Equações Recíprocas

Uma equação recíproca é uma equação polinomial onde uma equação recíproca é uma equação polinomial onde o inverso de qualquer raiz também é uma raiz. e os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos são iguais ou simétricos (opostos). Isso significa que a ordem dos coeficientes é a mesma de trás para frente, criando uma simetria que facilita a sua resolução.

Seja a equação racional inteira a₀.x n + a₁.x n-1 + a₂.x n-2 + … + a_n = 0, ordenada segundo as potências decrescentes de x, com a₀, a₁, …, a_n números reais sendo a0 ¹ 0 e n inteiro positivo.

Diz-se que esta equação é recíproca se e somente se os termos equidistantes dos extremos, forem iguais ou simétricos. Sendo iguais, teremos uma equação recíproca de 1ª espécie e, sendo opostos, teremos uma equação recíproca de 2ª espécie.

Exemplos:

2×5 + 3×4 – 5×3 – 5×2 + 3x + 2 = 0 – equação recíproca de 1ª espécie
2×5 – 3×4 – 5×3 + 5×2 + 3x – 2 = 0 – equação recíproca de 2ª espécie.

Ao se deparar com uma equação recíproca, deve-se sempre verificar imediatamente se 1 ou -1 são raízes da equação, pois isto permitirá abaixar o grau da equação, através de uma divisão do primeiro membro da equação, por x ± 1, o que facilitará sobremaneira a resolução da mesma.

Seja resolver a equação recíproca 2×5 – 3×4 – 5×3 + 5×2 + 3x – 2 = 0 .
Trata-se de uma equação recíproca de 2ª espécie.
Observe que 1 é raiz da equação pois: 2.15 – 3.14 – 5.13 + 5.12 + 3.1 – 2 = 0 .

Vamos dividir o primeiro membro da equação dada por x – 1, de modo a abaixar o grau da equação.

Utilizaremos o método de Briot-Ruffini:

2 -3 -5 5 3 -2
1 2 -1 -6 -1 2 0

Briot – matemático inglês – 1817/1882 e Ruffini – matemático italiano – 1765/1822.

A equação dada pode então ser escrita na forma fatorada, como:

(x – 1). (2×4 – x3 – 6 x2 – x + 2) = 0
Logo, 2×4 – x3 – 6 x2 – x + 2 = 0

Dividindo ambos os membros por x2, vem:

2×2 – x – 6 – 1/x + 2/x2 = 0
2×2 + 2/x2 – x – 1/x – 6 = 0
2(x2 + 1/x2) – (x + 1/x) – 6 = 0

Observe agora, que:

(x + 1/x)2 = x2 + 2.x.(1/x) + 1/x2 =x2 + 1/x2 + 2

Portanto,

x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 – 2

Substituindo na equação em negrito acima, fica:

2[(x + 1/x)2 – 2] – (x + 1/x) – 6 = 0
2(x + 1/x)2 – 4 – (x + 1/x) – 6 = 0

Fazendo x + 1/x = y, vem:

2y2 – 4 – y – 6 = 0
2y2 – y – 10 = 0

Resolvendo esta equação do 2º grau, vem: y = 5/2 ou y = -2 .

Substituindo em x + 1/x = y, vem:

x + 1/x = 5/2 \ 2×2 – 5x + 2 = 0 \ x = 2 ou x = 1/2.
x + 1/x = -2 \ x2 + 2x + 1 = 0 \ (x + 1)2 = 0 \ x = -1 ou x = -1.

Portanto, o conjunto verdade ou conjunto solução da equação recíproca proposta será:

S = {1, -1, -1, 2, 5/2} = {-1, 1, 2, 5/2}

Observe que -1 é uma raiz de ordem de multiplicidade 2 ou seja, -1 é uma raiz dupla.

Fonte: Colégio São Francisco