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PRODUTOS NOTÁVEIS



Quadrado da soma de dois termos

(a+b)² = a² + b² + 2ab
Exemplo: (3+4)²=3²+4²+2×3×4

Quadrado da diferença de dois termos

(a-b)² = a² + b² - 2ab
Exemplo: (7-5)²=7²+5²-2×7×5

Diferença de potências (ordem 2)

a² - b² = (a+b)(a-b)
Exemplo: 7²-5²=(7+5)(7-5)

Cubo da soma de dois termos

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Exemplo: (4+5)³=4³+3×4²×5+3×4×5²+5³

Cubo da soma de dois termos na forma simplificada

(a+b)³ = a(a-3b)² + b(b-3a)²
Exemplo: (4+5)³=4(4-3×5)²+5(5-3×4)²

Cubo da diferença de dois termos

(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Exemplo: (4-5)³=4³-3×4²×5+3×4×5²-5³

Identidade de Fibonacci

(a²+b²)(p²+q²) = (ap-bq)²+(aq+bp)²
Exemplo: (1²+3²)(5²+7²)=(1×5-3×7)²+(1×7+3×5)²

Identidade de Platão

(a²+b²)² = (a²-b²)²+(2ab)²
Exemplo: (3²+8²)²=(3²-8²)²+(2×3×8)²

Identidade de Lagrange (4 termos)

(a²+b²)(p²+q²)-(ap+bq)² = (aq-bp)²
Exemplo: (9²+7²)(5²+3²)-(9×5+7×3)²=(9×3-7×5)²

Identidade de Lagrange (6 termos)

(a²+b²+c²)(p²+q²+r²) - (ap+bq+cr)²
= (aq-bp)² + (ar-cp)² + (br-cq)²
Exemplo: (1²+3²+5²)(7²+8²+9²)-(1×7+3×8+5×9)²
=(1×8-3×7)²+(1×9-5×7)²+(3×9-5×8)²

Identidade de Cauchy (n=3)

(a+b)³ - a³ - b³ = 3ab(a+b)
Exemplo: (2+7)³-2³-7³=3×2×7×(2+7)

Identidade de Cauchy (n=5)

(a+b)5 - a5 - b5 = 5ab(a+b)(a²+ab+b²)
Exemplo: (1+2)5-15-25=5×1×2×(1+2)(1²+1×2+2²)
Quadrado da soma de n termos.

Quadrado da soma de n termos

PRODUTOS NOTÁVEIS

sendo que i<j.

Exemplos:

(a+b)²=a²+b²+2(ab)
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)
(a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

Cubo da soma de n termos

PRODUTOS NOTÁVEIS

sendo que i<j e i<j<k.

Diferença entre os quadrados da soma e diferença

(a+b)² - (a-b)² = 4ab
Exemplo: (7+9)²-(7-9)²=4×7×9

Soma dos quadrados da soma e da diferença

(a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²)
Exemplo: (3+5)²+(3-5)²=2(3²+5²)

Soma de dois cubos

a³+b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b)
Exemplo: 2³+4³=(2+4)³-3×2×4×(2+4)

Soma de dois cubos na forma fatorada

a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
Exemplo: 5³+7³=(5+7) (5²-5×7+7²)

Transformação do produto na diferença de quadrados

ab = [½(a+b)]² - [½(a-b)]²
Exemplo: 3×5=[½(3+5)]²-[½(3-5)]²

Diferença de potências (ordem 4)

a4-b4 = (a-b)(a+b)(a²+b²)
Exemplo: 54-14=(5-1)(5+1)(5²+1²)

Diferença de potências (ordem 6)

a6-b6 = (a-b)(a+b)(a²+ab+b²)(a²-ab+b²)
Exemplo: 56-16=(5-1)(5+1) (5²+5×1+1²)(5²-5×1+1²)

Diferença de potências (ordem 8)

a8 - b8 = (a-b)(a+b)(a²+b²)(a4+b4)
Exemplo: 58-18=(5-1)(5+1)(5²+1²)(54+14)

Produto de três diferenças

(a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a)
Exemplo: (1-3)(1-5)(3-5)=1×3×(1-5)+3×5×(3-5)+5×1×(5-1)

Produto de três somas

(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ac) - abc
Exemplo: (1+3)(3+5)(5+1)=(1+3+5)(1×3+3×5+1×5)-1×3×5

Soma de cubos das diferenças de três termos

(a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ = 3(a-b)(b-c)(c-a)
Exemplo: (1-3)³+(3-5)³+(5-1)³=3(1-3)(3-5)(5-1)

Cubo da soma de três termos

(a+b+c)³ = (a+b-c)³ + (b+c-a)³ + (a+c-b)³ + 24abc
Exemplo: (7+8+9)³=(7+8-9)³+(8+9-7)³+(7+9-8)³+24×7×8×9

Soma nula de produtos de cubos por diferenças

a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)+(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)=0
Exemplo: 2³(4-6)+4³(6-2)+6³(2-4)+(2+4+6)(2-4)(4-6)(2-6)=0

Soma de produtos de cubos com diferenças

a³(b-c)³ + b³(c-a)³ + c³(a-b)³ = 3abc(a-b)(b-c)(a-c)
Exemplo: 7³(8-9)³+8³(9-7)³+9³(7-8)³=3.7.8.9(7-8)(8-9)(7-9)

Produto de dois fatores homogêneos de grau dois

(a²+ab+b²) (a²-ab+b²)=a4+a² b²+b4
Exemplo: (5²+5×7+7²)(5²-5×7+7²)=54+5² 7²+74

Soma de quadrados de somas de dois termos

(a+b)²+(b+c)²+(a+c)²=(a+b+c)²+a²+b²+c²
Exemplo: (1+3)²+(3+5)²+(1+5)²=(1+3+5)²+1²+3²+5²

Produto de quadrados de fatores especiais

(a-b)² (a+b)² (a²+b²)²=(a4-b4)²
Exemplo: (7-3)² (7+3)² (7²+3²)²=(74-34)²

Soma de quadrados de express. homogêneas de grau 1

(a+b+c)²+(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=3(a²+b²+c²)
Exemplo:
(7+8+9)²+(7-8)²+(8-9)²+(9-7)²=3(7²+8²+9²)

Identidade de interpolação

PRODUTOS NOTÁVEIS

Exemplo: Com a=1, b=2 e c=3 na identidade, obtemos:

PRODUTOS NOTÁVEIS

Fonte: pessoal.sercomtel.com.br

PRODUTOS NOTÁVEIS

Vamos relembrar aqui, identidades especiais, conhecidas particularmente como Produtos Notáveis.

1 - Quadrado da soma e da diferença

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Das duas anteriores, poderemos concluir que também é válido que:
(a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2) ou escrevendo de uma forma conveniente:

PRODUTOS NOTÁVEIS

2 - Diferença de quadrados
(a + b).(a - b) = a2 - b2

3 - Cubo de uma soma e de uma diferença
(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
Para determinar o cubo da diferença, basta substituir na identidade acima, b por -b, obtendo:
(a - b)3 = a3 - 3.a2.b + 3.a.b2 - b3

Uma forma mais conveniente de apresentar o cubo de soma, pode ser obtida fatorando-se a expressão como segue:
(a + b)3 = a3 + 3.a.b(a+b) + b3
Ou:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Esta forma de apresentação, é bastante útil.

Exemplos:
1 - A soma de dois números é igual a 10 e a soma dos seus cubos é igual a 100. Qual o valor do produto desses números?

SOLUÇÃO:
Temos: a + b = 10 e a3 + b3 = 100. Substituindo diretamente na fórmula anterior, fica:
103 = 100 + 3ab(10) de onde tiramos 1000 = 100 + 30.ab

Daí, vem: 900 = 30.ab, de onde concluímos finalmente que ab = 30, que é a resposta solicitada.

Nota: os números a e b que satisfazem à condição do problema acima, não são números reais e sim, números complexos. Você pode verificar isto, resolvendo o sistema formado pelas igualdades a+b = 10 e ab = 30. Verifique como exercício!

Alerto para o fato de que é muito trabalhoso. Mas, vá lá, faça! É um bom treinamento sobre as operações com números complexos. Pelo menos, fica caracterizada a importância de saber a fórmula acima.

Sem ela, a solução DESTE PROBLEMA SIMPLES, seria bastante penosa!

2 - Calcule o valor de F na expressão abaixo, para:
a = -700, b = - 33 , x = 23,48 e y = 9,14345.

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SOLUÇÃO: Com a substituição direta dos valores dados, os cálculos seriam tantos que seria inviável! Vamos desenvolver os produtos notáveis indicados:

PRODUTOS NOTÁVEIS

Se você observar CUIDADOSAMENTE a expressão acima, verá que o numerador e o denominador da fração são IGUAIS, e, portanto, F = 1, INDEPENDENTE dos valores de a, b, x e y.

Portanto, a resposta é igual a 1, independente dos valores atribuídos às variáveis a, b, x e y.

Resp: 1

Fonte: www.vestibular1.com.br

PRODUTOS NOTÁVEIS

Produtos notáveis, como o próprio nome já diz, significa produto (multiplicação) notáveis (que se destacam). Eles são a nata das multiplicações...são as multiplicações mais famosas da matemática...são realmente muito notáveis!

O único problema, como dissemos, é que às vezes eles aparecem e a gente nem nota!...

Vejamos um destes produtos notáveis: (a + b )2

Este produto notável, a gente chama assim: "quadrado da soma", e sempre que a gente vê ele no meio de uma expressão, a gente pode substituí-lo por a2 + 2ab + b2 . Isto significa que ( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2.

Os professores lêem assim: "a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo"

Será que é isso mesmo ? Dê onde tiraram tudo isso ? Vejamos a seguir!

Nós sabemos que para calcular um coisa ao quadrado basta multiplicar esta coisa por ela mesma não é isso ? Exemplo: 32 = 3.3 que é igual a 9, certo ?

Então calcular (a + b )2 será (a+b) vezes (a+b), certo ? certo! Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação, temos:

(a+b).(a+b) = a.a + a.b + b.a + b.b
(a+b).(a+b) = a2 + 2.(a.b) + b2

Então é verdade que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Existem três produtos notáveis que você não pode deixar de notar.

O primeiro deles a gente acabou de conhecer. Os outros dois a gente vai ver agora, em seguida.

O segundo produto notável que a gente precisa conhecer (antes das provas, é claro), é bem parecido com o primeiro. Veja: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

A diferença deste para o anterior é o sinal de menos. Então tudo o que vimos para o anterior vale também para este aqui!

O terceiro produto notável é chamado produto da soma pela diferença. Veja:
( a + b ) ( a - b).

Este é muito fácil de se calcular. Basta multiplicar. O importante é você saber que neste caso o resultado será o quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado do segundo termo (b). Veja:

( a + b ) ( a - b) = a.a - a.b + b.a - b.b
( a + b ) ( a - b) = a2 - 0 - b2
( a + b ) ( a - b) = a2 - b2

Vimos então que existem 3 tipos de multiplicação na matemática que a gente não pode deixar de notar e que chamamos de produtos notáveis. O primeiro é bem parecido com o segundo. A diferença está no sinal de mais ou de menos.

O terceiro sempre temos como resultado o quadrado do primeiro termo mais o quadrado do segundo termo.

primeiro: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
segundo: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
terceiro: (a + b).(a - b) = a2 - b2

Fonte: www.interaula.com

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