Grandezas inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal que:
1. A professora de um colégio, tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos, dando a mesma quantidade de livros para cada aluno.
o melhor aluno receberá 24 livros
cada um dos 2 melhores alunos receberá 12 livros
cada um dos 3 melhores alunos receberá 8 livros
cada um dos 4 melhores alunos receberá 6 livros
cada um dos 6 melhores alunos receberá 4 livros
| Alunos escolhidos | Livros para cada aluno |
|---|---|
| 1 | 24 |
| 2 | 12 |
| 3 | 8 |
| 4 | 6 |
| 6 | 4 |
De acordo com a tabela, a quantidade de alunos escolhidos e a quantidade de livros que cada aluno receberá, são grandezas que variam sendo que uma depende da outra e se relacionam da seguinte forma:
1. Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber cai para a metade.
2. Se o número de alunos triplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a terça parte.
3. Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a quarta parte.
4. Se o número de alunos sextuplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a sexta parte.
Sob estas condições, as duas grandezas envolvidas (número de alunos escolhidos e número de livros distribuídos) são grandezas inversamente proporcionais.
Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 6.
Notemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:
Se a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 6, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 4. Observemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:
Representamos tais grandezas inversamente proporcionais com a função f(x)=24/x, apresentada no gráfico
2. Um automóvel se desloca de uma cidade até uma outra localizada a 120 Km da primeira. Se o percurso é realizado em:
1 hora, velocidade média de 120 Km/h
2 horas, velocidade média de 60 Km/h
3 horas, velocidade média de 40 Km/h
A unidade é Km/h=quilômetro por hora e uma tabela da situação
é:
| Velocidade (Km/h) | Tempo (h) |
|---|---|
| 120 | 1 |
| 60 | 2 |
| 40 | 3 |
De acordo com a tabela, o automóvel faz o percurso em 1 hora com velocidade média de 120 Km/h. Quando diminui a velocidade à metade, ou seja 60 Km/h, o tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra e quando diminui a velocidade para a terça parte, 40 Km/h o tempo gasto para realizar o mesmo percurso triplica.
Para percorrer uma mesma distância fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, são inversamente proporcionais.
Fonte: pessoal.sercomtel.com.br
Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo
| Velocidade (m/s) | Tempo (s) |
|---|---|
| 5 | 200 |
| 8 | 125 |
| 10 | 100 |
| 16 | 62,5 |
| 20 | 50 |
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:
Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.
5 m/s ----> 200s
10 m/s ----> 100s
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta
parte.
5 m/s ----> 200s
20 m/s ----> 50s
Assim:
|
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente
proporcionais quando |
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.
Fonte: somatematica.com.br
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira.
Um carro faz um percurso em:
* 1 hora com velocidade de 90km/h
* 2 horas com velocidade de 45km/h
* 3 horas com velocidade de 30km/h
Então, o tempo e a velocidade são grandezas inversamente proporcionais, conforme mostrado no exemplo acima.
Fonte: portalmatematico.com