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Equação do 2º grau

Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .

Exemplos:

Equação do 2º grau

Classificação

- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.

1º caso: b=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta

x²-9=0 » x²=9 » x= Equação do 2º grau» x= Equação do 2º grau

2º caso: c=0

Considere a equação do 2º grau imcompleta:

x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0 » x=0,9

3º caso: b=c=0

2x²=0 » x=0

Resolução de equações do 2º grau:

A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.

- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.

Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?

Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:

Multiplicamos os dois membros por 4a:

4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx=-4ac

Somamos b² aos dois membros:

4a²x²+4abx+b²=b²-4ac

Fatoramos o lado esquedo e chamamos de Equação do 2º grau(delta) b²-4ac:

(2ax+b)²= Equação do 2º grau

2ax+b= Equação do 2º grau

2ax=-b Equação do 2º grau

Logo:

Equação do 2º grau ou Equação do 2º grau

Fórmula de Bháskara

Equação do 2º grauEquação do 2º grau

Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:

1) 3x²-7x+2=0

a=3, b=-7 e c=2

Equação do 2º grau= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25

Substituindo na fórmula:

Equação do 2º grauEquação do 2º grau

Equação do 2º grauEquação do 2º grau

Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

Equação do 2º grau

2) -x²+4x-4=0

a=-1, b=4 e c=-4

Equação do 2º grau= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0

Sustituindo na fórmual de Bháskara:

Equação do 2º grau » x=2

Equação do 2º grau

- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( )

3) 5x²-6x+5=0

a=5 b=-6 c=5

a=5 b=-6 c=5

Equação do 2º grau= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64

Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.

Logo: Equação do 2º grau» vazio

Propriedades

Equação do 2º grau

Relações entre coeficientes e raízes

Equação do 2º grauEquação do 2º grau

Vamos provar as relações descritas acima:

Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:

Equação do 2º grauEquação do 2º grau

A soma das raízes será:

Equação do 2º grau

Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

Equação do 2º grau

O produto das raízes será:

Equação do 2º grau

Equação do 2º grau

Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

Equação do 2º grau

Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.

Obtendo: Equação do 2º grau

Substituindo por Equação do 2º grau

Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:

x² - Sx + P = 0

Exemplos:

1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:

a) x² - 4x + 3=0

Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:

Equação do 2º grauEquação do 2º grau

b) 2x² - 6x -8 =0

Sendo a=2, b=-6 e c=-8

Equação do 2º grauEquação do 2º grau

c) 4-x² = 0

Sendo a=-1, b=0 e c=4:

Equação do 2º grauEquação do 2º grau

Fonte: www.exatas.hpg.ig.com.br

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