DivisÃo em duas partes direta e inversamente proporcionais
Para decompor um número M em duas partes X1 e X2 diretamente proporcionais
a p1 e p2 e inversamente proporcionais a q1 e q2, deve-se decompor este número
M em duas partes X1 e X2 diretamente proporcionais a p1/q1 e p2/q2, basta
montar um sistema com duas equações e duas incógnitas
de forma que X1+X2=M e além disso:
A solução segue das propriedades
das proporções:
O valor de K proporciona a solução pois: X1=Kp1/q1 e X2=Kp2/q2.
Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes
X1 e X2 diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a
5 e 7, deve-se montar as proporções:
Assim X1=(2/5).70=28 e X2=(3/7).70=30.
Exemplo: Para obter números X1 e X2 diretamente proporcionais
a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença
entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que X1-X2=21
e além disso:
Assim X1=(4/6).72=48 e X2=(3/8).72=27.
DivisÃo em n partes direta e inversamente proporcionais
Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente
proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversamente proporcionais a q1, q2, ...,
qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente
proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn.
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas
exige que X1+X2+...+Xn=M e além disso
A solução segue das propriedades das proporções:
|
|
= |
|
=...= |
|
= |
| X1
+ X2 + ... + Xn |
|
| p1/q1+p2/q2+...+pn/qn |
|
Exemplo: Para decompor o número 115 em três
partes X1, X2 e X3 diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais
a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas
de forma de X1+X2+X3=115 e tal que:
logo X1=(1/4)100=25, X2=(2/5)100=40 e X3=(3/6)100=50.
Exemplo: Determinar números X, Y e Z diretamente
proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo
que 2X+3Y-4Z=10.
A montagem do problema fica na forma:
A solução é X=50/69, Y=250/69 e Z=40/69.
Regra de Sociedade
Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica
a forma de distribuição de um resultado (lucro ou prejuizo)
de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais
distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes
são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivos tempos de participação
deste capitais da sociedade por t1, t2, ..., tn.
Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto:
pk = Ck tk
e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:
C = C1 + C2 + ... + Cn
A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso
de decomposição de um valor M diretamente proporcional aos pesos
p1, p2, ..., pn.
Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três
pessoas P1, P2 e P3 sendo que P1 entrou com um capital de R$50.000,00 e nela
permaneceu por 40 meses, P2 entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu
por 30 meses e P3 entrou com um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por
40 meses. Se o resultado (que pode ser um lucro ou um prejuizo) da empresa
após um certo período posterior, foi de R$25.000,00, quanto
deverá receber (ou pagar) cada sócio?
Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não
termos muitos zeros nas expressões dos pesos. Desse modo:
p1=50x40=2000; p2=60x30=1800; p3=30x40=1200
A montagem do problema estabelece que X+Y+Z=25000 e além disso:
A solução segue das propriedades das proporções:
A participação de cada sócio é X=5(2000)=10000,
Y=5(1800)=9000 e Z=5(1200)=6000.
Fonte: pessoal.sercomtel.com.br
