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Progressão Aritmética

 

Em matemática uma progressão aritmética é uma sequência de números de tal modo que a diferença de dois termos sucessivos qualquer da sequência é uma constante.

Por exemplo, a sequência de 3, 5, 7, 9, ... é uma progressão aritmética de constantes 2 e 5, 2, -1, -4 diferença, ... é uma progressão aritmética da diferença constante -3.

Formulação

Progressão Aritmética

Sabendo o primeiro termo a 1 e a diferença d , você pode calcular o enésimo termo da progressão por substituição sucessiva na relação de recorrência.Progressão Aritméticacom uma fórmula para o termo geral de uma progressão aritmética, escrita de forma compacta como obtido:

Progressão Aritmética

onde d é um número real qualquer um.
Você também pode escrever o termo geral de outra forma. Para este efeito, os termos são considerados para m e um n ( m < N ), da progressão anterior e colocado de acordo com um :

Progressão Aritmética

Subtraindo as duas igualdades e transposição, obtemos:

Progressão Aritmética

 

Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16). Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma: 4 – 2 = 6 – 4 = 10 – 8 = 14 – 12 = 16 – 14 = 2 Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas (PA).

A diferença constante é chamada de razão da progressão e costuma ser representada por r. Na PA dada temos r = 2. Podemos, então, dizer que:

Progressão aritmética é a seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo, todos são obtidos somando uma constante.

São exemplos de PA:

• (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5

• (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3

• (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0

Notação PA( a1, a2, a3, a4, ...., an) Onde: a1= primeiro termo an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo n = número de termos( se for uma PA finita ) r = razão

Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25)

a1 = 5

an = a6 = 25

n = 6

r = 4

Classificação

Quanto a razão:

• (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5.

Toda PA de razão positiva ( r > 0 ) é crescente. • (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3 Toda PA de razão negativa ( r < 0) é decrescente. • (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0 Toda PA de razão nula ( r = 0 ) é constante ou estacionária.

Quanto ao número de termos:

• (5, 15, 25, 35, 45, 55) é uma PA de 6 termos e razão r = 10. Toda PA de n° de termos finito é limitada. • (12, 10, 8, 6, 4, 2,...) é uma PA de infinitos termos e razão r = -2 Toda PA de n° de termos infinito é ilimitada.

Propriedades

P1: Três termos consecutivos

Numa PA, qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor.

Exemplo: Consideremos a PA(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) e escolhamos três termos consecutivos quaisquer: 4, 8, 12 ou 8, 12, 16 ou ... 20, 24, 28. Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética dos outros dois termos:

Progressão Aritmética

P2: Termo Médio

Numa PA qualquer de número ímpar de termos, o termo do meio(médio) é a média aritmética do primeiro termo e do último.

Exemplo: Consideremos a PA(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e o termo médio é 12. Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética do primeiro e do último

Progressão Aritmética

P3: Termos Equidistantes

A soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma PA finita é igual à soma dos extremos.

Exemplo: Consideremos a PA(3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31)

Progressão Aritmética

Termo Geral

Uma PA de razão r pode ser escrita assim:

Progressão Aritmética

Aplicando a definição de PA, podemos escrevê-la de uma outra forma:

Progressão Aritmética

Progressão Aritmética

Portanto, o termo geral será:

Progressão Aritmética

Exercícios Resolvidos

1. Determine o quarto termo da PA(3, 9, 15,...). Resolução:

Progressão Aritmética

2. Determine o oitavo termo da PA na qual a3 = 8 e r = -3. Resolução

Progressão Aritmética

Fonte: es.wikipedia.org/www.educacional.com.br/

 

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