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Logaritmos



O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir.

Assim, por exemplo, como sabemos que 42 = 16 , onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é?
Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log416 = 2.

Outros exemplos:

152 = 225, logo: log15225 = 2
63 = 216, logo: log6216 = 3
54 = 625, logo: log5625 = 4
70 = 1, logo: log71 = 0

2 - DEFINIÇÃO

Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação bx = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.

Exemplos:

a) log28 = 3 porque 23 = 8.
b) log41 = 0 porque 40 = 1.
c) log39 = 2 porque 32 = 9.
d) log55 = 1 porque 51 = 5.

Notas:

1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N.

Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim, logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.

Exemplos:

a) log100 = 2 porque 102 = 100.
b) log1000 = 3 porque 103 = 1000.
c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2.
d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3.
e) ln e = 1 porque e1 = e = 2,7183...
f) ln 7 = loge7

2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa .

Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a mantissa.
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.

Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) , podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela definição de logaritmo que
101,6532 = 45.

3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log3(-9) , log20 , etc.

4) É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição:

P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:
logb1 = 0 porque b0 = 1.

P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: logbb = 1 , porque b1 = b.

P3) logbbk = k , porque bk = bk .

P4) Se logbM = logbN então podemos concluir que M = N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).

P5) blogbM = M ou seja: b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M.

3 - PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS

P1 - LOGARITMO DE UM PRODUTO

O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:
logb(M.N) = logbM + logbN

Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10.

P2 - LOGARITMO DE UM QUOCIENTE

O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja:
logb(M/N) = logbM - logbN

Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 então 10-1,6990 = 0,02.

Da mesma forma podemos exemplificar:
log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.

Observação: a não indicação da base, subtende-se logaritmos decimal (base 10).

Nota: Chamamos de cologaritmo de um número positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja:
cologbN = logb(1/N) = logb1 - logbN = 0 - logbN = - logbN.
(menos log de N na base b).
Exemplo: colog10 = -log10 = -1.

P3 - LOGARITMO DE UMA POTENCIA

Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: logbMk = k.logbM.
Exemplo: log5256 = 6.log525 = 6.2 = 12.

P4 - MUDANÇA DE BASE

Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a . Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos.

Logaritmos

Exemplos:

a) log416 = log216 / log24 (2 = 4:2)
b) log864 = log264 / log28 (2 = 6:3)
c) log25125 = log5125 / log525 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 251,5 = 125.

Notas:

1 - na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos.

2 - Duas conseqüências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes:
a) logbN = logN / logb (usando a base comum 10, que não precisa ser indicada).
b) logba . logab = 1

Exemplos:

a) log37 . log73 = 1
b) log23 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850

4 - A FUNÇÃO LOGARÍTIMICA

Considere a função y = ax , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real.

Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para todo x Î R, onde R é o conjunto dos números reais.

Denotando o conjunto dos números reais positivos por R+* , poderemos escrever a função exponencial como segue:

f: R ® R+* ; y = ax , 0 < a ¹ 1

Esta função é bijetora, pois:

a) é injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.
b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.

Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e, portanto, é uma função inversível, OU SEJA, admite uma função inversa.

Vamos determinar a função inversa da função y = ax , onde 0 < a ¹ 1.
Permutando x por y, vem:
x = ay \ y = logax

Portanto, a função logarítmica é então:
f: R+* ® R ; y = logax , 0 < a ¹ 1.

Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = ax ) e logarítmica
( y = logax ), para os casos a > 1 e 0 < a ¹ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.

Logaritmos

Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que:

1 - para a > 1, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES.
2 - para 0 < a ¹ 1, elas são DECRESCENTES.
3 - o domínio da função y = logax é o conjunto R+* .
4 - o conjunto imagem da função y = logax é o conjunto R dos números reais.
5 - o domínio da função y = ax é o conjunto R dos números reais.
6 - o conjunto imagem da função y = ax é o conjunto R+* .
7 - observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.

Fonte: www.terra.com.br

Logaritmos

Logaritmos

Veja o que o nosso amigo escreveu abaixo:

Observe que quando elevamos a base 2 ao expoente 3 obtemos como resultado o número 8.

Dizemos que o logaritmo de 8 na base 2 vale 3.

Em outras palavras, aqui neste exemplo, logaritmo é o expoente que utilizamos para conseguir o número 8 quando utilizamos a base 2.

Vimos que logaritmo é o expoente que utilizamos para conseguir o número 8 quando utilizamos a base 2. Veja novamente o exemplo anterior:

23 = 8

Podemos afirmar que:

o logaritmo de 8 na base 2 vale 3 e representamos esta frase, matematicamente, da seguinte forma: log2 8 = 3
Note que o logaritmo nada mais é que o número que serve de expoente.

Calcular o logaritmo de um número consiste em descobrir qual é este número que servirá de expoente à base para obtermos o número dado.

Logaritmos


Então o expoente 3 aqui ao lado nada mais é que o logaritmo de 8 na base 2. Isto está começando a parecer fácil não é mesmo ?

Vamos logo ver um exemplo de exercício bem simples ? Vamos lá!


1) Calcule log2 8.


Vimos que em português claro isto significa: calcule o logaritmo de 8 na base 2.

E, em português mais claro ainda, isto significa:qual o expoente que devemos usar para que o 2 elevado a este expoente nos dê o número 8 ?

Veja abaixo como se calcula o logaritmo de 8 na base 2

log2 8 =

Logaritmos

Vamos ver se a gente está entendendo do assunto ou se estamos boiando...Pense primeiro e depois clique para ver se você acertaria.

2) Calcule log416 .

Vimos que em bom português isto significa: Qual o

expoentea que devemos elevar a base 4para obtermos o número 16. Vimos ainda que matematicamente escreve-se assim: 4x = 16.

Para calcular basta

Fatorarmoso 16 e substituirmos na equação. Assim, ficaremos com 4x = 42 pois 16 fatorado nos dá exatamente 42.

Finalmente vimos que em equações deste tipo (4x = 42), cujas bases das

são iguais, basta igualarmos os expoentes: x = 2.
Resposta: 2 ou log4 16 = 2 pois 42 = 16

Logaritmos
- "Tô começando a entender !!!!"

Atenção

Parabéns pelo que você já aprendeu, até aqui, sobre logaritmos, contudo precisamos fazer 2 alertas para que a gente não se dê mal nas provas:

Não tem sentido calcular logaritmo de número menor ou igual a zero.

Todas as base devem ser maiores que zero e diferentes de 1

Todos os 4 exemplos ao lado estão resumidos nos alertas acima. Entenda-os para que possa fixá-los bem.

Veja os exemplos:

Log2 0 = Qual o logaritmo de zero na base 2 ?

Ou seja: qual o número que servirá de expoente para o 2 de forma a obtermos o número zero ? Se a gente tentar calcular veremos que não existe.

Log2 -1 = Qual o logaritmo de -1 na base 2 ?

Certamente que não encontraremos resultado válido pois não existe um expoente que sirva à base 2(positiva), para dar origem ao número -1

Log0 2 = Qual o logaritmo de 2 na base 0 ?

Zero elevando a quanto vai dar 2 ?... Não existe!

Log1 2 = Qual o logaritmo de 2 na base 1 ?

Se a gente tentar calcular veremos que qualquer que seja o expoente a gente sempre obterá 1. Logo também não existe.

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