Progressão Aritmética

Progressão Aritmética – O que é

Uma progressão é uma sucessão de números. Nessa sequência, existe um número que a inicia, chamado de constante  e para obter o próximo número, temos uma razão r ∈ R.

A Progressão Aritmética, ou PA, é uma sequência de números em que o n-ésimo termo a_i pode ser descrito como:

a_n = r + a _n-1 tal que a_n, r, a _n-1 ∈ R

Para descobrir qual é a razão, basta subtrairmos dois termos sequenciais:

a_n = r + a _n-1 ⇒ r = a_{n –} a _n-1

A forma mais generalizada de escrevermos uma PA é utilizando também o seu primeiro termo, a constante:

a_n = a₁ + (n – 1) * r, para n ∈ N

Propriedade de uma PA

Para descobrir um termo n da PA sendo que já sabemos o termo m dela e sua razão, basta equacionar a forma geral para ambos os termos a_n e a_m:

Agora, para isolar o termo desconhecido, iremos subtrair as equações (1) – (2)

Então teremos a forma geral:

Utilizando a equação descoberta acima, observamos que um termo pode ser obtido através da média do posterior e do anterior:

então

Soma de termos finitos de uma PA

Queremos descobrir qual é a soma S p,q dos termos de uma progressão aritmética entre ap e aq.

Primeiramente, vamos avaliar que a soma dos termos equidistantes dos extremos da Progressão Aritmética são equivalentes a soma dos termos extremos, isto é, em uma soma S_{1, n} vamos ver as seguintes somas:

Assim em diante!

Logo, pela fórmula do termo mais generalizada, podemos representar a soma S_p,q como:

Então:

Fonte: Colégio São Francisco/Luisa Boccardo Burini