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FUNÇÃO QUADRÁTICA



PARÁBOLA

A função quadrática f:R->R é definida por

f(x)=ax²+bx+c

onde a, b e c são constantes reais, sendo que Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta função também é denominada função trinômia do segundo grau, uma vez que a expressão

a x² + b x + c = 0

representa uma equação trinômia do segundo grau ou simplesmente uma equação do segundo grau. O gráfico cartesiano desta função polinomial do segundo grau é uma curva plana denominada parábola.

AplicaÇÕes prÁticas das parÁbolas

Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são:

Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental.

farol

Antenas parabólicas: Se um satélite artificial colocado em uma órbita geoestacionária emite um conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua antena parabólica , uma vez que o feixe de raios atingirá a sua antena que tem formato parabólico e ocorrerá a reflexão desses raios exatamente para um único lugar, denominado o foco da parábola, onde estará um aparelho de receptor que converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal que a sua TV poderá transformar em ondas que por sua vez significarão filmes, jornais e outros programas que você assiste normalmente.

antena

Radares: Os radares usam as propriedades óticas da parábola, similares às citadas anteriormente para a antena parabólica e para os faróis.

Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena.

dardo

Sob estas circunstâncias o ângulo de maior alcance horizontal é de 45 graus.

O sinal do coeficiente do termo dominante

O sinal do coeficiente do termo dominante desta função polinomial indica a concavidade da parábola ("boca aberta"). Se a>0 então a concavidade estará voltada para cima e se a<0 estará voltada para baixo.

Exemplo: A parábola, que é o gráfico da função f(x)=x²+2x-3, pode ser vista no desenho.

FUNÇÃO QUADRÁTICA

O modo de construir esta parábola é atribuir valores para x e obter os respectivos valores para f(x). A tabela a seguir mostra alguns pares ordenados de pontos do plano cartesiano onde a curva deverá passar:

x -3 -2 -1 0 1 2
f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

Como a>0, a concavidade ("boca") da nossa parábola estará voltada para cima.

Exemplo: Construir a parábola f(x)=-x²+2x-3.

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Este exemplo é análogo ao anterior, só que nesse caso, a<0, logo sua concavidade será voltada para baixo. A diferença entre esta parábola e a do exemplo anterior é que, houve a mudança do sinal do coeficiente do termo dominante. A construção da tabela nos dá:

x -1 0 1 2 3
f(x) -6 -3 -2 -3 -6

Relacionamento entre o discriminante e a concavidade

Podemos construir uma tabela que relaciona o sinal do discriminante com o sinal do coeficiente do termo dominante da função polinomial.

Delta A parábola no plano cartesiano a>0
concavidade
(boca) para cima
a<0
concavidade
(boca) para baixo
D > 0 Corta o eixo horizontal em 2 pontos tab tab1
D = 0 Toca em 1 ponto do eixo horizontal tab2 tab3
D < 0 Não corta o eixo horizontal tab4 tab5

Exercícios: Construir o gráfico cartesiano de cada uma das funções do segundo grau:

f(x) = x²-3x-4

f(x) = -3x²+5x-8

f(x) = 4x²-4x+1

MÁximos e mÍnimos com funÇÕes quadrÁticas

Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas está relacionada com a questão de máximos e mínimos.

Exemplo: Determinar o retângulo de maior área que é possível construir se o seu perímetro mede 36 m.

Solução: Se x é a medida do comprimento e y é a medida da largura, a área será dada por: A(x,y)=xy, mas acontece que 2x+2y=36 ou seja x+y=18, assim:

A(x) = x(18-x)

Esta parábola corta o eixo OX nos pontos x=0 e x=18 e o ponto de máximo dessa curva ocorre no ponto médio entre x=0 e x=18, logo, o ponto de máximo desta curva ocorre em x=9. Observamos que este não é um retângulo qualquer mas é um quadrado pois x=y=9 e a área máxima será A=81m²

Fonte: w pessoal.sercomtel.com.br

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