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DESIGUALDADES REAIS

O sistema ordenado dos números reais

Trabalhar com desigualdades é muito importante em Matemática, mas são necessários alguns conceitos de ordem sobre o conjunto R dos números reais para dar sentido ao estudo de desigualdades. Nosso trabalho admite que você já sabe o que é um número real e que também já conhece as principais propriedades dos reais.

O conjunto R dos números reais pode ser construído a partir dos 11 postulados (afirmações aceitas sem demonstração) listados abaixo:

1. Fecho aditivo: Para quaisquer aDESIGUALDADES REAIS R e bDESIGUALDADES REAIS R, a soma de a e b, indicada por a+b, também é um elemento de R.

2. Associatividade aditiva: Para quaisquer aDESIGUALDADES REAIS R, bDESIGUALDADES REAIS R e cDESIGUALDADES REAIS R, tem-se que (a+b)+c=a+(b+c).

3. Comutatividade aditiva: Para quaisquer aDESIGUALDADES REAIS R e bDESIGUALDADES REAIS R, tem-se que a+b=b+a.

4. Elemento neutro aditivo: Existe 0DESIGUALDADES REAIS R, denominado zero, tal que 0+a=a, para todo aDESIGUALDADES REAIS R.

5. Elemento oposto: Para cada aDESIGUALDADES REAIS R, existe -aDESIGUALDADES REAIS R tal que a+(-a)=0.

6. Fecho multiplicativo: Para quaisquer aDESIGUALDADES REAIS R e bDESIGUALDADES REAIS R, o produto (ou multiplicação) de a e b, indicado por a×b, por a.b ou simplesmente por ab, também é um elemento de R.

7. Associatividade multiplicativa: Para quaisquer aDESIGUALDADES REAIS R, bDESIGUALDADES REAIS R e cDESIGUALDADES REAIS R, tem-se que (a.b).c=a.(b.c).

8. Comutatividade multiplicativa: Para quaisquer aDESIGUALDADES REAIS R e bDESIGUALDADES REAIS R, tem-se que a.b=b.a.

9. Elemento neutro multiplicativo: Existe 1DESIGUALDADES REAIS R, denominado um, tal que 1.a=a, qualquer que seja aDESIGUALDADES REAIS R.

10. Elemento inverso: Para cada aDESIGUALDADES REAIS R, sendo a diferente de zero, existe a-1DESIGUALDADES REAIS R tal que a.a-1=1. É bastante comum usar a-1=1/a

11. Distributividade: Quaisquer que sejam aDESIGUALDADES REAIS R, bDESIGUALDADES REAIS R e cDESIGUALDADES REAIS R, tem-se que a.(b+c)=a.b+a.c

A reta numerada

Geometricamente, a reta real pode ser vista como uma linha reta horizontal tendo a origem em um ponto O. Ao marcar um outro ponto U, determinamos um segmento de reta OU e assim o sentido de O para U é tomado como positivo e o sentido contrário como negativo.

___________O__________U___________

A origem O recebe o valor zero, que é o elemento neutro da adição. O segmento OU deve medir uma unidade, indicada por 1, que é o elemento neutro da multiplicação.

___________0__________1___________

Uma relação de ordem sobre R

Construiremos agora uma relação de ordem. Para dois números reais a e b, escrevemos a<b para entender que "a é menor do que b". Esta mesma relação pode ser escrita na forma b>a para significar que "b é maior do que a". Esta situação ocorre quando o número a está localizado à esquerda do número b na reta numerada.

___________a__________b___________

Dizemos que c é positivo se c>0. Do ponto de vista geométrico, c deve ser marcado à direita de 0.

___________0__________c___________

Esta relação de ordem satisfaz a uma série de axiomas (objetos matemáticos que são aceitos sem demonstração), conhecidos como axiomas de ordem:

1. Tricotomia: Para quaisquer números reais a e b, somente pode valer uma das três situações abaixo:

a<b, ou a=b, ou a>b

2. Translação: Se a<b então a+c<b+c para todo c em R.

______a______b______a+c____b+c______

3. Positividade: Se a<b e c>0 então a.c<b.c.

______a______b______a.c____b.c______

4. Transitividade: Se a<b e b<c, então a<c.

______a______b______c________

Módulo de um número real

O módulo (ou valor absoluto) de um número real a é definido como o valor máximo entre a e -a, denotado por:

|a|=max{a,-a}

Exemplo:

1. |0|=0, |-7|=|7|=7, |-a|=|a|, |a²|=a²

2. |a+b|DESIGUALDADES REAIS |a|+|b|

3. |a-b|DESIGUALDADES REAIS |a|-|b|

4. |a+b|²DESIGUALDADES REAIS |a|²+|b|²+2|a||b|

Desigualdades reais

Uma desigualdade em uma variável real x é uma relação matemática de uma das formas abaixo:

f(x)<0, f(x)>0, f(x)<0, f(x)>0

onde f=f(x) é uma função real de variável real. As duas primeiras desigualdades são estritas e as duas últimas são não-estritas.

A desigualdade do tipo f(x)<0 é não-estrita e equivale a duas relações: uma desigualdade estrita f(x)<0 e uma igualdade f(x)=0.

Exemplos: Dos quatro tipos acima citados.

2x+3<0, 2x+3>0, 2x+3<0, 2x+3>0

Produto de uma desigualdade por um real

Ao multiplicar uma desigualdade por um número real positivo, obtemos outra desigualdade equivalente com o mesmo sinal que a primeira, mas se multiplicarmos a desigualdade por um número real negativo, a nova desigualdade terá o sinal de<trocado por >.

Desigualdade Sinal Produto
f(x)<0 a>0 a.f(x)<0
f(x)>0 a>0 a.f(x)>0
f(x)<0 a>0 a.f(x)<0
f(x)>0 a>0 a.f(x)>0
Desigualdade Sinal Produto
f(x)<0 a<0 a.f(x)>0
f(x)>0 a<0 a.f(x)<0
f(x)>0 a<0 a.f(x)<0
f(x)>0 a<0 a.f(x)<0

Conjunto solução de uma desigualdade

Em uma desigualdade, o que interessa é obtermos o conjunto solução, que é o conjunto de todos os números reais para os quais vale a desigualdade. Para a desigualdade f(x)<0, o conjunto solução será dado por

S = {xDESIGUALDADES REAIS R: f(x)<0 }

As outras três formas são semelhantes.

Desigualdades equivalentes

Duas desigualdades são equivalentes se os seus conjuntos soluções são iguais.

Exemplo: São equivalentes as desigualdades:

2x-4<0 e 2-x>0

pois seus conjuntos soluções coincidem, isto é:

S = {xDESIGUALDADES REAIS R: x<2} = (-DESIGUALDADES REAIS ,2]

Observação: Para construir o conjunto solução de uma desigualdade da forma f(x)<0, devemos garantir que os valores de x só podem pertencer ao conjunto solução se estiverem no domínio de definição da função f=f(x).

Exemplo: Consideremos a desigualdade (x-2)/x<0, que aparece nos livros na forma:

x-2
-----<0
x

Se cometermos o erro de multiplicar a desigualdade acima por x (sem analisar o sinal de x), obteremos x-2<0 e chegaremos ao conjunto

S = {xDESIGUALDADES REAIS R: x<2} = (-DESIGUALDADES REAIS ,2]

pois nesse caso, x=0 pertence ao conjunto S mas não pertence ao domínio da função real f(x)=(x-2)/x.

Devemos então assumir que x=0 não pertence ao conjunto solução desta desigualdade. Na sequência, mostraremos como resolver corretamente esta desigualdade.

Sistema de desigualdades

Em sistemas matemáticos aplicados (por exemplo, na área de otimização), é comum a ocorrência de sistemas formados por várias desigualdades e nesse caso, torna-se importante obter o conjunto solução do sistema e não somente de uma das desigualdades do sistema.

Exemplo: O conjunto solução que satisfaz às desigualdades

2x-8>0 e x>20

é S={xDESIGUALDADES REAIS R:x>20}=(20DESIGUALDADES REAIS ,), que é a interseção dos conjuntos soluções das duas desigualdades.

Desigualdades importantes

Desigualdades triangulares: Para quaisquer números reais a e b, tem-se que:

|a+b|<|a|+|b|

|a-b|<|a|+|b|

|a|-|b|<|a-b|

||a|-|b||<|a-b|

Desigualdades entre médias: Para quaisquer números reais positivos a e b, tem-se que:

DESIGUALDADES REAIS

sendo que o termo à esquerda é a média harmônica, o termo do meio é a média geométrica e o termo à direita é a média aritmética entre a e b.

Para aprender mais sobre médias e desigualdades, veja nossos links sobre Máximos e mínimos nesta Página Matemática Essencial.

Principais tipos de desigualdades

Existem alguns tipos mais comuns de desigualdades com números reais. Na sequência, apresentaremos as formas possíveis e os seus respectivos conjuntos soluções para os seguintes tipos: Linear, Quadrática, Fração linear, Produto de fatores, Produto e quociente de fatores, uma forma alternativa de Fração linear, Irracional, Modular e Exponencial

Desigualdade Linear

O nome linear provém do fato que a equação da reta no plano, quase sempre pode ser escrita na forma y=ax+b. Existem 8 tipos básicos de desigualdades lineares

ax+b<0, ax+b>0, ax+b<0, ax+b>0

cujos conjuntos soluções dependem fortemente da solução (raiz) de ax+b=0.

Desigualdade Sinal Conjunto solução
ax+b<0 a>0 S=(-inf,-b/a)
ax+b>0 a>0 S=(-b/a,inf)
ax+b<0 a>0 S=(-inf,-b/a]
ax+b>0 a>0 S=[-b/a,inf)

Desigualdade Sinal Conjunto solução
ax+b<0 a<0 S=(-b/a,inf)
ax+b>0 a<0 S=(-inf,-b/a)
ax+b<0 a<0 S=[-b/a,inf)
ax+b>0 a<0 S=(-inf,-b/a]

Desigualdade quadrática

Dependendo dos valores dos coeficientes a, b e c de uma equação quadrática ax2+bx+c=0, poderemos ter duas raízes reais diferentes, apenas uma raiz real dupla ou nenhuma raiz real. Este fato influencia fortemente na obtenção do conjunto solução de uma desigualdade quadrática. O símbolo DESIGUALDADES REAIS significa infinito e U é o símbolo de reunião de conjuntos. Existem 24 tipos básicos distribuídos em 6 tabelas, quando ax²+bx+c=0

1. possui raízes reais r e s com r<s

Desigualdade Sinal Conjunto solução
ax²+bx+c<0 a>0 S=(r,s)
ax²+bx+c>0 a>0 S=(-inf,r)U(s,inf)
ax²+bx+c<0 a>0 S=[r,s]
ax²+bx+c>0 a>0 S=(-inf,r]U[s,inf)

2.possui somente a raiz real dupla r

DESIGUALDADES REAIS

3. não possui raízes reais

DESIGUALDADES REAIS

4. possui raízes reais r e s com r<s

DESIGUALDADES REAIS

5. possui somente a raiz real dupla r

DESIGUALDADES REAIS

6. não possui raízes reais

DESIGUALDADES REAIS

Desigualdade com fração linear (I)

Uma desigualdade tem a forma de fração linear se pode ser escrita em um dos quatro tipos básicos

DESIGUALDADES REAIS

Se c=0 e d0, estas frações se tornam casos particulares de desigualdades lineares, razão pela qual tomaremos c0. Para obter o conjunto solução, devemos eliminar a fração.

Estudaremos apenas a primeira desigualdade, pois as outras são semelhantes. Consideremos

DESIGUALDADES REAIS

Sabemos que cx+d>0 ou cx+d<0 ou cx+d=0. Se cx+d=0 então x=-d/c não pertence ao conjunto solução. Para os valores de x tal que cx+d é diferente de zero, temos que (cx+d)²>0. Ao multiplicar a fração linear por (cx+d)²>0, eliminaremos a fração e passaremos a ter

(cx+d)(ax+b)<p(cx+d)²

Passando as expressões algébricas para o primeiro membro, obteremos

(cx+d)[(ax+b)-p(cx+d)]<0

que ainda pode ser escrita na forma

(cx+d)(mx+n)<0

onde m=a-pc e n=b-pd. Após as simplificações possíveis, obtemos uma desigualdade linear ou quadrática, como o produto de dois fatores lineares.

Desigualdade com produto de fatores lineares

Se uma desigualdade possui um produto de fatores lineares, existe o método dos intervalos que facilita a obtenção do conjunto solução. Iremos mostrar com um exemplo como funciona este método.

Exemplo: Seja a desigualdade

2(x+3)(x-5)(x-7) > 0

Decompomos a desigualdade acima em três desigualdades lineares, obter a raiz da expressão algébrica de cada desigualdade linear, analisar o sinal de cada uma delas separadamente e realizar o "produto dos sinais". As raízes das equações associadas às desigualdades lineares são r=-3, s=5 e t=7. A reta R será decomposta em 4 intervalos.

DESIGUALDADES REAIS

Como o produto dos fatores deve ser positivo, o conjunto solução é S=(-3,5)U(7DESIGUALDADES REAIS ,).

Desigualdade com produto e quociente de fatores lineares

Quando uma desigualdade possui produtos, divisões de fatores lineares, ou ambos, o método dos intervalos facilita a obtenção do conjunto solução. Mostraremos de novo com um exemplo

Exemplo: Seja a desigualdade

DESIGUALDADES REAIS

De novo, decompomos esta desigualdade em três desigualdades lineares, obtemos a raiz de cada expressão algébrica da desigualdade linear, analisamos cada uma delas separadamente e realizamos as operações de produto de sinais ou divisão de sinais ou ambos

DESIGUALDADES REAIS

O conjunto solução é S=(-3,5)U(7DESIGUALDADES REAIS ,)

Desigualdade com Fração linear (II)

Seja uma desigualdade que é uma fração linear, como por exemplo

DESIGUALDADES REAIS

que pode ser escrita na forma

(cx+d)(mx+n)<0

onde m=a-pc e n=b-pd. Os zeros da função

f(x) = (cx+d)(mx+n) = c.m.(x+d/c)(x+n/m)

são r=-d/c e s=-n/m. Admitindo que r<s e analisando cada desigualdade separadamente e na sequência realizando o "produto dos sinais"

DESIGUALDADES REAIS

Se c.m>0 o conjunto solução será S=(r,s), mas se c.m<0 o conjunto solução deverá ser S=(-DESIGUALDADES REAIS ,r)U(s,DESIGUALDADES REAIS ).

Exemplo: Seja a desigualdade

DESIGUALDADES REAIS

Multiplicando a desigualdade acima por (3x+11)², obtemos:

(2x+7)(3x+11)<2(3x+11)²

isto é

(3x+11)[(2x+7)-2(3x+11)]<0

ou seja

(3x+11)(-4x-15)<0

Pondo os números 3 e 4 em evidência, obtemos

-12(x+11/3)(x+15/4)<0

Multiplicando esta última desigualdade por -1/12, obtemos

(x+11/3)(x+15/4) > 0

A função f(x)=(x+11/3)(x+15/4) se anula para r=-11/3 e s=-15/4.

DESIGUALDADES REAIS

O conjunto solução é S=(-DESIGUALDADES REAIS ,-15/4)U(-11/3,DESIGUALDADES REAIS ).

Desigualdade Irracional

É um tipo de desigualdade que contém expressões algébricas sob um ou mais radicais. Existem muitas situações possíveis, mas só usaremos o sinal<para apresentar alguns casos

DESIGUALDADES REAIS

A raiz quadrada de um número real z>0, será indicada por R[z], para reduzir a inserção de gráficos na página.

Exemplo: O conjunto solução da desigualdade R[2x+3]+R[x-3]<1 depende de trabalharmos um pouco com os radicais. Passamos um dos radicais para o segundo membro

R[2x+3] < 1-R[x-3]

Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos

2x+3 < 1+(x-3)-2R[x-3]

Simplificando, obtemos

x+5 < -2R[x-3]

Elevamos de novo ao quadrado para obter uma desigualdade quadrática (ou linear)

(x+5)² < 4(x-3)

Não continuaremos a análise deste exemplo, pois este tipo já foi tratado antes.

Exemplo: O conjunto solução da desigualdade

DESIGUALDADES REAIS

deve ser obtido com cuidado. Não basta multiplicar por x-2 e elevar ao quadrado, mas devemos eliminar a fração, multiplicando toda a desigualdade por (x-2)²

(x-2) R[x+6] < 3 (x-2)²

Elevando os membros ao quadrado, obtemos

(x-2)²(x+6) < 9 (x-2)4

Passando todas as expressões para o primeiro membro, obtemos

(x-2)²[(x+6)- 9(x-2)²] < 0

que pode escrito como

(x-2)²(9x² +37x -30) < 0

Também não obteremos o conjunto solução, pois já tratamos desse caso antes.

Desigualdade Modular

É uma desigualdade com uma ou mais expressões algébricas dentro de módulos. Também aqui existe uma infinidade de situações possíveis, mas só usaremos o sinal < para apresentar alguns casos

|f(x)|<k, |f(x)| ± |g(x)|<k, |f(x)| ± g(x)<k

Exemplo: Obteremos o conjunto solução da desigualdade

DESIGUALDADES REAIS

pela eliminação da fração ao multiplicar a desigualdade por (x-2)²

(x-2)|x+6|<3 (x-2)²

Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos

(x-2)²(x+6)²<9 (x-2)4

Passando todas as expressões algébricas para o primeiro membro, obtemos

(x-2)²[(x+6)²- 9(x-2)²]<0

que pode escrito como

(-x)(x-2)²(x-6)<0

Não mostraremos como obter o conjunto solução.

Desigualdade Exponencial

São desigualdades onde aparecem funções nos expoentes e as bases das potências devem ser números positivos diferentes de 1, condição importante, pois só podemos definir logaritmos reais com as bases tendo tais valores. Existe uma infinidade de casos, mas apenas apresentaremos dois casos com o sinal >

ax>b, af(x)>b

Exemplo: Podemos obter o conjunto solução da desigualdade

24x-3<8

primeiro pela simplificação à forma

24x-3<2³

A função f(x)=log2(x), (logaritmo de x na base 2) é crescente para todo x positivo e a sua aplicação a ambos os membros da desigualdade, nos garante que

4x-3<3

que é equivalente a

x < 3/2

Assim, o conjunto solução é

S = {x DESIGUALDADES REAIS em R: x<3/2 }

Exemplo: Obtemos o conjunto solução da desigualdade

2(x-3)(x-4) > 1

pela aplicação da função logaritmo de base 2 a ambos os membros da desigualdade. Dessa forma

(x-3)(x-4) > 0

O conjunto solução é S={xDESIGUALDADES REAIS R: x<3 ou x>4}.

Fonte:pessoal.sercomtel.com.br

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