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Critérios de Divisibilidade

Sobre a divisibilidade

Em algumas situações precisamos apenas saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de obter o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 29, 31 e 49.

Divisibilidade no browser Netscape

Use o nosso Verificador de divisão exata para saber se um número inteiro M é divisível por um outro inteiro N. Entre com dois números inteiros, um em cada caixa do formulário e clique no botão apropriado. Já existem dois números para teste do programa.

No. maior= No. menor=
A outra forma usa o browser e você deve digitar a linha de comando abaixo, exatamente como está, dentro da caixa com o nome do arquivo que está sendo acessado no momento (location=endereço):

javascript: M % NPara saber se 960 é divisível por 45, digitamos:

javascript: 960 % 45A seguir pressione ENTER e você verá uma nova janela com um número! Se o número for zero a divisão será exata, mas se for diferente de zero a divisão não será exata. Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.

Alguns critérios de divisibilidade

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.

ivisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.

Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.

Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 7

Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:

16592 Número sem o último algarismo
-16 Dobro de 8 (último algarismo)
16576 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

1657 Número sem o último algarismo
-12 Dobro de 6 (último algarismo)
1645 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

164 Número sem o último algarismo
-10 Dobro de 5 (último algarismo)
154 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

15 Número sem o último algarismo
-8 Dobro de 4 (último algarismo)
7 Diferença

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.

Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:

426 Número sem o último algarismo
-2 Dobro do último algarismo
424 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

42 Número sem o último algarismo
-8 Dobro do último algarismo
34 Diferença

A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.

Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.

Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).

Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.

Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:

Número 1 3 5 3
Ordem ímpar par ímpar par

O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.

Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:

Número 2 9 4 5 8
Ordem ímpar par ímpar par ímpar

A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.

Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:

Número 2 5 4 3
Ordem ímpar par ímpar par

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si-Sp não é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.

Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:

Número 6 5 2 0 8
Ordem ímpar par ímpar par ímpar

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença Si-Sp=11, o número 65208 é divisível por 11

Divisibilidade por 13

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.

Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.

1656 Número sem o último algarismo
+8 Quatro vezes o último algarismo
1664 Soma

Repete-se o processo com este último número.

166 Número sem o último algarismo
+16 Quatro vezes o último algarismo
182 Soma

Repete-se o processo com este último número.

18 Número sem o último algarismo
+8 Quatro vezes o último algarismo
26 Soma

Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.

Divisibilidade por 16

Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.

Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é divisível por 16.

Divisibilidade por 17

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.

Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:

1859 Número sem o último algarismo
-40 Cinco vezes o último algarismo
1819 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

181 Número sem o último algarismo
-45 Cinco vezes o último algarismo
136 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

13 Número sem o último algarismo
-30 Cinco vezes o último algarismo
-17 Diferença

A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.

Divisibilidade por 19

Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.

Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.

16592 Número sem o último algarismo
+16 Dobro do último algarismo
16608 Soma

Repete-se o processo com este último número.

1660 Número sem o último algarismo
+16 Dobro do último algarismo
1676 Soma

Repete-se o processo com este último número.

167 Número sem o último algarismo
+12 Dobro do último algarismo
179 Soma

Repete-se o processo com este último número.

17 Número sem o último algarismo
+18 Dobro do último algarismo
35 Soma

Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.

Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:

427 Número sem o último algarismo
+10 Dobro do último algarismo
437 Soma

Repete-se o processo com este último número.

43 Número sem o último algarismo
+14 Dobro do último algarismo
57 Soma

Repete-se o processo com este último número.

5 Número sem o último algarismo
+14 Dobro do último algarismo
19 Soma

Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.

Divisibilidade por 23

Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.

Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.

18590 Número sem o último algarismo
+63 Dobro do último algarismo
18653 Soma

Repete-se o processo com este último número.

1865 Número sem o último algarismo
+21 Dobro do último algarismo
1886 Soma

Repete-se o processo com este último número.

188 Número sem o último algarismo
+42 Dobro do último algarismo
230 Soma

Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.

Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.

Divisibilidade por 29

Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.

Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?

859 Número sem o último algarismo
-24 Dobro do último algarismo
835 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

83 Número sem o último algarismo
-15 Dobro do último algarismo
68 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

6 Número sem o último algarismo
-24 Dobro do último algarismo
-18 Diferença

A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.

Divisibilidade por 31

Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.

Exemplo: 8598 é divisível por 31?

859 Número sem o último algarismo
+24 Triplo do último algarismo
883 Soma

Repete-se o processo com este último número.

88 Número sem o último algarismo
+9 Triplo do último algarismo
97 Soma

Repete-se o processo com este último número.

A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.

Divisibilidade por 49

Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.

Exemplo: 8598 é divisível por 49?

859 Número sem o último algarismo
+40 Cinco vezes o último algarismo
899 Soma

Repete-se o processo com este último número.

89 Número sem o último algarismo
+45 Cinco vezes o último algarismo
134 Soma

Repete-se o processo com este último número.

13 Número sem o último algarismo
+20 Cinco vezes o último algarismo
33 Soma

A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.

Fonte: pessoal.sercomtel.com.br

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

por 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,e 13

2

Um número é divisível por 2 quando é par (o algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6, 8).
Por exemplo são divisíveis por 2 : 46, 188, 234...

3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é 0, 3, 6 ou 9 (ou então noves fora dá 0, 3 ou 6).
Por exemplo: 147 - 1+4+7= 12 (Pode-se somar novamente ) e 1+2= 3.

167265 - 1 + 6 + 7 + 2 + 6 + 5 = 27 e 2 + 7 = 9 é divisível.

65926 - 6 + 5 + 9 + 2 + 6 = 28 e 2 + 8 = 10 não é divisível por 3.

4

Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível or 4.

Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4 - deve ser um número par e a sua metade continuar par.

Por exemplo: 758836 - 36 é par e metade de 36 é 18 que é par então o número é divisível por 4.

9881654 - 54 é par mas metade não é o número não é divisível por 4.

5

Um número é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5.

6

Se um número for divisível por 2 e por 3 é divisível por 6.

7

Duplica-se o algarismo das unidades e subtrai-se do resto do número . Se o resultado for divisível por 7 o número é divisível por 7.
Por exemplo:
245 - 5 x 2 = 10 e depois 24 - 10 = 14 então é divisível por 7.
1589 - 9 x 2 = 18 e 158 - 18 = 140 então é divisível por 7 .

204568 - 8 x 2 = 16 e 20456 - 16 = 20440 e aplicando novamente
0 x 2 = 0 2044 - 0 = 2044 e novamente
4 x 2 = 8 204 - 8 = 196 e novamente
6 x 2 = 12 19 - 12 = 7
então é divisível por 7.

8

Se os 3 últimos algarismos forem divisíveis por 8 então o número é divisível por 8. (3 últimos pares , a sua metade par e novamente metade par).

772673290168 - 168 é par , 168:2=84 é par e 84:2= 32 é par então o número inicial é divisível por 8.

9

Somar os algarismos do número e verificar se a soma é divisível por nove ( ou fazer os noves fora e dar zero).

Por exemplo. 3464514 - 3+4+6+4+5+1+4=27 e 2 + 7 = 9 então é divisível por 9

4524562 - 4+5+2+4+5+6+2 =28 e 2 + 8= 10 então não é divisível por 9.

10

Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades é zero.

11

Soma o 1º, o 3º, o 5º, o 7º algarismo ....
Soma o 2º, o 4º, o 6º, o 8º algarismo ....

Se a diferença for múltiplo de 11 (incluindo o zero) então o número é divisível por 11.

Por exemplo: 94186565 - 9 + 1 + 6 + 6 = 22
4 + 8 + 5 + 5 = 22 e 22 - 22 = 0 então o número é divisível por 11.

4723866862 - 4+2+8+6+6 = 26
7+3+6+8+2 = 26 e 26-26 = 0 então o número é divisível por 11

12

Se o número for divisível por 3 e por 4 é divisível por 12.

13

Multiplica o algarismo das unidades por 9 e subtrai-o do restante número. Se o resultado for múltiplo de 13 então o número inicial é múltiplo de 13.

Por exemplo:

1105 - 5 x9=45 e 110 - 45 = 65 ( se ainda tiveres dúvidas podes fazer novamente.... ) que é múltiplo de 13 - 13x5= 65

Fonte: www.malhatlantica.pt

Critérios de divisibilidade

REGRAS DE DIVISIBILIDADE

DIVISIBILIDADE POR 2

Um número é divisível por 2 quando é par.

Números pares são os que terminam em 0, ou 2, ou 4, ou 6 , ou 8.

Ex : 42 - 100 - 1.445.086 - 8 - 354 - 570

DIVISIBILIDADE POR 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3.

Ex : 123 (S= 1 + 2 + 3 = 6) - 36 (S=9) - 1.478.391 ( S=33) - 570 (S=12)

DIVISIBILIDADE POR 4

Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4.

Ex : 956 - 844 - 1.336 - 120 - 8.357.916 - 752 - 200

DIVISIBILIDADE POR 5

Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5 .

Ex : 475 - 800 - 1.267.335 - 10 - 65

DIVISIBILIDADE POR 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e3 ao mesmo tempo.

Ex : 36 - 24 - 126 - 1476

DIVISIBILIDADE POR 7

Tomar o último algarismo e calcular seu dobro. Subtrair esse resultado do número formado pelos algarismos restantes. Se o resultado for divisível por 7 então, o número original também será divisível por 7.
Ex1 :

238 : 8 x 2 = 16

23 – 16 = 7 : como 7 é divisível por 7 , 238 também é divisível.

693 : 3 x 2 = 6

69 – 6 = 63

63 : 3 x 2 = 6

6 – 6 = 0 : como 0 é divisível por 7, 693 também é divisível.

Ex2 :

235 : 5 x 2 = 10

23 – 10 = 13 : como 13 não é divisível por 7, 235 também não é divisível.

DIVISIBILIDADE POR 8

Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formam um número divisível por 8.
Ex : 876.400 - 152 - 245.328.168

DIVISIBILIDADE POR 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 9.

Ex : 36 - 162 - 5463 - 5.461.047

DIVISIBILIDADE POR 10

Um número é divisível por 10 quando termina em 0.

Ex : 100 - 120 - 1.252.780 - 1.389.731.630

DIVISIBILIDADE POR 11

Quando a diferença entre as somas dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par, a partir da

direita for múltipla de 11.

Ex : 7.973.207

S (ordem ímpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23

S (ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12

diferença = 11

Fonte: www.sosmatematica.com

Critérios de divisibilidade

Um número inteiro A é divisível por um inteiro (não nulo) B se, e somente se, existir k inteiro tal que:

A = kB

A seguir estão apresentados critérios de divisibilidade (regras práticas) para números inteiros de 1 até 12, representados em sua forma decimal. Outros números naturais maiores que 12 também têm regras de divisibilidade, mas em geral pouco práticas.

Divisibilidade por 1

Regra

Todos os números inteiros são divisíveis por 1.


Exemplos

0
1
430
googol

Divisibilidade por 2

Regra

Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par.

Exemplos

54
1000
8318247132847138471389478213718247138

Divisibilidade por 3

Regra

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for multiplo de 3.

Exemplos

54 -> 5+4 = 9 -> 9:3 = 3
1245 -> 1 + 2 + 4 + 5 = 12 -> 1 + 2 = 3
14348907 -> 1 + 4 + 3 + 4 + 8 + 9 + 0 + 7 = 36 -> 3 + 6 = 9 -> 9:3=3

Divisibilidade por 4

Regra

São divisíveis por 4 todos os números cujo penúltimo algarismo seja par e o último seja 0, 4 ou 8. Também são divisíveis por 4 os números cujo penúltimo algarismo seja ímpar e o último seja 2 ou 6.

Exemplos

960 -> 0 é múltiplo de 4 e 6 é par.
89u324614168471847139847138947189436 -> 3 é ímpar e o último número é 6.

Divisibilidade por 5

Regra

Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

Exemplos

125
150000000000
814741398590138590538565455

Divisibilidade por 6

Regra

São múltiplos de 6 todos os números pares divisíveis por 3.

Exemplos

54 -> 5 + 4 = 9 -> 9:3 = 3
1350 - > 1 + 3 + 5 + 0 = 9 -> 9:3 = 3
174696 -> 1 + 7 + 4 + 6 + 9 + 6 = 33 -> 3 + 3 = 6 -> 6:3 = 2

Divisibilidade por 7

Regra

Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos forma um número divisível por 7. (ver também: Grade de Toja)

Exemplos

35 -> 3 - 10 = -7 -> -7:7 = -1
581 -> 58 - 2 = 56 -> 56:7 = 8
952 -> 95 - 4 = 91 -> 91:7 = 13
7105 -> 710 - 10 = 700 -> 700:7 = 100

Divisibilidade por 8

Regra

São divisíveis por 8 todos os números cujo antepenúltimo algarismo seja par e os dois últimos formem um múltiplo de 8. Também são divisíveis por 8 os números com antepenúltimo algarismo ímpar e os dois últimos formando um múltiplo de 4 que não seja divisível por 8.

Exemplos

10840 -> 8 é par e 40 é múltiplo de 8
15000 -> 0 é par e 00 é múltiplo de 8 (como também de qualquer número)
49736 -> 7 é ímpar e 36 é múltiplo de 4, mas não de 8

Divisibilidade por 9

Regra

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.

Exemplos

72 -> 7 + 2 = 9
1494 -> 1 + 4 + 9 + 4 = 18 -> 1 + 8 = 9
581472 -> 5 + 8 + 1 + 4 + 7 + 2 = 27 -> 2 + 7 = 9

Divisibilidade por 10

Regra

Um número é divisível por 10 quando termina em zero.

Exemplos

50
15340
47318745787357897075043758407540570475014875050

Divisibilidade por 11

Regra

Um número é divisível por 11 caso a diferença entre soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar formar um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, etc.) são múltiplos de 11.

Exemplos

286 -> 2 + 6 = 8; 8 - 8 = 0 -> 0:11 = 0; 286:11 = 26
1331 -> 1 + 3 = 4; 3 + 1 = 4; 4 - 4 = 0 -> 0:11 = 0; 1331:11 = 121
14641 -> 1 + 6 + 1 = 8; 4 + 4 = 8; 8 - 8 = 0 -> 0:11 = 0; 14641:11 = 1331

Divisibilidade por 12

Regra

Um número é divisível por 12 caso seja também divisível por 3 e por 4.

Exemplos

756 = 756:3 = 252; 756:4 = 189; 756:12 = 63
672 = 6+7+2=15; 15:3 = 5; 7 é ímpar e 2 é o último número; 672:12 = 56

Outros critérios de divisibilidade

Potências de 2

Um número é divisível por 2N quando seus ultimos N algarismos forem 0 ou divisiveis por 2N. Alguns exemplos:

Divisibilidade por 16: (24) quando os últimos quatro algarismos forem 0 ou divisíveis por 16;
Divisibilidade por 32: (25) quando os últimos cinco algarismos forem 0 ou divisíveis por 32;
Divisibilidade por 64: (26) quando os últimos seis algarismos forem 0 ou divisíveis por 64;

Números compostos de fatores distintos, desde que um fator não seja múltiplo do outro
Um número será divisível por outro número nessas condições caso seja divisível também por cada um dos fatores que o compõem. Alguns exemplos:

Divisibilidade por 14: quando é divisível por 7 e por 2 (7 x 2 = 14);
Divisibilidade por 15: quando é divisível por 3 e por 5 (3 x 5 = 15)
Divisibilidade por 24: quando é divisível por 3 e por 8 (3 x 8 = 24)
Divisibilidade por 35: quando é divisível por 7 e por 5 (7 x 5 = 35)

Entretanto, a regra não pode ser aplicada para números compostos de fatores múltiplos um do outro, como 16 (8 x 2) uma vez que todo múltiplo de 8 também é múltiplo de 2.

Fonte: pt.wikipedia.org

Critérios de divisibilidade

Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

Exemplos:

1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo:

234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

Exemplo:

1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5,

Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.

Exemplos:

1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Exemplos:

1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.

Exemplos:

1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo:

2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.

Exemplos:

1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.

O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.

Exemplos:

1) 87549
Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
Si-Sp = 22-11 = 11
Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.

2) 439087
Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
Si-Sp = 10-21
Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.
Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.

Divisibilidade por 12

Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.

Exemplos:

1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).

Divisibilidade por 15

Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.

Exemplos:

1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).

Divisibilidade por 25

Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.

Exemplos:

200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.

Fonte: www.somatematica.com.br

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