Binômio de Newton

O Binômio de Newton é uma fórmula matemática utilizada para expandir expressões da forma (a+b)ⁿ, onde n é um número natural. Ele permite calcular potências elevadas, como (x+2)⁷, sem realizar distribuições longas, resultando em uma soma de n+1 termos cujos coeficientes são dados por combinações (números binomiais) ou pelo Triângulo de Pascal

O binômio de Newton é um operador que utiliza fatoriais para o cálculo. Essa ferramenta é muito utilizada para o cálculo de coeficientes dos termos do tipo (x + y)ⁿ.

Isaac Newton

O cálculo do Binômio de Newton

Para calcular o Binômio de Newton, primeiro precisamos entender o fatorial. Um número fatorial é representado como n! = n (n-1) (n-2) … (2) (1), ou seja, o produto de todos os números de 1 até n.

O binômio de Newton é calculado para, n > p e ambos pertencentes ao conjunto dos Naturais.

Exemplo:

Algumas propriedades dos Binômios de Newton são:

Dois binômios de Newton são iguais quando:

São definidos os seguintes binômios:

A relação de Stiffel

A relação de Stiffel facilita no cálculo de soma de binômios de Newton mesmo numerador e denominadores consecutivos.

Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal é uma forma de organizar os binômios de Newton a fim de extrair resultados rápidos através das propriedades estabelecidas nas linhas, colunas e transversais do triângulo.

Teorema das Linhas

O triângulo de Pascal tem a soma de cada uma das linhas como potências de 2, isto é, a n-ésima linha do triângulo tem a soma igual a 2n.

Resolvendo os valores do triângulo de Pascal temos:

Teorema das Colunas

A soma de uma coluna no triângulo de pascal é dado pelo número binomial da diagonal.

Vejamos os exemplos:

Em nossos exemplos, temos as colunas em que 1+2+3 = 6 e 1+3=4

Teorema das Transversais

A soma dos números binomiais de uma transversal é igual ao binômio de Newton da linha imediatamente abaixo do Triângulo de Pascal.

Fonte: Colégio São Francisco/Luisa Boccardo Burini