Facebook do Portal São Francisco Google+
+ circle
Home  Teoria Dos Conjuntos  Voltar

TEORIA DOS CONJUNTOS

No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.

Alguns conceitos primitivos

Conjunto: representa uma coleção de objetos.

O conjunto de todos os brasileiros.

O conjunto de todos os números naturais.

O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.

Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Elemento: é um dos componentes de um conjunto.

José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.

1 é um elemento do conjunto dos números naturais.

-2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4=0.

Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.

Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.

José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.

1 pertence ao conjunto dos números naturais.

-2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0.

Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo TEORIA DOS CONJUNTOSque se lê: "pertence".

Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

1TEORIA DOS CONJUNTOS N

Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

0TEORIA DOS CONJUNTOS N

Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.

Algumas notações para conjuntos

Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:

Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.

A={a,e,i,o,u}

N={1,2,3,4,...}

M={João,Maria,José}

Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.

A={x: x é uma vogal}

N={x: x é um número natural}

M={x: x é uma pessoa da família de Maria}

Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente.

TEORIA DOS CONJUNTOS

Subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por ATEORIA DOS CONJUNTOSB, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.

Alguns conjuntos especiais

Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.

Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.

Reunião de conjuntos

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

A TEORIA DOS CONJUNTOSB = { x: x TEORIA DOS CONJUNTOSA ou x TEORIA DOS CONJUNTOSB }

Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então ATEORIA DOS CONJUNTOSB={a,e,i,o,3,4}.

Interseção de conjuntos

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.

A TEORIA DOS CONJUNTOSB = { x: x TEORIA DOS CONJUNTOSA e x TEORIA DOS CONJUNTOSB }

Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então ATEORIA DOS CONJUNTOSB=Ø.

TEORIA DOS CONJUNTOS

Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.

Propriedades dos conjuntos

Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por ATEORIA DOS CONJUNTOSB e a interseção de A e B, denotada por ATEORIA DOS CONJUNTOSB, ainda são conjuntos no universo.

Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:

ATEORIA DOS CONJUNTOS A = A e A TEORIA DOS CONJUNTOSA = A

Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

ATEORIA DOS CONJUNTOS ATEORIA DOS CONJUNTOS B, BTEORIA DOS CONJUNTOS ATEORIA DOS CONJUNTOS B, ATEORIA DOS CONJUNTOS B TEORIA DOS CONJUNTOSA, ATEORIA DOS CONJUNTOS B TEORIA DOS CONJUNTOSB

Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

ATEORIA DOS CONJUNTOS B equivale a ATEORIA DOS CONJUNTOS B = B
A TEORIA DOS CONJUNTOSB equivale a ATEORIA DOS CONJUNTOS B = A

Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

ATEORIA DOS CONJUNTOS (B C) = (ATEORIA DOS CONJUNTOS B) TEORIA DOS CONJUNTOS C
A TEORIA DOS CONJUNTOS(B C) = (ATEORIA DOS CONJUNTOS B) TEORIA DOS CONJUNTOSC

Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

ATEORIA DOS CONJUNTOS B = B TEORIA DOS CONJUNTOSA
ATEORIA DOS CONJUNTOS B = BTEORIA DOS CONJUNTOS A

Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

ATEORIA DOS CONJUNTOS Ø = A

Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.

ATEORIA DOS CONJUNTOS Ø = Ø

Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

ATEORIA DOS CONJUNTOS U = A

Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

ATEORIA DOS CONJUNTOS (BTEORIA DOS CONJUNTOS C ) = (ATEORIA DOS CONJUNTOS B)TEORIA DOS CONJUNTOS (A TEORIA DOS CONJUNTOS C)
ATEORIA DOS CONJUNTOS (B TEORIA DOS CONJUNTOSC) = (ATEORIA DOS CONJUNTOS B) TEORIA DOS CONJUNTOS(A TEORIA DOS CONJUNTOSC)

Os gráficos abaixo mostram a distributividade.

TEORIA DOS CONJUNTOS

Diferença de conjuntos

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

A-B = {x: xTEORIA DOS CONJUNTOS A e x TEORIA DOS CONJUNTOSB}

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:

TEORIA DOS CONJUNTOS

Complemento de um conjunto

O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

CAB = A-B = {x: xTEORIA DOS CONJUNTOS A e xTEORIA DOS CONJUNTOS B}

Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:

TEORIA DOS CONJUNTOS

Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.

Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.

Leis de Augustus De Morgan

O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos.

(ATEORIA DOS CONJUNTOS B)c = AcTEORIA DOS CONJUNTOS Bc

O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.

(A1TEORIA DOS CONJUNTOS A2TEORIA DOS CONJUNTOS ... TEORIA DOS CONJUNTOSAn)c = A1cTEORIA DOS CONJUNTOS A2cTEORIA DOS CONJUNTOS ... TEORIA DOS CONJUNTOSAnc

O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos.

(A TEORIA DOS CONJUNTOSB)c = Ac TEORIA DOS CONJUNTOSBc

O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.

(A1TEORIA DOS CONJUNTOS A2TEORIA DOS CONJUNTOS ... TEORIA DOS CONJUNTOSAn)c = A1cTEORIA DOS CONJUNTOS A2cTEORIA DOS CONJUNTOS ... TEORIA DOS CONJUNTOSAnc

Diferença simétrica

A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.

ATEORIA DOS CONJUNTOSB = { x: xTEORIA DOS CONJUNTOSAB e xTEORIA DOS CONJUNTOSATEORIA DOS CONJUNTOSB }

O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:
TEORIA DOS CONJUNTOS
Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:

A=Ø se, e somente se, B=ATEORIA DOS CONJUNTOSB.

O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.

A diferença simétrica é comutativa.

A diferença simétrica é associativa.

ATEORIA DOS CONJUNTOSA=Ø (conjunto vazio).

A interseção entre A e BTEORIA DOS CONJUNTOSC é distributiva, isto é:

ATEORIA DOS CONJUNTOS (BTEORIA DOS CONJUNTOS C) = (ATEORIA DOS CONJUNTOSB)TEORIA DOS CONJUNTOS (A TEORIA DOS CONJUNTOSC)

ATEORIA DOS CONJUNTOS B está contida na reunião de ATEORIA DOS CONJUNTOSC e de BTEORIA DOS CONJUNTOSC, mas esta inclusão é própria, isto é:

ATEORIA DOS CONJUNTOS BTEORIA DOS CONJUNTOS (ATEORIA DOS CONJUNTOS C)TEORIA DOS CONJUNTOS (BTEORIA DOS CONJUNTOS C)

Fonte: pessoal.sercomtel.com.br

Sobre o Portal | Política de Privacidade | Fale Conosco | Anuncie | Indique o Portal