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TRIGONOMETRIA

Trigonometria: vocábulo criado em 1595 pelo matemático alemão Bartholomaus Pitiscus (1561-1613), do grego trigonon (triângulo) e metron (medida).

É claro que Hiparco (astrônomo e matemático grego (190 a.C. - 125 a. C.), considerado o pai da Trigonometria, ainda não usava esta terminologia.

A Astronomia foi a grande impulsionadora da Trigonometria.

O desconhecimento dos números negativos, que se popularizou apenas no século XVII, dificultou o desenvolvimento da Trigonometria.

O documento mais antigo conhecido sobre o assunto, data-se do século II d.C. e denominou-se Almagesto, de autoria de Ptolomeu. (Cláudius Ptolemaeus astrônomo grego (90 - 168).

Afirma-se que Ptolomeu deixou o planeta Terra aos 78 anos.

Este grande astrônomo grego acreditava que a Terra era o centro do Universo, ao redor da qual giravam Mercúrio, Lua, Vênus, Sol, Marte, Júpiter e Saturno, em órbitas que seriam círculos perfeitos! Sua concepção foi considerada como válida até o século XVI, quando Nicolau Copérnico (astrônomo polonês - 1473/1543) a substituiu pela teoria heliocêntrica (válida até hoje) e confirmada por Galileo Galilei (físico e astrônomo italiano - 1564/1642).

Por enquanto, vamos ver apenas a definição de círculo trigonométrico, após o resumo histórico supra. Nos próximos textos, cuidaremos de desenvolver o resumo da teoria.

Chama-se Círculo Trigonométrico, ao círculo orientado de raio unitário, cujo centro é a origem do sistema de coordenadas cartesianas, conforme figura a seguir.

O círculo trigonométrico é orientado positivamente no sentido ABA’B’A. O sentido AB’A’BA é considerado negativo. Assim, o arco AB (ângulo reto) mede 90º e o arco AB’ mede -90º . O arco ABA’ (ângulo raso) mede 180º ( ou p radianos) e o arco AB’A’ mede (-180º).

O arco de uma volta completa (ABA’B’A) mede 360º ;

O arco AB’A’BA mede( -360º), ou seja, é um arco negativo.

Já sabemos que 360º = 2p radianos.

Podemos na Trigonometria, considerar arcos de mais de uma volta.

Sabendo que uma volta equivale a 360º , podemos facilmente reduzir qualquer arco à primeira volta. Por exemplo, o arco de 12350º , para reduzi-lo à primeira volta, basta dividi-lo por 360º (para eliminar as voltas completas) e considerar o resto da divisão. Assim é que, 12350º dividido por 360º, resulta no quociente 34 e no resto 110º. Este valor 110º é então trigonométricamente equivalente ao arco de 12350º e é denominado sua menor determinação positiva.

Dois arcos trigonométricos são ditos côngruos, quando a diferença entre eles é um número múltiplo de 360º . Assim é que sendo x e y dois arcos trigonométricos, eles serão côngruos se e somente se x - y = k . 360º , onde k é um número inteiro.

Portanto, para descobrir se dois arcos são côngruos, basta verificar se a diferença entre eles é um múltiplo de 360º (ou 2p radianos, pois 2p rad = 360º).

Os arcos 2780º e 1700º , por exemplo são côngruos , pois
2780º - 1700º = 1080º e 1080º é divisível por 360º
(1080º / 360º = 3 , com resto nulo).

Funções trigonométricas: seno, cosseno , tangente, cotangente, secante e cossecante.

Considere a figura abaixo, onde está representado um círculo trigonométrico (centro na origem e raio unitário).

TRIGONOMETRIA

Da simples observação da figura, temos os seguintes pontos notáveis:

A(1;0) , B(0;1) , A’(-1;0) e B’(0;-1).

Definiremos os seguintes eixos:

A’A = eixo dos cossenos (variando no intervalo real de -1 a +1)
B’B = eixo dos senos (variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ® variando no intervalo real (-¥ , +¥ ).

Observe também que as coordenadas cartesianas do ponto U são:
x0 = abscissa e y0 = ordenada, ou seja: U(x0 , y0).

Considere o arco trigonométrico AU de medida a. Nestas condições definimos:
1 - Seno do arco de medida a = ordenada do ponto U = y0 e indicamos: sen a = y0 .
2 - Cosseno do arco de medida a = abscissa do ponto U = x0 e indicamos: cos a = x0

Lembrando que o raio do círculo trigonométrico é igual a 1 (por definição), concluímos que o seno e o cosseno de um arco são números reais que variam no intervalo real de -1 a +1.

Da figura acima, podemos escrever: x02 + y02 = OU2; mas, OU = raio do círculo trigonométrico
e portanto vale 1.

Daí vem a seguinte relação entre o seno e o cosseno de um arco, já que x0 = cos a e y0 = sen a :

sen2a + cos2a = 1

denominada relação fundamental da Trigonometria.

Observando ainda a figura acima e considerando os sinais das ordenadas e das abscissa ou seja, sinais do seno e do cosseno, podemos concluir que o seno é positivo para os arcos compreendidos entre 0º e 180º (1º e 2º quadrantes) e negativo para os arcos compreendidos entre 180º e 360º (3º e 4º quadrantes).

Já para o cosseno, usando a mesma consideração anterior, concluímos que o cosseno é positivo para os arcos compreendidos entre 0º e 90º (1º quadrante) e para os arcos compreendidos entre 270º e 360º (4º quadrante) e, negativo para os arcos compreendidos entre 90º e 180º (2º quadrante) e para os arcos compreendidos entre 180º e 270º (3º quadrante).

Valores notáveis do seno e cosseno:

sen 0º = sen 180º = cos 90º = cos 270º = 0
sen 90º = cos 0º = cos 360º = 1
sen 270º = cos 180º = -1

Ainda na figura anterior, observe o segmento AT.
O comprimento deste segmento, é por definição, a tangente do arco AU de medida a.
Indicamos isto escrevendo tg a = AT.
A escala adotada no eixo das tangentes é a mesma dos eixos das abscissa e das ordenadas.

Pela semelhança dos triângulos Ox0U e OAT, podemos escrever:

TRIGONOMETRIA

mas como y0 = sen a, x0 = cos a, AT = tg a e OA = 1, vem:

TRIGONOMETRIA

para cos a ¹ 0.

Nota: para saber o sinal da tangente nos 4 quadrantes, basta usar a regra de sinais da divisão, já que a tangente é simplesmente o quociente do seno pelo cosseno, cujos sinais nos quadrantes já conhecemos.

Somente como exemplo, como o seno e o cosseno são negativos no 3º quadrante, sendo a tangente o quociente entre eles, concluímos que neste quadrante, a tangente será positiva, pois menos dividido por menos dá mais!

Os inversos multiplicativos do seno, cosseno e tangente, recebem designações particulares a saber:

1 - inverso do seno = cossecante (símbolo: cossec)
2 - inverso do cosseno = secante (símbolo: sec)
3 - inverso da tangente = cotangente (símbolo: cotg )

Assim, sendo a um arco trigonométrico, poderemos escrever:

para sen a ¹ 0.

para cos a ¹ 0.

para sen a ¹ 0.

Fonte: www.terra.com.br

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