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Fórmula de Euler

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O que é ótimo na fórmula de Euler é que ela pode ser entendida por quase qualquer pessoa, pois é tão simples de escrever.

A fórmula de Euler pode ser entendida por alguém no sétimo ano, mas também é interessante o suficiente para ser estudada em universidades como parte da área matemática chamada topologia.

A fórmula de Euler lida com formas chamadas Poliedros.

Um poliedro é uma forma sólida fechada que possui faces planas e arestas retas. Um exemplo de um poliedro seria um cubo, enquanto um cilindro não é um poliedro, pois possui bordas curvas.

Diz-se que em 1750, Euler derivou a conhecida fórmula V + F – E = 2 para descrever os poliedros.

À primeira vista, a fórmula de Euler parece bastante trivial.

Arestas, faces e vértices são considerados pela maioria das pessoas como os elementos característicos do poliedro.

Surpreendentemente, no entanto, a marcação concisa de tais características não foi apresentada até a década de 1700.

Leonhard Euler, reconhecendo a deficiência, iniciou sua investigação do poliedro geral e a relação entre seus elementos

Euler enfatizou cinco componentes principais de um poliedro na tentativa de encontrar a relação entre eles.

Esses cinco componentes eram vértices (um local onde duas ou mais arestas se encontram), faces (contidas e definidas por três ou mais arestas), arestas (definidas como “arestas ou arestas vivas” de um poliedro), lados ( usado para se referir aos lados de cada face) e ângulos planos (o ângulo encontrado em um vértice, contido por 2 lados).

Essas definições, em contraste com as características nas quais Euclides se baseara anteriormente, ângulos retos e bases, levaram a muito mais relações possíveis entre as características.

Qual é a fórmula de Euler?

O matemático suíço do século XVIII Leonhard Euler desenvolveu duas equações que passaram a ser conhecidas como fórmula de Euler.

Uma dessas equações relaciona o número de vértices, faces e arestas em um poliedro.

A outra fórmula relaciona as cinco constantes matemáticas mais comuns entre si. Essas duas equações classificaram a segunda e a primeira, respectivamente, como os resultados matemáticos mais elegantes, de acordo com “O Inteligente Matemático”.

A fórmula de Euler para poliedros também é chamada de teorema de Euler-Descartes. Ele afirma que o número de faces, mais o número de vértices, menos o número de arestas em um poliedro sempre é igual a dois.

Está escrito como F + V – E = 2. Por exemplo, um cubo tem seis faces, oito vértices e 12 arestas. Conectando-se à fórmula de Euler, 6 + 8 – 12 é de fato igual a dois.

Há exceções a essa fórmula, porque ela só é válida para um poliedro que não se cruza. Formas geométricas conhecidas, incluindo esferas, cubos, tetraedros e octógonos, são todos poliedros que não se cruzam.

Um poliedro de interseção seria criado, no entanto, se alguém juntasse dois dos vértices de um poliedro sem interseção. Isso resultaria no poliedro com o mesmo número de faces e arestas, mas com menos um vértice, portanto, é óbvio que a fórmula não é mais verdadeira.

Por outro lado, uma versão mais geral da fórmula de Euler pode ser aplicada aos poliedros que se cruzam. Essa fórmula é frequentemente usada em topologia, que é o estudo de propriedades espaciais. Nesta versão da fórmula, F + V – E é igual a um número chamado característica de Euler, que geralmente é simbolizado pela letra grega chi. Por exemplo, o toro em forma de anel e a faixa Mobius têm a característica de zero de Euler.

A característica de Euler também pode ser menor que zero.

A fórmula do segundo Euler inclui as constantes matemáticas e, i, ?, 1 e 0. E, que é freqüentemente chamado número de Euler e é um número irracional que arredonda para 2,72.

O número imaginário i é definido como a raiz quadrada de -1.

Pi (?), a relação entre o diâmetro e a circunferência de um círculo, é de aproximadamente 3,14, mas, como e, é um número irracional.

Essa fórmula é escrita como e(i*?) = 0.

Euler descobriu que se ? foi substituído por x na identidade trigonométrica e(i*?) = cos (x) + i*sin(x), o resultado era o que agora conhecemos como a fórmula de Euler.

Além de relacionar essas cinco constantes fundamentais, a fórmula também demonstra que aumentar um número irracional à potência de um número irracional imaginário pode resultar em um número real.

Fórmula de Euler – Matemática

A fórmula de Euler, um dos dois importantes teoremas matemáticos de Leonhard Euler.

O primeiro é uma invariância topológica que relaciona o número de faces, vértices e arestas de qualquer poliedro.

Está escrito F + V = E + 2, onde F é o número de faces, V o número de vértices e E o número de arestas.

Um cubo, por exemplo, possui 6 faces, 8 vértices e 12 arestas, e atende a esta fórmula.

A segunda fórmula, usada em trigonometria, diz eix = cos x + isin x, onde e é a base do logaritmo natural ei é a raiz quadrada de -1 (ver número irracional).

Quando x é igual a p ou 2p, a fórmula produz duas expressões elegantes que relacionam p, e, e i: eip= -1 e e2ip = 1.

O que é um ângulo de Euler?

Um ângulo de Euler é um termo que representa uma rotação tridimensional e os três ângulos separados que compõem a rotação.

Os ângulos de Euler podem ser aplicados a vários aspectos da matemática, engenharia e física.

Eles são usados na construção de aparelhos como aviões e telescópios.

Devido à matemática envolvida, os ângulos de Euler são frequentemente representados algebricamente.

Abordar a terminologia dos ângulos de Euler pode ser complicado devido à inconsistência generalizada no campo. Uma maneira de identificar e rastrear os ângulos é usando um conjunto padrão de termos para eles.

Tradicionalmente, o ângulo de Euler aplicado primeiro é chamado de cabeçalho. O ângulo aplicado em segundo lugar é a atitude, enquanto o terceiro e o último ângulo aplicado são chamados de banco.

Um sistema de coordenadas para as coordenadas e rotações dos ângulos de Euler também é necessário para medir o objeto.

Primeiro, é importante estabelecer a ordem de combinar ângulos.

A ordem das rotações em 3-d geralmente usa uma representação xyz, com cada letra representando um plano. Isso permite 12 seqüências de ângulos diferentes.

Cada ângulo de Euler pode ser medido em relação ao solo ou em relação ao objeto que está sendo girado. Quando esse fator é considerado, o número de seqüências possíveis dobra para 24.

Quando o projeto pede uma representação em coordenadas absolutas, geralmente faz sentido medir em relação ao solo. Quando a tarefa exige o cálculo da dinâmica do objeto, cada ângulo de Euler deve ser medido em termos das coordenadas do objeto em rotação.

Geralmente, um ângulo de Euler fica mais claro com um desenho. Essa pode ser uma maneira simples de detalhar os ângulos, mas pode se complicar quando uma segunda rotação é acionada.

Um segundo conjunto de três ângulos de Euler agora deve ser medido e eles não podem simplesmente ser adicionados ao primeiro conjunto, porque a ordem das rotações é crítica. Dependendo do eixo no qual o pivô ocorre, uma rotação pode se cancelar naturalmente.

Para manter cada ângulo de Euler e suas rotações correspondentes retos, uma matriz algébrica é frequentemente empregada. Uma rotação em torno de um eixo é representada por um vetor em uma direção positiva, se a rotação ocorreu no sentido anti-horário. Tomando o ponto onde xey se cruzam no gráfico, ele girará para outro ponto, representando um novo ponto usando sin e cosseno.

Em uma matriz, cada ângulo de Euler recebe uma linha separada.

De acordo com o teorema da rotação de Euler, qualquer rotação pode ser descrita em três ângulos.

Deste modo, as descrições são frequentemente listada em uma matriz de rotação e podem ser representados por números – tais como a, b, c e – para mantê-las em frente.

Fonte: brilliant.org/www.ics.uci.edu/www.math.ubc.ca/www.wisegeek.org/mathworld.wolfram.com/www.geogebra.org/ww.mathscareers.org.uk/www.ams.org

 

 

 

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