Poliedros

Poliedros são nomeados de acordo com o número de faces.

Os poliedros são sólidos geométricos tridimensionais cujas faces são polígonos planos. Eles recebem seus nomes a partir da junção de um prefixo grego (que indica a quantidade) com o sufixo “-edro” (que significa face).

Um poliedro é uma forma geométrica tridimensional delimitada por faces poligonais planas, arestas retas e vértices agudos. Os poliedros matemáticos mais famosos são os cinco sólidos platônicos regulares (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro). Todos os poliedros convexos obedecem às regras da geometria.

Poliedros – Classificação

Os poliedros são categorizados principalmente pela regularidade de suas faces e simetria:

Exemplos:

Tetraedro: 4 lados
Pentaedro: 5 lados
Hexaedro: 6 lados
Heptaedro: 7 lados
Octaedro: 8 lados

Poliedros regulares 

Um poliedro é regular quando tem lados e ângulos iguais, tal como um cubo ou hexaedro (seis faces). O cubo tem seis polígonos com lados iguais com o mesmo comprimento, que por sua vez se encontram no vértice ângulos de 90 graus.

Poliedros irregulares

É um poliedro irregular que tem rostos ou ângulos desiguais.

Convexos

Dados dois pontos quaisquer do poliedro, o segmento de reta que os une, está inteiramente contido no interior do poliedro.

Não Convexos

Negação do convexo

Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum.

Veja alguns exemplos:

Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.

Fórmulas e Relações Importantes nos Poliedros:

1) Relação de Euler

Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: V + F = A + 2 em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.

Observe os exemplos:

2) Poliedros platônicos

Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:

a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
d) for válida a relação de Euler.

Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico. Verifique que todos os poliedros regulares são platônicos, sendo que as faces são polígonos regulares. Alguns autores não fazem a diferença entre poliedros regulares e platônicos, considerando sinônimos esses dois conceitos.

3) Contagem das arestas

a) Contagem pelos tipos de faces.

Vamos representar por f 3 o número de faces triangulares do poliedro, por f ₄ o número de faces quadrangulares, por f ₅ o número de faces pentagonais, etc…Se contarmos as arestas de cada uma das faces, teremos o dobro das arestas do poliedro, já que cada aresta serve para duas de suas faces.

Logo, teremos:

b) Contagem pelos tipos de ângulos poliédricos Vamos representar por v ₃ o número de vértices com 3 arestas do poliedro, por v ₄ o número de vértices com 4 arestas, por v ₅ o número de vértices com 5 arestas, etc…Se contarmos as arestas de cada um dos vértices, teremos o dobro das arestas do poliedro, já que cada aresta serve para dois vértices. Logo, teremos:

4) Cálculo do número total de Diagonais de um poliedro convexo.

 Sendo  total das diagonais das faces do poliedro.

Lembrete: A contagem do número de diagonais de uma das faces é feita pela fórmula 

n representa o número de arestas da face.

5) Soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro S = 360º . ( V – 2)

Fonte: Colégio São Francisco/www.magiadamatematica.com