Logaritmos
Os logaritmos, como instrumento de cálculo, surgiram para realizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração.
Napier foi um dos que impulsionaram fortemente seu desenvolvimento, perto do início do século XVII. Ele é considerado o inventor dos logaritmos, muito embora outros matemáticos da época também tenham trabalhado com ele.
Já antes dos logaritmos, a simplificação das operações era realizada através das conhecidas relações trigonométricas, que relacionam produtos com somas ou subtrações. Esse processo de simplificação das operações envolvidas passou a ser conhecido como prostaférese, sendo largamente utilizado numa época em que as questões relativas à navegação e à astronomia estavam no centro das atenções. De fato, efetuar multiplicações ou divisões entre números muito grandes era um processo bastante dispendioso em termos de tempo. A simplificação, provocada pela prostaférese, era relativa e, sendo assim, o problema ainda permanecia.
O método de Napier baseou-se no fato de que associando aos termos de uma progressão geométrica
b, b2, b3, b4, b5, … , bn, …
os termos da progressão aritmética
1, 2, 3, 4, 5, ... , n, ...
então ao produto de dois termos da primeira progressão, bm.bp, está associada a soma m+p dos termos correspondentes na segunda progressão.
Considerando, por exemplo,
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Para efetuar, por exemplo, 256 x 32, basta observar que:
256 na segunda linha corresponde a 8 na primeira;
32 na segunda linha corresponde a 5 na primeira;
como 8+5=13,
13 na primeira linha corresponde a 8192 na segunda.
Assim, 256x32=8192 resultado esse que foi encontrado através de uma
simples operação de adição.
A fim de que os números da progressão geométrica estivessem
bem próximos, para ser possível usar interpolação
e preencher as lacunas entre os termos na correspondência estabelecida,
evitando erros muito grosseiros, Napier escolheu para razão o número
= 0,9999999, que é bem próximo de 1. Segundo Eves, para evitar
decimais, ele multiplicava cada potência
por 107. Então, se 
, ele chamava L de "logaritmo" do número N.
Assim, o logaritmo de Napier de é 0 e o de 
é 1.
Enquanto Napier trabalhava com uma progressão geométrica onde o primeiro termo era 107.b e a razão b, ao que parece, de forma independente, Bürgi também lidava com o problema dos logaritmos.
Bürgi empregou uma razão um pouco maior do que 1, qual seja 1,0001=1+10-4. O primeiro termo de sua PG era 108 e ele desenvolveu uma tabela com 23027 termos.
Como Napier, Bürgi considerou uma PG cuja razão era muito próxima de 1, a fim de que os termos da seqüência fossem muito próximos e os cálculos pudessem ser realizados com boas aproximações.
Posteriormente, Napier, juntamente com Briggs, elaboraram tábuas de logaritmos mais úteis de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma potência conveniente de 10, nascendo assim os logaritmos briggsianos ou comuns, ou seja, os logaritmos dos dias de hoje.
Ainda segundo Eves, durante anos ensinou-se a calcular com logaritmos na escola média ou no início dos cursos superiores de matemática; também por muitos anos a régua de cálculo logarítmica foi o símbolo do estudante de engenharia do campus universitário.
Hoje, porém, com o advento das espantosas e cada vez mais baratas e rápidas calculadoras, ninguém mais em sã consciência usa uma tábua de logaritmos ou uma régua de cálculo para fins computacionais. O ensino dos logaritmos, como um instrumento de cálculo, está desaparecendo das escolas, os famosos construtores de réguas de cálculo de precisão estão desativando sua produção e célebres manuais de tábuas matemáticas estudam a possibilidade de abandonar as tábuas de logaritmos. Os produtos da grande invenção de Napier tornaram-se peças de museu.
A função logarítmica, porém, nunca morrerá pela simples razão de que as variações exponencial e logarítmica são partes vitais da natureza e da análise. Conseqüentemente, um estudo das propriedades da função logarítmica e de sua inversa, a função exponencial, permanecerá sempre uma parte importante do ensino da matemática.
Recentemente, no século XX, com o desenvolvimento da Teoria da Informação, Shannon descobriu que a velocidade máxima Cmáx - em bits por segundo - com que sinais de potência S watts podem passar por um canal de comunicação, que permite a passagem, sem distorção, dos sinais de freqüência até B hertz, produzindo um ruído de potência máxima N watts, é dada por:
Fonte: www.cepa.if.usp.br
Então o expoente 3 aqui ao lado nada mais é que o logaritmo de 8 na base 2.
Vamos logo ver um exemplo de exercício bem simples ? Vamos lá!
1) Calcule log2 8.
Vimos que em português claro isto significa: calcule o logaritmo de 8 na base 2.
E, em português mais claro ainda, isto significa:qual o expoente que devemos usar para que o 2 elevado a este expoente nos dê o número 8 ?
Vamos ver se a gente está entendendo do assunto...
2) Calcule log4 16 .
Vimos que em bom português isto significa: Qual o (__________) a que
devemos elevar a base (__________) para obtermos o número 16. Vimos
ainda que matematicamente escreve-se assim: 4x = 16.
Para calcular basta (__________) o 16 e substituirmos na equação. Assim, ficaremos com 4x = 42 pois 16 fatorado nos dá exatamente 42.
Finalmente vimos que em equações deste tipo (4x = 42) , cujas
bases das potências são iguais, basta igualarmos os expoentes:
x=2.
Resposta: 2 ou log4 16 = 2 pois 42 = 16
- "Tô começando a entender !!!!"
Parabéns pelo que você já aprendeu, até aqui, sobre logaritmos, contudo precisamos fazer 2 alertas para que a gente não se dê mal nas provas:
Não tem sentido calcular logaritmo de número menor ou igual a zero.
Todas as base devem ser maiores que zero e diferentes de 1
Todos os 4 exemplos ao lado estão resumidos nos alertas acima. Entenda-os para que possa fixá-los bem.
Log2 0 = Qual o logaritmo de zero na base 2 ?
Ou seja: qual o número que servirá de expoente para o 2 de forma
a obtermos o número zero ? Se a gente tentar calcular veremos que não
existe.
Log2 -1 = Qual o logaritmo de -1 na base 2 ?
Certamente que não encontraremos resultado válido pois não
existe um expoente que sirva à base 2(positiva), para dar origem ao
número -1
Log0 2 = Qual o logaritmo de 2 na base 0 ?
Zero elevando a quanto vai dar 2 ?... Não existe!
Log1 2 = Qual o logaritmo de 2 na base 1 ?
Se a gente tentar calcular veremos que qualquer que seja o expoente a gente
sempre obterá 1. Logo também não existe.
Existem 3 propriedades dos logaritmos que são muito úteis para se resolver muitos dos problemas que enfrentaremos. Vejamos:
Logaritmo do produto
Logaritmo do quociente
Logaritmo da potência
Quando precisarmos calcular logaritmos de produto ou quociente ou potência, poderemos aplicar as regras que veremos agora.
Não esqueça: P.Q.P é Produto, Quociente ou Potência.
Logaritmos - Propriedades 005
Quando a gente precisar calcular Logaritmo de um produto, digamos 8x4, ou seja log2 (8.4) é só a gente calcular os logaritmos de 8 e 4, separadamente, e depois somar. O resultado desta soma será o logaritmo de 8x4.
Vamos calcular log28 e log24.
Log28 = 3 pois 23 = 8 e log24 = 2 pois 22 = 4.
Para calcularmos log2 (8.4), basta somarmos os logaritmos de 8 e de 4 que acabamos de calcular:
log2 (8.4) = Log28 + log24
log2 (8.4) = 3 + 2
log2 (8.4) = 5
Regra Geral para calculo de logaritmos de produto:
Loga(b.c) = log a b + log a b
O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores
Observe que
log2 (8.4) = log2 (32) = 5
Neste caso foi fácil fazer a multiplicação, mas quando esta operação não for tão simples, a propriedade que acabamos de aprender nos será muito útil,
Logaritmo do quociente
Quando a gente precisar calcular Logaritmo de um quociente, digamos 8/4, ou
seja log2 (8/4) é só a gente calcular os logaritmos de 8 e 4,
separadamente, e depois subtrai-los. O resultado desta subtração
será o logaritmo de 8/4.
Vamos calcular log28 e log24.
Log28 = 3 pois 23 = 8 e log24 = 2 pois 22 = 4.
Para calcularmos log2 (8/4), basta subtrairmos os logaritmos de 8 e de 4 que acabamos de calcular:
log2 (8/4) = Log28 - log24
log2 (8/4) = 3 - 2
log2 (8/4) = 1
Regra Geral para calculo de logaritmos de quociente:
Loga(b/c) = log a b - log a b
O logaritmo de um quociente é igual a subtração dos logaritmos do numerador e do denominador.
Observe que
log2 (8/4) = log2 (2) = 1
Neste caso foi fácil fazer a divisão. Mas quando esta divisão não for tão simples, a propriedade que acabamos de aprender nos será muito útil,
Logaritmo da potência
Quando a gente precisar calcular Logaritmo de uma potência, digamos,
25 , ou seja log2 (25) é só a gente calcular o logaritmo de
da base e depois multiplicar pelo expoente. O resultado desta operação
será o logaritmo de 25.
Vamos calcular log22
Log22 = 1 pois 21 = 2
Para calcularmos log2 (25), basta multiplicarmos o expoente 5 pelo logaritmo de 2 que acabamos de calcular:
log2 (25) = 5. log22
log2 (25) = 5 . 1
log2 (25) = 5
Regra Geral para calculo de logaritmos de potência:
Loga(bc) = c. log a b
O logaritmo de uma potência é igual a multiplicação do expoente pelo logaritmo da base.
Observe que
log2 (25) = log2 (32) = 5
Neste caso foi fácil calcular a potência, mas quando esta operação não for tão simples, a propriedade que acabamos de aprender nos será muito útil,
Logaritmos - Nomenclatura 008
Dizemos que o logaritmo é decimal quando a base é 10.
Neste caso, na representação matemática a gente economiza e não escreve o 10, veja:
Isto significa: "Logaritmo de 100 na base 10"
Alguém poderia perguntar: E cadê a base ? Resposta: Quando o
logaritmo é decimal, ou seja a base é 10 não é
preciso escrevê-la pois todo mundo já sabe que vale 10.
Mas a gente não sabia ? Então agora nós já sabemos também !
- "Isso é moleza !"
Logaritmos - Mudança de base 009
Calcule log9 27 (logaritmo de 27 na base 9).
Se tentarmos descobrir qual o expoente que elevará a base 9 para obtermos
27 veremos que é um pouco complicado...contudo existe uma maneira mais
fácil: A mudança de base.
Como se faz isto ? Simples: calule o log de 27 na nova base e divida pelo log de 9 na nova base também. Veja ao lado:
O importante é a gente escolher uma base que possibilite calcular os logaritmos tanto do 27 como do 9 (base inicial). Ah! Essa nova base deverá ser a mesma para os dois. Veja ao lado!
log3 27
________ = 3/2
log3 9
Desta forma, log9 27 = 3/2
Fonte: www.matematicamagica.hpg.ig.com.br
