Função do 1º grau

Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:

Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro conjunto dado e o segundo elemento pertence ao segundo conjunto dado.

Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a correspondência de A em B, de tal modo que cada elemento do conjunto A se associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim ; ; . A correspondência por pares ordenados seria:

Noções de função

Considere os diagramas abaixo:

Condições de existência

(1) Todos os elementos de x têm um correspondente em y.

(2) Cada elemento de x tem um e somente um correspondente em y.

Analisando os diagramas acima

O diagrama 1 não satisfaz a condição (1); os diagramas 3, 4 e 5 não satisfazem a condição (2).

Logo, somente o diagrama 2 representa uma função.

Domínio, Contradomínio e Imagem

Observe o diagrama a seguir:

Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados serão:

f={(1,2),(2,3),(3,4)}

O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f.

D(F)=X

O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f.

C(F)=Y

Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f.

f(1)=2

Ainda, f(2)=3 e f(3)=4.

Logo o conjunto das imagens de f e dado por:

Im(f)={2,3,4}

Determinação de função

Observe:

1) Associe cada elemento de X com o seu consecutivo:

2) Associe cada elemento de X com a sua capital

3) Determine o conjunto imagem de cada função:

a) D(f) = {1,2,3}
y = f(x) = x + 1

[Sol] f(1) = 1+1 = 2
f(2) = 2+1 = 3
f(3) =3+1 = 4

Logo: Im(f)={2,3,4}

b) D(f) = {1,3,5}
y = f(x) = x²

[Sol] f(1) = 1² = 1
f(3) = 3² = 9
f(5) = 5² = 25

Logo: Im(f)={1,9,25}

Plano cartesiano

Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais determinam o plano A.

Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas retas:

x // x' e y // y'

Denominemos P1 a interseção de x com y' e P2 a interseção de y com x'

Nessas condições, definimos:

- Abscissa de P é um número real representado por P1
- Ordenada de P é um número real representado por P2
- A coordenada de P são números reais x' e y' , geralmente indicados na forma de par ordenado ( x' , y' )
- O eixo das abscissas é o eixo x
- O eixo das ordenadas é o eixo y
- A origem do sistema é o ponto 0
- Plano cartesiano é o plano A.

Depois desta revisão, vamos finalmente ver a Função do 1º grau!

Exemplo:

Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido.

a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido.

[Sol] y=salário fixo + comissão
y=500 + 50x

b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?

[Sol] y=500+50x , onde x=4
y=500+50.4 = 500+200 = 700

c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?

[Sol] y=500+50x , onde y=1000
1000=500+50x » 50x=1000-500 » 50x=500 » x=10

A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º grau, sendo dada por:

y=f(x)=ax+b com , e