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TRIÂNGULOS



No plano, triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três linhas retas que se unem, com três lados e três ângulos que somam 180°. Também se pode definir um triângulo em superfícies gerais. Nesse casos, são chamados de triângulos geodésicos e têm propriedades diferentes.

O triângulo é o único polígono que não possui diagonais e cada um de seus ângulos externos é suplementar do ângulo interno adjacente. O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus lados. Denomina-se a região interna de um triângulo de região convexa e a região externa de região côncava.

A área de um triângulo retângulo obtém-se calculando a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Outra maneira de calcular sua área é através do Teorema de Heron. Se o triângulo for equilátero de lado l, sua área A pode ser obtida calculando:

TRIÂNGULOS

Outra forma de calcular a área éTRIÂNGULOS , onde a e b são dois lados quaisquer do triângulo e alfa é o ângulo entre eles.

Tipos de triângulos

Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados:

Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes. Um triângulo equilátero é também equiângulo: todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular.

Um triângulo isósceles possui somente dois lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.

Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.

Denomina-se base o lado sobre qual se apóia o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente.

TRIÂNGULOS
Eqüilátero

TRIÂNGULOS
Isósceles

TRIÂNGULOS
Escaleno

Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:

Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares.

Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.

Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos.

TRIÂNGULOS
Retângulo

TRIÂNGULOS
Obtusângulo

TRIÂNGULOS
Acutângulo

Condição de existência de um triângulo

Para que se possa construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.

| b - c | < a < b + c

| a - c | < b < a + c

| a - b | < c < a +

Fatos Básicos

Fatos elementares sobre triângulos foram apresentados por Euclides nos livros 1-4 de sua obra Elementos aproximadamente em 300 a.C..

Um triângulo é um polígono.

Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais, e isso ocorre, por exemplo, quando dois triângulos compartilham um ângulo e os lados opostos a esse ângulo. O fato crucial sobre triângulos similares é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior lado do triângulo similar, diz-se, então, que o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e o menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.

Usando-se triângulos retângulos e o conceito de similaridade, as funções trigonométricas de seno e cosseno podem ser definidas. Essas são funções de um ângulo que são investigadas na trigonometria.

Nos casos a seguir, será usado um triângulo com vértices A, B e C, ângulos a, ß e ? e lados a, b e c. O lado a é oposto ao vértice A e ao ângulo a, o lado b é oposto ao vértice B e ao ângulo ß e o lado c é oposto ao vértice C e ao ângulo ?.

Na geometria Euclidiana, de acordo com o Teorema angular de Tales, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou p radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos.

Ex:TRIÂNGULOS

TRIÂNGULOS
Triângulo com vértices, lados e ângulos representados

Existe um Corolário desse Teorema, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes.

Ex: Sendo e a medida do ângulo externo do triângulo que tem como vértice o vértice C, pode-se afirmar que: e = a + ß

TRIÂNGULOS
Os ângulos A e A' são iguais (duas paralelas cortadas por uma trasversal). Os ângulos B e B' são iguais por serem alternos internos. Os ângulos C e C' são iguais por serem opostos pelo vértice. Assim vê-se que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180o

Um teorema central é o Teorema de Pitágoras, que afirma que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Se o vértice C do exemplo dado for um ângulo reto, pode-se escrever isso da seguinte maneira:

c2 = a2 + b2

Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos.

O Teorema de Pitágoras pode ser generalizado pela lei dos cossenos:

TRIÂNGULOS

Essa lei é válida para todos os triângulos, mesmo se ? não for um ângulo reto e pode ser usada para determinar o tamanho de lados e ângulos de um triângulo, desde que a medida de três ou dois lados e de um ângulo interno sejam conhecidas.

TRIÂNGULOS
Teorema de Pitágoras

Essa lei é válida para todos os triângulos, mesmo se ? não for um ângulo reto e pode ser usada para determinar o tamanho de lados e ângulos de um triângulo, desde que a medida de três ou dois lados e de um ângulo interno sejam conhecidas.

A lei dos senos diz: TRIÂNGULOS, onde d é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo (uma círcunferência que passa pelos três vértices do triângulo). A lei dos senos pode ser usada para computar a medidas dos lados de um triângulo, desde que a medida de dois ângulos e de um lado sejam conhecidas.

Existem dois triângulos retângulos especiais que aparecem frequentemente em geometria. O chamado "triângulo 45º-45º-90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: TRIÂNGULOS. O "triângulo 30º-60º-90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é:TRIÂNGULOS .

Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo

Mediatriz

TRIÂNGULOS
O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, o circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vértices do triângulo. O diâmetro dessa circunferência pode ser achado pela lei dos senos.

O Teorema de Tales determina que se o circuncentro estiver localizado em um lado do triângulo, o ângulo oposto a este lado será reto. Determina também que se o circuncentro estiver localizado dentro do triângulo, este será acutângulo; se o circuncentro estiver localizado fora do triângulo, este será obtusângulo.

Altura

TRIÂNGULOS
O ponto de interseção das alturas é o ortocentro

Altura é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto. Esse lado é chamado base da altura, e o ponto onde a altura encontra a base é chamado de pé da altura.

O ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro (H). No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no triângulo retângulo, é o vértice do ângulo reto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo. Os três vértices juntos com o ortocentro formam um sistema ortocêntrico.

Mediana

O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade.Mediana é o segmento de reta que une cada vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto. A mediana relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo mede metade da hipotenusa.

O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois segmentos. O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice. No triângulo Equilátero, as medianas, bissetrizes e alturas são coincidentes. No isósceles, apenas a que chegam ao lado diferente, no escaleno, nenhuma delas.

TRIÂNGULOS
O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade.

Bissetriz

TRIÂNGULOS
O ponto de interseção das três bissetrizes é o incentro.

A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de um vértice e vai até o lado oposto do vértice em que partiu, dividindo o seu ângulo em dois ângulos congruentes.

Em um triângulo há três bissetrizes internas, sendo que o ponto de interseção delas chama-se incentro.

O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo é denominado círculo inscrito.

Já a bissetriz externa é o segmento da bissetriz de um ângulo externo situado entre o vértice e a interseção com o prolongamento do lado oposto.

As bissetrizes externas duas a duas têm um ponto de interseção, denominado ex-incentro relativo ao lado que contêm os vértices pelos quais passam essas retas.

Dado um ex-incentro, o círculo que tem esse ponto como centro, e é tangente a um lado e ao prolongamento dos dois outros lados do triângulo, é denominado círculo ex-inscrito.

Em um triângulo equilátero, o incentro, o ortocentro e o baricentro são o mesmo ponto.

Dado um ex-incentro, o círculo que tem esse ponto como centro, e é tangente a um lado e ao prolongamento dos dois outros lados do triângulo, é denominado círculo ex-inscrito.

Em um triângulo equilátero, o incentro, o ortocentro e o baricentro são o mesmo ponto.

Reta de Euler

É a reta que contém o ortocentro, o baricentro e o circuncentro.

Círculo dos Nove Pontos

É o círcunferência que contém os pontos médios dos lados, os pés das alturas, e os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro aos vértices.

Relações de desigualdades entre lados e ângulos

1ª relação: Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não-adjacentes.

2ª relação: Se dois lados de um triângulo têm medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo.

3ª relação: Em todo triângulo, qualquer lado tem medida menor que a soma das medidas dos outros dois.

Fonte: pt.wikipedia.org

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