Equações Recíprocas

PUBLICIDADE

Seja a equação racional inteira a0.x n + a1.x n-1 + a2.x n-2 + … + an = 0, ordenada segundo as potências decrescentes de x , com a0 , a1 , … , an números reais sendo a0 ¹ 0 e n inteiro positivo.

Diz-se que esta equação é recíproca se e somente se os termos eqüidistantes dos extremos, forem iguais ou simétricos. Sendo iguais, teremos uma equação recíproca de 1ª espécie e, sendo opostos, teremos uma equação recíproca de 2ª espécie.

Exemplos:

2×5 + 3×4 – 5×3 – 5×2 + 3x + 2 = 0 – equação recíproca de 1ª espécie
2×5 – 3×4 – 5×3 + 5×2 + 3x – 2 = 0 – equação recíproca de 2ª espécie.

Ao se deparar com uma equação recíproca, deve-se sempre verificar imediatamente se 1 ou -1 são raízes da equação, pois isto permitirá abaixar o grau da equação, através de uma divisão do primeiro membro da equação, por x ± 1, o que facilitará sobremaneira a resolução da mesma.

Seja resolver a equação recíproca 2×5 – 3×4 – 5×3 + 5×2 + 3x – 2 = 0 .
Trata-se de uma equação recíproca de 2ª espécie.
Observe que 1 é raiz da equação pois: 2.15 – 3.14 – 5.13 + 5.12 + 3.1 – 2 = 0 .

Vamos dividir o primeiro membro da equação dada por x – 1, de modo a abaixar o grau da equação.

Utilizaremos o método de Briot-Ruffini:

2 -3 -5 5 3 -2
1 2 -1 -6 -1 2 0

Briot – matemático inglês – 1817/1882 e Ruffini – matemático italiano – 1765/1822.

A equação dada pode então ser escrita na forma fatorada, como:

(x – 1). (2×4 – x3 – 6 x2 – x + 2) = 0
Logo, 2×4 – x3 – 6 x2 – x + 2 = 0

Dividindo ambos os membros por x2 , vem:

2×2 – x – 6 – 1/x + 2/x2 = 0
2×2 + 2/x2 – x – 1/x – 6 = 0
2(x2 + 1/x2) – (x + 1/x) – 6 = 0

Observe agora, que:

(x + 1/x)2 = x2 + 2.x.(1/x) + 1/x2 =x2 + 1/x2 + 2

Portanto,

x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 – 2

Substituindo na equação em negrito acima, fica:

2[(x + 1/x)2 – 2] – (x + 1/x) – 6 = 0
2(x + 1/x)2 – 4 – (x + 1/x) – 6 = 0

Fazendo x + 1/x = y , vem:

2y2 – 4 – y – 6 = 0
2y2 – y – 10 = 0

Resolvendo esta equação do 2º grau, vem: y = 5/2 ou y = -2 .

Substituindo em x + 1/x = y, vem:

x + 1/x = 5/2 \ 2×2 – 5x + 2 = 0 \ x = 2 ou x = 1/2.
x + 1/x = -2 \ x2 + 2x + 1 = 0 \ (x + 1)2 = 0 \ x = -1 ou x = -1.

Portanto, o conjunto verdade ou conjunto solução da equação recíproca proposta será:

S = {1, -1, -1, 2, 5/2} = {-1, 1, 2, 5/2}

Observe que -1 é uma raiz de ordem de multiplicidade 2 ou seja, -1 é uma raiz dupla.

Fonte: www.terra.com.br

Veja também

Linha Tangente

PUBLICIDADE Uma linha tangente é uma linha que apenas toca uma curva em um ponto, combinando com …

Quadrilátero

PUBLICIDADE Quadrilátero é uma figura plana que consiste em quatro pontos ou lados retos, cada um …

Método de Monte Carlo

PUBLICIDADE Definição do Método de Monte Carlo Em termos gerais, o método Monte Carlo (ou simulação Monte …

Deixe uma resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.