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Logaritmo

O que é Logaritmo

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Logaritmo é uma ferramenta matemática utilizada para tornar operações mais simples.

Definição: Sejam a e b números reais positivos e b ≠ 1. Chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal que bx = a.

Logaritmo

log 2 16 = x , é o expoente x tal que 2x = 16

2x = 24    :. x = 4

Desse modo, log 2 16 = 4.

O inventor do logaritmo foi John Napier, que durante o século XVII trabalhou muito para que se encontrasse os logaritmos. Juntamente com Napier, Henry Briggs também se dedicou aos estudos sobre o assunto e junto criaram a tábua de logaritmos. Na época que estudaram essa importante ferramenta do cálculo não haviam calculadoras, e então essa tábua criada por eles são exatamente os logaritmos que utilizamos hoje em dia.

Consequências da Definição

Como consequências da definição de logaritmo, temos as seguintes propriedades:

1) O logaritmo da base, em qualquer base, é igual a 1.

log a a = 1

2) O logaritmo da unidade, em qualquer base, é igual a 0.

log a 1 = 0

3) A potência de base a e expoente log a b é igual a b.

log a b = b

4) Dois logaritmos em uma mesma base são iguais, se, e somente se, os logaritmos são iguais.

 log a b =  log a c ⇔ b = c

Outras Definições

Logaritmo Natural ou Neperiano:

log e a  ou  ln a

Logaritmo Decimal: É aquele cujo a base é 10, e é representado por:

log a

Cologaritmo: É aquele oposto ao log ou o log do inverso do logaritmando.

colog b a = – log b a         colog b a = log b 1/a

Antilogaritmo: O antilogaritmo de x na base b, o número a, ou seja, o logaritmando.

log b a = x ⇔ a = antilog b x

Propriedades dos Logaritmos

1) log b b = 1

2) log b 1 = 0

3) log b ay = y log b a

4) log b bx = x

5) b log b a = a

6) log b ac = log b a + log b c

7) log b a/c = log b a – log b c

8) Propriedade de Mudança de Base:

log b a = log k a / log k b

para qualquer k ∈ |R *+, k ≠ 1.

Exemplos e Exercícios

1) Calcule pela definição log 4 16.

Resolução:

log 4 16 = x
4x = 16 → 4x = 42 → x = 2 → :. log 4 16 = 2.

2) Calcule pela definição log 0,25 32

Resolução:

log 0,25 32 = x
0,25x = 32
(¼)x = 32
(1/2²)x = 25
(2-2)x = 25
-2x = 5
x = -5/2    → :.  log 0,25 32 = -5/2.

3) Calcule pela definição log 3 1/9

Resolução:

log 3 1/9 = x
3x = 1/9
3x = 1/3²
3x = 3-2
x = -2  → :. log 3 1/9 = -2.

4) Calcule log 3 5 transformado para a base 2.

Resolução:

log 3 5 = log 2 5 / log 2 3

Portal São Francisco

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