Determinantes e Matrizes

Determinantes e Matrizes

Em Matemática indica uma série de propriedades matemáticas e generaliza o conceito de determinação tornando -o aplicáveis em muitos campos. No entanto, o conceito de determinação ou de volume orientada foi introduzido para estudar o número de soluções de sistemas de equações lineares.

Para calcular determinantes de matrizes de qualquer ordem, não é uma regra recursiva, que reduz a adição de cálculo e subtração de vários determinantes de ordem inferior.

Este processo pode ser repetido quantas vezes forem necessárias para reduzir o problema para o cálculo de vários determinantes da ordem tão pequenas quanto desejado. Sabendo que o determinante de um escalar é o próprio escalar, isto é possível para calcular o determinante de qualquer matriz por aplicação da presente teorema.

Em adição a esta regra, para calcular determinantes de matrizes de qualquer ordem, podemos usar outra definição de determinante conhecida como Fórmula Leibniz .

A fórmula de Leibniz para o determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é:

onde a soma é calculado sobre todas as permutações σ do conjunto {1,2, …, n }. A posição do elemento i depois de permutação é denotado como σ σ _i . O conjunto de todas as permutações é P _n . Para cada σ, sgn (σ) é a assinatura de σ, este é um caso a permutação é mesmo e -1 se ele for ímpar.

em ambos  adendos, o termo

indica o produto das entradas na posição ( i , σ _i ), onde i vai de 1 a n :

fórmula de Leibniz é útil como uma definição de um determinante; mas, a não ser em casos muito pequenos, não é uma maneira prática de calculá-lo: você tem que executar n! Fatores e adicionando n n produtos! elementos. Não normalmente usadas para calcular a determinar se a matriz tiver mais de três linhas.

Determinante de uma matriz quadrada

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por:

definimos o determinante de A, denotado por det(A), como:

det(A) = a11 a22 – a21 a12

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por:

definimos o determinante de A, como:

det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23
– a11a32a23 – a21a12a33 – a31a22a13

Regra prática de Sarrus

Dada a matriz A de ordem 3:

Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas mas com 5 colunas.

Marcamos 3 diagonais que descem, de acordo com algumas cores. Os produtos obtidos nas diagonais que descem devem ter o sinal positivo.

Marcamos agora 3 diagonais que sobem, de acordo com outras cores. Os produtos obtidos nas diagonais que sobem devem ter o sinal negativo.

O determinante da matriz A é a soma dos seis produtos, conservados os sinais:

det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 – a11a32a23 – a21a12a33 – a31a22a13

Observamos que esta regra não funciona para matrizes de ordem diferente que 3.

Propriedades dos determinantes

Em todas as situações abaixo, consideraremos matrizes quadradas de ordem n>2.
Se In é a matriz identidade, então:

det(In) = 1

Se N é uma matriz nula, então:

det(N) = 0

Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então:

det(A) = 0

A matriz A bem como a sua transposta At, possuem o mesmo determinante de A, isto é:

det(At) = det(A)

Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, então:

det(B) = k det(A)

Se B=kA, onde k é um escalar, então:

det(B) = kn det(A)

Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então:

det(B) = – det(A)

Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então:

det(A) = 0

Se a diferença entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz A é uma mesma constante, então:

det(A) = 0

Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então:

det(A) = 0

Ao fixar todas as linhas (ou colunas) de uma matriz exceto uma delas, o determinante de A será uma função linear da linha (ou coluna) não fixada da matriz.

Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número real k, o determinante da matriz será multiplicado (ou dividido) por k.

Matrizes

Matrizes formam um importante conceito em matemática, de especial uso no estudo de transformações lineares. Não é o propósito desta página a teoria dessas transformações, mas apenas alguns fundamentos e operações básicas com matrizes que as representam.

Uma matriz A_m,n pode ser entendida como um conjunto de mn (m multiplicado por n) números, dispostos em m linhas e n colunas, conforme figura ao lado.

Portanto, na matriz abaixo, de 2 linhas e 3 colunas, temos:

Adição e subtração

Esta operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas.

Multiplicação por um escalar

Algumas propriedades das operações anteriores

Sejam A e B matrizes m,n e c e d escalares. Então:

c (A + B) = cA + cB e d (cA) = dc (A).

E, também, se cA = cB então A = B.

Matrizes nulas e unitárias

Multiplicação de matrizes

Sejam as matrizes A_m,p e B_p,n (o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda). O produto AB é dado pela matriz C_m,n cujos elementos são calculados por:

c11 = 4.1 + 0.2 + 5.1 = 9 | c12 = 4.2 + 0.5 + 5.0 = 8 |

c21 = 1.1 + 1.2 + 3.1 = 6 | c22 = 1.2 + 1.5 + 3.0 = 7 |

Temos então a fórmula genérica:

Ordem dos fatores

Se A e B são matrizes quadradas (igual número de linhas e colunas), ambos os produtos AB e BA podem ser calculados.

Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores não é indiferente.

Em geral AB ? BA. Se AB = BA, as matrizes são ditas comutativas.

Algumas propriedades do produto de matrizes

Sejam as matrizes A, B e C.

1) Se os produtos A(BC) e (AB)C são possíveis de cálculo, então A(BC) = (AB)C.

2) Se os produtos AC e BC são possíveis, então (A+B)C = AC + BC.

3) Se os produtos CA e CB são possíveis, então C(A+B) = CA + CB.

4) Se I_p é a matriz unitária pp conforme já mencionado, então: I_p A_p,n = A_p,n e B_m,p I_p = B_m,p.

Matriz inversa

Sejam as matrizes quadradas A_n,n e B_n,n. Se BA = I_n , onde I_n é a matriz unitária conforme já visto, então B é chamada de matriz inversa esquerda de A.

Para achar a matriz inversa:

Por exemplo, seja a matriz A ao lado e desejamos saber sua inversa esquerda B.

O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito de A.

Agora, o objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por coeficientes de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo (processo de Gauss-Jordan).

1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por -1.

2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por -1.
3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por -2.

3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por -3.

3ª linha = 3ª linha multiplicada por -1.

2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por -1.

E a matriz inversa é a parte da direita.

 

Fontes: es.wikipedia.org/pessoal.sercomtel.com.br