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Álgebra



Álgebra Computacional

Os sistemas de álgebra computacional

Permitem a manipulação de expressões algébricas.

Podem trabalhar números e símbolos abstratos que representam quantidades numéricas.

Capacidade algébrica do computador não foi completamente explorada pois a programação do computador tem uma natureza parecida com a álgebra.

Em 1844, Augusta Ada Byron reconheceu como falsa a dicotomia que existia entre programador e computador.

Programador – manipula os símbolos algébricos.

Computador – está confinado a cálculos aritméticos.

Pavelle, elaborou um programa de manipulações matemáticas, que foi escrito na linguagem de programas algébricos chamado MACSYMA.

O programa foi posto em funcionamento e foi resolvido como teste um problema de 1973.

Os resultados foram confirmados pelo computador em apenas 2’.

Vantagens dos programas algébricos relativamente aos programas numéricos:

Mais económico em termos de tempo para o computador;

Respostas algébricas exatas;

Satisfação das finalidades da investigação científica, uma vez que o resultado é dado sob a forma algébrica;

Acumulação do conhecimento científico.

Como pode um computador ser programado para executar manipulações algébricas?

O computador deve seguir um procedimento rigoroso que especifique todos os passos a realizar.

Para desenvolver um algoritmo em álgebra computacional deve-se procurar um método compatível com a resolução mecanizada.

Os sistemas tendem a fornecer o mínimo de informação para simplificar a expressão algébrica, no entanto qualquer expressão algébrica pode ser representada numa variedade de vias equivalentes.

O operador pode definir as suas próprias funções, especificar as suas propriedades e fornecer as regras de simplificação apropriadas, podendo o computador ser empregue, algumas vezes, para achar tais regras.

Existem cerca de 60 sistemas de álgebra computacional, de acordo com o seu desenvolvimento histórico:

1º Grupo – foram projetados para resolver problemas específicos em campos como a Física Matemática e a Química Teórica.

ASHMEDAI
CAMAL
SCHOONSCHIP
SHEEP
TRIGMAN
ALTRAN
ALDESSAC2

2º Grupo – são de uso geral e fornecem ao investigador tantas capacidades matemáticas quanto possíveis.

Entre estes encontram-se:

MACSYMA
REDUCE
SCRATCHAPAD
SMP
MATHEMATICA

3º Grupo – são os que operam em microcomputadores.

Para os micro-computadores os sistemas de Álgebra computacional começam a aparecer agora, sendo o mais conhecido o MUMATH, DERIVE e o MAPLE.

Vantagens:

Acessíveis e interativos para o utilizador;

Linguagem de programação simples e de alto nível;

Efetuam cálculos complexos, com maior correcção que os efetuados por muitos matemáticos;

Não são utilizados unicamente para grandes cálculos.

Desvantagens:

Torna-os mais lentos do que os sistemas projetados para computadores de maiores capacidades;

Devido à capacidade, memória e velocidade, este não permite a resolução de problemas muito complexos.

Aplicações da Álgebra Computacional:

Acústica

Geometria Algébrica

Economia

Mecânica de Estruturas

Teoria de Número

Projeto de Hélices

Casco de navio

Pás de Hélices para helicópteros

Microscópios eletrónicos

Circuitos integrados

Investigações do “plasma físico”

Desenvolvimento das fontes de “fusão energética”

Refletir

Álgebra

A utilização do computador em investigações matemáticas alteram o conceito de demonstração?

Que tipo de implicações terá a utilização de software de geometria computacional na sala de aula?

Fonte: www.educ.fc.ul.pt

Álgebra

HISTÓRIA DA ÁLGEBRA

Estranha e intrigante é a origem da palavra "álgebra". Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do grego arithmos ("número"). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm). Este trabalho de álgebra é com frequência citado, abreviadamente, como Al-jabr.


Uma tradução literal do título completo do livro é a "ciência da restauração (ou reunião) e redução", mas matematicamente seria melhor "ciência da transposição e cancelamento"- ou, conforme Boher, "a transposição de termos subtraídos para o outro membro da equação" e "o cancelamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos da equação". Assim, dada a equação:

Álgebra

Álgebra

Álgebra

Talvez a melhor tradução fosse simplesmente "a ciência das equações".

Ainda que originalmente "álgebra" refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases:

(1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las.

(2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis e corpos - para mencionar apenas algumas.

De fato, é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra em termos dessas duas fases, uma vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual.

Equações algébricas e notação

A fase antiga (elementar), que abrange o período de 1700 a.C. a 1700 d.C., aproximadamente, caracterizou-se pela invenção gradual do simbolismo e pela resolução de equações (em geral coeficientes numéricos) por vários métodos, apresentando progressos pouco importantes até a resolução "geral" das equações cúbicas e quárticas e o inspirado tratamento das equações polinomiais em geral feito por François Viète, também conhecido por Vieta (1540-1603).

O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o retórico (ou verbal), o sincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o simbólico. No último estágio, a notação passou por várias modificações e mudanças, até tornar-se razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton. É interessante notar que, mesmo hoje, não há total uniformidade no uso de símbolos. Por exemplo, os americanos escrevem "3.1416" como aproximação de Pi, e muitos europeus escrevem "3,1416". Em alguns países europeus, o símbolo "÷" significa "menos".

Como a álgebra provavelmente se originou na Babilônia, parece apropriado ilustrar o estilo retórico com um exemplo daquela região. O problema seguinte mostra o relativo grau de sofisticação da álgebra babilônica.

É um exemplo típico de problemas encontrados em escrita cuneiforme, em tábuas de argila que remontam ao tempo do rei Hammurabi. A explanação, naturalmente, é feita em português; e usa-se a notação decimal indo-arábica em vez da notação sexagesimal cuneiforme. A coluna à direita fornece as passagens correspondentes em notação moderna. Eis o exemplo:

[1] Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a área: 252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura.

[2] [Dado] 32 soma; 252 área.
x+y=k
xy=P } ... (A)
[3] [Resposta] 18 comprimento; 14 largura.
[4] Segue-se este método: Tome metade de 32 [que é 16].
k/2
16 x 16 = 256
Álgebra
256 - 252 = 4
Álgebra
A raiz quadrada de 4 é 2.
Álgebra
16 + 2 = 18 comprimento.
(k/2) + t = x.
16 - 2 = 14 largura
(k/2) - t = y.
[5] [Prova] Multipliquei 18 comprimento por 14 largura.
18 x 14 = 252 área
((k/2)+t) ((k/2)-t)
= (k2/4) - t2 = P = xy.

Nota-se que na etapa [1] o problema é formulado, na [2] os dados são apresentados, na [3] a resposta é dada, na [4] o método de solução é explicado com números e, finalmente, na [5] a resposta é testada.

A "receita" acima é usada repetidamente em problemas semelhantes. Ela tem significado histórico e interesse atual por várias razões.

Antes de tudo não é a maneira como resolveríamos hoje o sistema (A). O procedimento padrão nos atuais textos escolares de álgebra é resolver, digamos, a primeira equação para y (em termos de x), substituir na segunda equação e, então, resolver a equação quadrática resultante em x; isto é, usaríamos o método de substituição.

Os babilônios também sabiam resolver sistemas por substituição, mas frequentemente preferiam usar seu método paramétrico. Ou seja, usando-se notação moderna, eles concebiam x e y em termos de uma nova incógnita (ou parâmetro) t fazendo x=(k/2)+t e y=(k/2)-t.

Então o produto

Álgebra

Em segundo lugar, o problema acima tem significado histórico porque a álgebra grega (geométrica) dos pitagóricos e de Euclides seguia o mesmo método de solução - traduzida, entretanto, em termos de segmentos de retas e áreas e ilustrada por figuras geométricas. Alguns séculos depois, outro grego, Diofanto, também usou a abordagem paramétrica em seu trabalho com equações "diofantinas". Ele deu início ao simbolismo moderno introduzindo abreviações de palavras e evitando o estilo um tanto intrincado da álgebra geométrica.

Em terceiro lugar, os matemáticos árabes (inclusive al-Khowarizmi) não usavam o método empregado no problema acima; preferiam eliminar uma das incógnitas por substituição e expressar tudo em termos de palavras e números.

Antes de deixar a álgebra babilônica, notemos que eles eram capazes de resolver uma variedade surpreendente de equações, inclusive certos tipos especiais de cúbicas e quárticas - todas com coeficientes numéricos, naturalmente.

Álgebra no Egito

A álgebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo que na Babilônia; mas faltavam à álgebra egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilônica, bem como a variedade de equações resolvidas, a julgar pelo Papiro Moscou e o Papiro Rhind - documentos egípcios que datam de cerca de 1850 a.C. e 1650 a.C., respectivamente, mas refletem métodos matemáticos de um período anterior.

Para equações lineares, os egípcios usavam um método de resolução consistindo em uma estimativa inicial seguida de uma correção final - um método ao qual os europeus posteriormente deram o nome umtanto abstruso de "regra da falsa posição". A álgebra do Egito, como a da Babilônia, era retórica.

O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação com o dos babilônios, ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia. Os matemáticos europeus do século XVI tiveram de estender a noção indo-arábica de número antes de poderem avançar significativamente além dos resultados babilônios de resolução de equações.

Álgebra geométrica grega

A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides era geométrica. Por exemplo, o que nós escrevemos como:

Álgebra

era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresentado na Figura 1 e era curiosamente enunciado por Euclides em Elementos, livro II, proposição 4:

Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contém.

Álgebra

Somos tentados a dizer que, para os gregos da época de Euclides, a2 era realmente um quadrado.

Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e, de fato, seguiam os métodos-padrão babilônios de resolução de equações. Euclides deixou registrados esses resultados pitagóricos. Para ilustrá-lo, escolhemos o teorema correspondente ao problema babilônio considerado acima.

Álgebra

Do livro VI dos Elementos, temos a proposição 28 (uma versão simplificada):

Dada uma linha reta AB [isto é, x+y=k], construir ao longo dessa linha um retângulo com uma dada área [xy = P], admitindo que o retângulo "fique aquém" em AB por uma quantidade "preenchida" por outro retângulo [o quadrado BF na Figura 2], semelhante a um dado retângulo [que aqui nós admitimos ser qualquer quadrado].

Álgebra

Na solução desta construção solicitada (Fig.2) o trabalho de Euclides é quase exatamente paralelo à solução babilônica do problema equivalente. Conforme indicado por T.L.Heath / EUCLID: II, 263/, os passos são os seguintes:

Bissecte AB em M:
k/2
Construa o quadrado MBCD:
Álgebra
Usando VI, 25, construa o quadrado DEFG com área igual ao excesso de MBCD sobre a área dada P:
Álgebra
Então é claro que
y = (k/2) - t

Como fazia frequentemente, Euclides deixou o outro caso para o estudante - neste caso, x=(k/2)+t, o que Euclides certamente percebeu mas não formulou.

É de fato notável que a maior parte dos problemas-padrão babilônicos tenham sido "refeitos" desse modo por Euclides. Mas por quê? O que levou os gregos a darem à sua álgebra esta formulação desajeitada? A resposta é básica: eles tinham dificuldades conceituais com frações e números irracionais.

Mesmo que os matemáticos gregos fossem capazes de contornar as frações, tratando-as como razões de inteiros, eles tinham dificuldades insuperáveis com números como a raiz quadrada de 2, por exemplo. Lembramos o "escândalo lógico" dos pitagóricos quando descobriram que a diagonal de um quadrado unitário é incomensurável com o lado (ou seja, diag/lado é diferente da razão de dois inteiros).

Assim, foi seu estrito rigor matemático que os forçou a usar um conjunto de segmentos de reta como domínio conveniente de elementos. Pois, ainda que raiz quadrada de 2 não possa ser expresso em termos de inteiros ou suas razões, pode ser representado como um segmento de reta que é precisamente a diagonal do quadrado unitário. Talvez não seja apenas um gracejo dizer que o contínuo linear era literalmente linear.

De passagem devemos mencionar Apolônio (c. 225 a.C.), que aplicou métodos geométricos ao estudo das secções cônicas. De fato, seu grande tratado Secções cônicas contém mais geometria analítica das cônicas - toda fraseada em terminologia geométrica - do que os cursos universitários de hoje.

A matemática grega deu uma parada brusca. A ocupação romana tinha começado, e não encorajava a erudição matemática, ainda que estimulasse alguns outros ramos da cultura grega. Devido ao estilo pesado da álgebra geométrica, esta não poderia sobreviver somente na tradição escrita; necessitava de um meio de comunicação vivo, oral. Era possível seguir o fluxo de idéias desde que um instrutor apontasse para diagramas e explicasse; mas as escolas de instrução direta não sobreviveram.

Álgebra na Europa

A álgebra que entrou na Europa (via Liber abaci de Fibonacci e traduções) havia regredido tanto em estilo como em conteúdo. O semi-simbolismo (sincopação) de Diofanto e Brahmagupta e suas realizações relativamente avançadas não estavam destinados a contribuir para uma eventual irrupção da álgebra.

A renascença e o rápido florescimento da álgebra na Europa foram devidos aos seguintes fatores:

Facilidade de manipular trabalhos numéricos através do sistema de numeração indo-arábico, muito superior aos sistemas (tais como o romano) que requeriam o uso do ábaco;

Invenção da imprensa com tipos móveis, que acelerou a padronização do simbolismo mediante a melhoria das comunicações, baseada em ampla distribuição;

Ressurgimento da economia, sustentando a atividade intelectual; e a retomada do comércio e viagens, facilitando o intercâmbio de idéias tanto quanto de bens.

Cidades comercialmente fortes surgiram primeiro na Itália, e foi lá que o renascimento algébrico na Europa efetivamente teve início.

Fonte: www.seed.pr.gov.br

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