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RAZÕES E PROPORÇÕES



Razões

A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotada por:

A
---
B

Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:

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e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:

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A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água.

A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:

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Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.

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Na Situação1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litros de suco pronto.

Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24 litros de suco pronto.

Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.

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Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.

10 : 20 = 1 : 2 = 0,5

Proporções

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:

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Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma

6:3::8:4.

Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.

Propriedade fundamental das proporções

Numa proporção

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os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A · D = B · C

Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:

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Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.

Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:

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Para obter X=2.

Razões e Proporções de Segmentos

Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.

A________B, C ______________ D

Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas.

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Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 2 ou que CD está para AB na razão de 2 para 1.

Polígonos Semelhantes

Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.

Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST

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Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2

Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :

ABC ~ DEF

Figuras Semelhantes

Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentes congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da outra. Isto significa que existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de deformação. A figura final e a figura original são chamadas figuras semelhantes.

As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.

Exemplo: Nos triângulos

 

RAZÕES E PROPORÇÕES

RAZÕES E PROPORÇÕES

observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S e C=T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2

Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes e indicamos por:

ABC ~ DEF

Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.

RAZÕES E PROPORÇÕES

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Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O mapa verde é uma ampliação do mapa amarelo ou o mapa amarelo é uma redução do mapa verde.

Aplicações práticas das razões

Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.

Velocidade Média

A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).

vmédia = distância percorrida / tempo gasto

Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?

RAZÕES E PROPORÇÕES

A partir dos dados do problema, teremos:

vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/h

o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.

Escala

Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho à razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade.

escala = comprimento no desenho / comprimento real

Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.

Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:

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Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4
Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8
Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6

O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.

Densidade Demográfica

O cálculo da densidade demográfica, também chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região.

Exemplo

Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.

Exemplo

Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:

dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km²
densidade demográfica = 60 habitantes/ Km2

Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.

Densidade de um Corpo

Densidade de um corpo é mais uma aplicação de razão entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seu volume, medido em m³, dm³ ou qualquer outra unidade de volume.

Exemplo

Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75 kg/dm³ então para cada dm³ há uma massa de 8,75 kg.

Curiosidade

Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam.

RAZÕES E PROPORÇÕES

Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. Algumas substâncias e suas densidades estão na tabela abaixo:

RAZÕES E PROPORÇÕES

Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda circunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente:
Pi = 3,1415926535

Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da circunferência, temos uma razão notável:

C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...

significando que

C = Pi . D

Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5cm então o perímetro da circunferência é igual a 9,43cm.

Fonte: www.mat.ufrgs.br

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