Facebook do Portal São Francisco
Google+
+ circle
Home  Logaritmos  Voltar

Logaritmos



Um pouco da História dos Logaritmos

Os logaritmos, como instrumento de cálculo, surgiram para realizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração.

Napier foi um dos que impulsionaram fortemente seu desenvolvimento, perto do início do século XVII. Ele é considerado o inventor dos logaritmos, muito embora outros matemáticos da época também tenham trabalhado com ele.

Já antes dos logaritmos, a simplificação das operações era realizada através das conhecidas relações trigonométricas, que relacionam produtos com somas ou subtrações. Esse processo de simplificação das operações envolvidas passou a ser conhecido como prostaférese, sendo largamente utilizado numa época em que as questões relativas à navegação e à astronomia estavam no centro das atenções. De fato, efetuar multiplicações ou divisões entre números muito grandes era um processo bastante dispendioso em termos de tempo. A simplificação, provocada pela prostaférese, era relativa e, sendo assim, o problema ainda permanecia.

O método de Napier baseou-se no fato de que associando aos termos de uma progressão geométrica

b, b2, b3, b4, b5, … , bn, …

os termos da progressão aritmética

1, 2, 3, 4, 5, ... , n, ...

então ao produto de dois termos da primeira progressão, bm.bp, está associada a soma m+p dos termos correspondentes na segunda progressão.

Considerando, por exemplo,

Logaritmos

Para efetuar, por exemplo, 256 x 32, basta observar que:

256 na segunda linha corresponde a 8 na primeira;
32 na segunda linha corresponde a 5 na primeira;

como 8+5=13,

13 na primeira linha corresponde a 8192 na segunda.
Assim, 256x32=8192 resultado esse que foi encontrado através de uma simples operação de adição.

A fim de que os números da progressão geométrica estivessem bem próximos, para ser possível usar interpolação e preencher as lacunas entre os termos na correspondência estabelecida, evitando erros muito grosseiros, Napier escolheu para razão o número Logaritmos = 0,9999999, que é bem próximo de 1. Segundo Eves, para evitar decimais, ele multiplicava cada potência

por 107. Então, se Logaritmos , ele chamava L de "logaritmo" do número N.

Assim, o logaritmo de Napier de é 0 e o de Logaritmos é 1.

Enquanto Napier trabalhava com uma progressão geométrica onde o primeiro termo era 107.b e a razão b, ao que parece, de forma independente, Bürgi também lidava com o problema dos logaritmos.

Bürgi empregou uma razão um pouco maior do que 1, qual seja 1,0001=1+10-4. O primeiro termo de sua PG era 108 e ele desenvolveu uma tabela com 23027 termos.

Como Napier, Bürgi considerou uma PG cuja razão era muito próxima de 1, a fim de que os termos da seqüência fossem muito próximos e os cálculos pudessem ser realizados com boas aproximações.

Posteriormente, Napier, juntamente com Briggs, elaboraram tábuas de logaritmos mais úteis de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma potência conveniente de 10, nascendo assim os logaritmos briggsianos ou comuns, ou seja, os logaritmos dos dias de hoje.

Ainda segundo Eves, durante anos ensinou-se a calcular com logaritmos na escola média ou no início dos cursos superiores de matemática; também por muitos anos a régua de cálculo logarítmica foi o símbolo do estudante de engenharia do campus universitário.

Hoje, porém, com o advento das espantosas e cada vez mais baratas e rápidas calculadoras, ninguém mais em sã consciência usa uma tábua de logaritmos ou uma régua de cálculo para fins computacionais. O ensino dos logaritmos, como um instrumento de cálculo, está desaparecendo das escolas, os famosos construtores de réguas de cálculo de precisão estão desativando sua produção e célebres manuais de tábuas matemáticas estudam a possibilidade de abandonar as tábuas de logaritmos. Os produtos da grande invenção de Napier tornaram-se peças de museu.

A função logarítmica, porém, nunca morrerá pela simples razão de que as variações exponencial e logarítmica são partes vitais da natureza e da análise. Conseqüentemente, um estudo das propriedades da função logarítmica e de sua inversa, a função exponencial, permanecerá sempre uma parte importante do ensino da matemática.

Recentemente, no século XX, com o desenvolvimento da Teoria da Informação, Shannon descobriu que a velocidade máxima Cmáx - em bits por segundo - com que sinais de potência S watts podem passar por um canal de comunicação, que permite a passagem, sem distorção, dos sinais de freqüência até B hertz, produzindo um ruído de potência máxima N watts, é dada por:

Logaritmos

Fonte: www.cepa.if.usp.br

Logaritmos

Logaritmos

Então o expoente 3 aqui ao lado nada mais é que o logaritmo de 8 na base 2.

Vamos logo ver um exemplo de exercício bem simples ? Vamos lá!

1) Calcule log2 8.

Vimos que em português claro isto significa: calcule o logaritmo de 8 na base 2.

E, em português mais claro ainda, isto significa:qual o expoente que devemos usar para que o 2 elevado a este expoente nos dê o número 8 ?

Logaritmos 002

Logaritmos

Vamos ver se a gente está entendendo do assunto...

2) Calcule log4 16 .
Vimos que em bom português isto significa: Qual o (__________) a que devemos elevar a base (__________) para obtermos o número 16. Vimos ainda que matematicamente escreve-se assim: 4x = 16.

Para calcular basta (__________) o 16 e substituirmos na equação. Assim, ficaremos com 4x = 42 pois 16 fatorado nos dá exatamente 42.

Finalmente vimos que em equações deste tipo (4x = 42) , cujas bases das potências são iguais, basta igualarmos os expoentes: x=2.
Resposta: 2 ou log4 16 = 2 pois 42 = 16

- "Tô começando a entender !!!!"

Logaritmos 003

Atenção

Parabéns pelo que você já aprendeu, até aqui, sobre logaritmos, contudo precisamos fazer 2 alertas para que a gente não se dê mal nas provas:

Não tem sentido calcular logaritmo de número menor ou igual a zero.

Todas as base devem ser maiores que zero e diferentes de 1

Todos os 4 exemplos ao lado estão resumidos nos alertas acima. Entenda-os para que possa fixá-los bem.

Veja os exemplos:

Log2 0 = Qual o logaritmo de zero na base 2 ?
Ou seja: qual o número que servirá de expoente para o 2 de forma a obtermos o número zero ? Se a gente tentar calcular veremos que não existe.

Log2 -1 = Qual o logaritmo de -1 na base 2 ?
Certamente que não encontraremos resultado válido pois não existe um expoente que sirva à base 2(positiva), para dar origem ao número -1

Log0 2 = Qual o logaritmo de 2 na base 0 ?
Zero elevando a quanto vai dar 2 ?... Não existe!

Log1 2 = Qual o logaritmo de 2 na base 1 ?
Se a gente tentar calcular veremos que qualquer que seja o expoente a gente sempre obterá 1. Logo também não existe.

Logaritmos - Propriedades 004

Existem 3 propriedades dos logaritmos que são muito úteis para se resolver muitos dos problemas que enfrentaremos. Vejamos:

Logaritmo do produto

Logaritmo do quociente

Logaritmo da potência

Quando precisarmos calcular logaritmos de produto ou quociente ou potência, poderemos aplicar as regras que veremos agora.

Não esqueça: P.Q.P é Produto, Quociente ou Potência.

Logaritmos - Propriedades 005

Logaritmo do Produto

Quando a gente precisar calcular Logaritmo de um produto, digamos 8x4, ou seja log2 (8.4) é só a gente calcular os logaritmos de 8 e 4, separadamente, e depois somar. O resultado desta soma será o logaritmo de 8x4.

Vamos calcular log28 e log24.

Log28 = 3 pois 23 = 8 e log24 = 2 pois 22 = 4.

Para calcularmos log2 (8.4), basta somarmos os logaritmos de 8 e de 4 que acabamos de calcular:

log2 (8.4) = Log28 + log24
log2 (8.4) = 3 + 2
log2 (8.4) = 5
Regra Geral para calculo de logaritmos de produto:

Loga(b.c) = log a b + log a b

O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores

Observe que
log2 (8.4) = log2 (32) = 5

Neste caso foi fácil fazer a multiplicação, mas quando esta operação não for tão simples, a propriedade que acabamos de aprender nos será muito útil,

Logaritmos - Propriedades 006

Logaritmo do quociente
Quando a gente precisar calcular Logaritmo de um quociente, digamos 8/4, ou seja log2 (8/4) é só a gente calcular os logaritmos de 8 e 4, separadamente, e depois subtrai-los. O resultado desta subtração será o logaritmo de 8/4.

Vamos calcular log28 e log24.

Log28 = 3 pois 23 = 8 e log24 = 2 pois 22 = 4.

Para calcularmos log2 (8/4), basta subtrairmos os logaritmos de 8 e de 4 que acabamos de calcular:

log2 (8/4) = Log28 - log24
log2 (8/4) = 3 - 2
log2 (8/4) = 1
Regra Geral para calculo de logaritmos de quociente:
Loga(b/c) = log a b - log a b

O logaritmo de um quociente é igual a subtração dos logaritmos do numerador e do denominador.

Observe que
log2 (8/4) = log2 (2) = 1

Neste caso foi fácil fazer a divisão. Mas quando esta divisão não for tão simples, a propriedade que acabamos de aprender nos será muito útil,

Logaritmos - Propriedades 007

Logaritmo da potência
Quando a gente precisar calcular Logaritmo de uma potência, digamos, 25 , ou seja log2 (25) é só a gente calcular o logaritmo de da base e depois multiplicar pelo expoente. O resultado desta operação será o logaritmo de 25.

Vamos calcular log22

Log22 = 1 pois 21 = 2

Para calcularmos log2 (25), basta multiplicarmos o expoente 5 pelo logaritmo de 2 que acabamos de calcular:

log2 (25) = 5. log22
log2 (25) = 5 . 1
log2 (25) = 5
Regra Geral para calculo de logaritmos de potência:
Loga(bc) = c. log a b

O logaritmo de uma potência é igual a multiplicação do expoente pelo logaritmo da base.

Observe que
log2 (25) = log2 (32) = 5

Neste caso foi fácil calcular a potência, mas quando esta operação não for tão simples, a propriedade que acabamos de aprender nos será muito útil,

Logaritmos - Nomenclatura 008

Logaritmo decimal

Dizemos que o logaritmo é decimal quando a base é 10.

Neste caso, na representação matemática a gente economiza e não escreve o 10, veja:

Log 100

Isto significa: "Logaritmo de 100 na base 10"
Alguém poderia perguntar: E cadê a base ? Resposta: Quando o logaritmo é decimal, ou seja a base é 10 não é preciso escrevê-la pois todo mundo já sabe que vale 10.

Mas a gente não sabia ? Então agora nós já sabemos também !

Logaritmos

- "Isso é moleza !"

Logaritmos - Mudança de base 009

Mudança de base

Calcule log9 27 (logaritmo de 27 na base 9).
Se tentarmos descobrir qual o expoente que elevará a base 9 para obtermos 27 veremos que é um pouco complicado...contudo existe uma maneira mais fácil: A mudança de base.

Como se faz isto ? Simples: calule o log de 27 na nova base e divida pelo log de 9 na nova base também. Veja ao lado:

O importante é a gente escolher uma base que possibilite calcular os logaritmos tanto do 27 como do 9 (base inicial). Ah! Essa nova base deverá ser a mesma para os dois. Veja ao lado!

log3 27

________ = 3/2

log3 9

Desta forma, log9 27 = 3/2

Fonte: www.matematicamagica.hpg.ig.com.br

voltar 1234avançar ';
Sobre o Portal | Política de Privacidade | Fale Conosco | Anuncie | Indique o Portal