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Topologia

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Definição

Topologia é o estudo matemático das propriedades que são preservadas por meio de deformações, torções e alongamentos de objetos.

Basicamente, a topologia é a versão moderna da geometria, o estudo de todos os tipos diferentes de espaços.

O que distingue diferentes tipos de geometria entre si (incluindo a topologia aqui como um tipo de geometria) está nos tipos de transformações permitidas antes de você realmente considerar algo alterado. (Este ponto de vista foi sugerido pela primeira vez por Felix Klein, um famoso matemático alemão do final de 1800 e início de 1900).

O que é topologia?

A topologia é um ramo da matemática que lida com o estudo de superfícies ou espaços abstratos, onde quantidades mensuráveis não são importantes.

Devido a essa abordagem exclusiva da matemática, a topologia às vezes é chamada de geometria da folha de borracha, porque se imagina que as formas em consideração existem em folhas de borracha infinitamente extensíveis.

Na geometria típica, formas fundamentais, como círculo, quadrado e retângulo, são a base de todos os cálculos, mas, na topologia, a base é de continuidade e posição dos pontos um em relação ao outro.

Um mapa topológico pode ter pontos que juntos formariam uma forma geométrica como um triângulo. Essa coleção de pontos é vista como um espaço que permanece inalterado; no entanto, não importa como seja torcido ou esticado, como as pontas de uma folha de borracha, ele permanecerá inalterado, não importa de que forma seja.

Esse tipo de estrutura conceitual para a matemática é freqüentemente usado em áreas onde ocorrem deformações em grande ou pequena escala, como poços de gravidade no espaço, análise da física de partículas em um nível subatômico e no estudo de estruturas biológicas como a mudança da forma das proteínas.

A geometria da topologia não lida com o tamanho dos espaços; portanto, a área de superfície de um cubo tem a mesma topologia que a de uma esfera, como uma pessoa pode imaginá-los sendo torcidos para mudar de uma forma para outra. Tais formas que compartilham características idênticas são chamadas de homeomórficas.

Um exemplo de duas formas topológicas que não são homeomórficas, ou que não podem ser alteradas para se parecerem, é uma esfera e um toro ou forma de rosca.

Descobrir as propriedades espaciais principais dos espaços definidos é um objetivo principal na topologia.

Um mapa topológico definido no nível base é referido como um conjunto de espaços euclidianos.

Os espaços são classificados pelo número de dimensões, onde uma linha é um espaço em uma dimensão e um plano, um espaço em duas.

O espaço experimentado pelos seres humanos é chamado de espaço euclidiano tridimensional. Conjuntos de espaços mais complicados são chamados de variedades, que parecem diferentes em nível local do que em larga escala.

Conjuntos de coletores e teoria dos nós tentam explicar superfícies em muitas dimensões além do que é perceptível no nível humano literal, e os espaços estão ligados a invariantes algébricos para classificá-las.

Esse processo da teoria da homotopia, ou a relação entre espaços topológicos idênticos, foi iniciado por Henri Poincar & eacute, um matemático francês que viveu de 1854 a 1912.

Topologia – Matemática

A topologia é um ramo da matemática que descreve os espaços matemáticos, em particular as propriedades que derivam da forma de um espaço.

Muitas das formas com que os topólogos lidam são incrivelmente estranhas, tanto que praticamente todos os objetos do cotidiano, como tigelas, animais de estimação e árvores, formam uma pequena minoria.

A palavra “topologia” deriva das palavras gregas para lugar (topos) e estudo (-logia).

A topologia é importante como guia em várias áreas de estudo:

Física teórica (em particular os sucessores da mecânica quântica, como a teoria quântica de campos e a teoria das cordas)
Cosmologia (para determinar a forma do universo)
Biologia (para emaranhar o DNA e prever o crescimento de órgãos e outras partes do corpo)
Ciência da computação (para determinar a estrutura em larga escala de conjuntos de dados)
Robótica (onde os movimentos de um braço de robô são planejados com base na forma de um espaço com um número de dimensões igual ao número de juntas de braço)

O que é um mapa topológico?

Um mapa topológico é usado para transmitir informações que não são necessariamente focadas na geografia precisa.

O mapa é simplificado para fornecer uma visão geral de uma área, para que as informações no mapa sejam mais claras e fáceis de ler.

Exemplos comuns de um mapa topológico incluem um mapa do metrô, um mapa incluído com instruções de direção para uma empresa ou um mapa usado para representar estatísticas, como o uso da Internet na Europa ou a mortalidade infantil por país. Em todos esses exemplos, a geografia precisa ocupa o segundo lugar com as informações que o mapa está tentando se comunicar.

O mapa do metrô de Londres é talvez um dos exemplos mais famosos desse tipo de mapa. O designer, Harry Beck, percebeu que os ciclistas não precisavam saber exatamente onde estavam, mas precisavam ser capazes de ver o contorno aproximado das linhas do metrô. Seu mapa topológico resultante distorceu a perspectiva para que todas as linhas e paradas pudessem ser vistas claramente.

O mapa estilizado é muito mais fácil de ler. Essa técnica é usada em mapas de metrô e mapas de rotas ao redor do mundo, facilitando muito a vida das pessoas que tentam usar esses mapas.

A precisão geográfica e a escala não são tão importantes em um mapa topológico. O importante é definir claramente as informações vitais. Freqüentemente, isso envolve a remoção de um mapa geográfico até os detalhes mais vitais e básicos, para que as informações topológicas possam ser apresentadas sobre ele.

Essa técnica é freqüentemente usada para produzir mapas que são usados para transmitir informações estatísticas sobre o mundo, para que as pessoas possam ver aproximadamente de onde no mundo os dados vêm.

Por exemplo, uma tabela de números tem um impacto muito menos profundo do que um mapa que demonstra visualmente que a maioria da riqueza está concentrada no Hemisfério Norte.

Em alguns casos, esses mapas podem ser extremamente distorcidos para enfatizar um ponto ou colocar as estatísticas no contexto.

Um exemplo mais simples desse tipo de mapa é um mapa incluído no folheto de uma empresa. A maioria das empresas não fornece mapas precisos, dispostos em todas as ruas da região. Em vez disso, o mapa inclui as principais ruas e atravessa as ruas da empresa, para que os clientes possam encontrá-lo rápida e facilmente.

Esse mapa simplificado é um mapa topológico projetado para fornecer uma informação: a melhor maneira de chegar ao negócio em questão.

Fonte: www2.stetson.edu/mathworld.wolfram.com/www.techopedia.com/www.merriam-webster.com/www.wisegeek.org/www.livescience.com/uwaterloo.ca/www.rrb.wayne.edu

 

 

 

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