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Divisão Proporcional

DivisÃo em duas partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes X1 e X2 diretamente proporcionais a p1 e p2 e inversamente proporcionais a q1 e q2, deve-se decompor este número M em duas partes X1 e X2 diretamente proporcionais a p1/q1 e p2/q2, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que X1+X2=M e além disso:

X1
p1/q1
 = 
X2
p2/q2

A solução segue das propriedades das proporções:

X1
p1/q1
 = 
X2
p2/q2
 = 
X1+X2
p1/q1+p2/q2
 = 
Mq1q2
p1q2+p2q1
 = K

O valor de K proporciona a solução pois: X1=Kp1/q1 e X2=Kp2/q2.

Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes X1 e X2 diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções:

X1
2/5
 = 
X2
3/7
 = 
X1+X2
2/5+3/7
 = 
58
29/35
 = 70

Assim X1=(2/5).70=28 e X2=(3/7).70=30.

Exemplo: Para obter números X1 e X2 diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que X1-X2=21 e além disso:

X1
4/6
 = 
X2
3/8
 = 
X1-X2
4/6-3/8
 = 
21
7/24
 = 72

Assim X1=(4/6).72=48 e X2=(3/8).72=27.

DivisÃo em n partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+...+Xn=M e além disso

X1
p1/q1
 = 
X2
p2/q2
 =...= 
Xn
pn/qn

A solução segue das propriedades das proporções:

X1
p1/q1
 = 
X2
p2/q2
 =...= 
Xn
pn/qn
 = 
X1 + X2 + ... + Xn
p1/q1+p2/q2+...+pn/qn

Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes X1, X2 e X3 diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de X1+X2+X3=115 e tal que:

X1
1/4
 = 
X2
2/5
 = 
X3
3/6
 = 
115
23/20
 = 100

logo X1=(1/4)100=25, X2=(2/5)100=40 e X3=(3/6)100=50.

Exemplo: Determinar números X, Y e Z diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2X+3Y-4Z=10.

A montagem do problema fica na forma:

X
1/2
 = 
Y
10/4
 = 
Z
2/5
 = 
2X+3Y-4Z
2/2+30/4-8/5
 = 
10
69/10
 = 
100
69

A solução é X=50/69, Y=250/69 e Z=40/69.

Regra de Sociedade

Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um resultado (lucro ou prejuizo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivos tempos de participação deste capitais da sociedade por t1, t2, ..., tn.

Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto:

pk = Ck tk

e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:

C = C1 + C2 + ... + Cn

A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M diretamente proporcional aos pesos p1, p2, ..., pn.

Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas P1, P2 e P3 sendo que P1 entrou com um capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, P2 entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e P3 entrou com um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que pode ser um lucro ou um prejuizo) da empresa após um certo período posterior, foi de R$25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?

Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos zeros nas expressões dos pesos. Desse modo:

p1=50x40=2000; p2=60x30=1800; p3=30x40=1200

A montagem do problema estabelece que X+Y+Z=25000 e além disso:

X
2000
 = 
Y
1800
 = 
Z
1200

A solução segue das propriedades das proporções:

X
2000
 = 
Y
1800
 = 
Z
1200
 = 
X+Y+Z
5000
 = 
25000
5000
 = 5

A participação de cada sócio é X=5(2000)=10000, Y=5(1800)=9000 e Z=5(1200)=6000.

Fonte: pessoal.sercomtel.com.br

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