a soma dos seus algarismos divisível por 3.

Exemplo: 456/6 = 76, pois 456 é par e sua soma 4+5+6 = 15 que é divisível por 3.
Exemplo: 2112/6 = 352, pois 2112 é par e sua soma 2+1+1+2 = 6 que é divisível por 3.

Divisibilidade por 7

Para que um número seja divisível por 7, é necessário que a diferença entre os algarismos mais significativos e o dobro do algarismo menos significativo seja também divisível por 7.

Exemplo: 581/7 = 83, pois 58 – (1)(2) = 58 – 2 = 56 que é divisível por 7.
Exemplo: 322/7 = 46, pois 32 – (2)(2) = 32 – 4 = 28 que é divisível por 7.
Exemplo: 3367/7 = 481, pois 336 – (7)(2) = 336 – 14 = 322 que é divisível por 7.

Divisibilidade por 8

Para ser divisível por 8, um número deve seguir uma entre as duas propriedades a seguir:

Ter os 3 algarismos menos significativos como 000:

Exemplo: 1000/8 = 125
Exemplo: 23000/8 = 2875

Divisibilidade por 9

Todos os números divisíveis por 9 possuem a soma de seus algarismos também divisível por 9.

Exemplo: 5895/9 = 655, pois 5+8+9+5=27 que também é divisível 9 55 por 9.
Exemplo:  25614/9 = 2846, pois 2+5+6+4+1 = 18 que também é divisível por 9.
Exemplo: 9855/9 = 1095, pois 9+8+5+5=27 que também é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Todo número divisível por 10 tem o algarismo menos significativo 0.

Exemplo: 3260/10 = 326
Exemplo: 950/10 = 95

Divisibilidade por 11

Para ser divisível por 11, o número precisa ter a diferença entre os algarismos de ordem ímpar e par também divisíveis por 11 ou igual a zero.

É possível também conferir a divisibilidade pelo 11 através da subtração sucessiva do algarismo menos significativo pelo restante.

Vamos verificar exemplos para os dois critérios.

Exemplo: 24453/11 = 2223

Primeira forma: 

Soma de ordem par: 3+4+2=9
Soma de ordem ímpar: 5+4 = 9
Diferença: 9-9 = 0

Segunda forma:

2445 – 3 = 2442
244 – 2 = 242
24 – 2 = 22 que é divisível por 11

Exemplo: 4948251/11 = 449841

Primeira forma:

Soma de ordem par: 1+2+4+4= 11
Soma de ordem ímpar: 5+8+9=22
Diferença: 22-11 = 11 que é divisível por 11

Segunda forma:

494825 – 1 = 494824
49482 – 4 = 49478
4947 – 8 = 4939
493 – 9 = 484
48 – 4 = 44 que é divisível por 11.

Divisibilidade por 12

Todo número divisível por 12 é também necessariamente divisível por 3 e 4, isto é, a soma de seus algarismos é divisível por 3 e os dois algarismos menos significativos são divisíveis por 4 ou iguais a 00.

Exemplo: 5948232/12 = 495686

Divisível por 3 pois a soma 5+9+4+8+2+3+2= 33 é divisível por 3.
Dois algarismos menos significativos são 32 que é divisível por 4.

Exemplo: 75924/12 = 6327

Divisível por 3 pois a soma 7+5+9+2+4=27 é divisível por 3.
Dois algarismos menos significativos são 24 que é divisível por 4.

Divisibilidade por 15

Todo número divisível por 15 é também necessariamente divisível por 3 e 5, isto é, possui a soma de seus algarismos divisível por 3 e seu algarismo menos significativo é {0,5}.

Exemplo: 216840/15 = 14456

Divisível por 3 pois a soma 2+1+6+8+4+0=21 que é divisível por 3.
Algarismo menos significativo igual a 0, logo é divisível por 5.

Exemplo: 54975/15 = 3665

Divisível por 3 pois a soma 5+4+9+7+5=30 que é divisível por 3.
Algarismo menos significativo igual a 5, logo é divisível por 5.

Divisibilidade por 25

Todo número divisível por 25 possui os dois algarismos menos significativos iguais a 00 ou divisíveis por 25, isto é, iguais a {25, 50, 75}.

Exemplo: 216800/25 = 8672
Exemplo: 12378975/25 = 495159
Exemplo: 32425/25 = 1297
Exemplo: 129850/25 = 5194

Divisibilidade por 100

Todo número divisível por 100 tem os dois algarismos menos significativos como 00.

Exemplo: 129800/100 = 1298
Exemplo: 26100/100 = 261

Fonte: Colégio São Francisco/Luisa Boccardo Burini