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Forma Canônica

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Uma forma canônica é a forma mais simples de algo específico: a forma de uma matriz quadrada que tem zero elementos em todos os lugares, exceto na diagonal principal

A técnica usada para representar as entidades ou matrizes matemáticas em sua forma padrão (ou expressão matemática) é denominada como forma canônica.

O termo canonização também é conhecido como padronização ou normalização em relação à relação de equivalência.

O que é uma forma canônica?

Quase todos os objetos matemáticos podem ser expressos de várias maneiras.

Por exemplo, a fração 2/6 é equivalente a 5/15 e -4 / -12.

Uma forma canônica é um esquema específico que os matemáticos usam para descrever objetos de uma determinada classe de uma maneira codificada e única.

Todo objeto da classe possui uma única representação canônica que corresponde ao modelo da forma canônica.

Para números racionais, a forma canônica é a / b, onde aeb não possuem fatores comuns eb é positivo. Essa fração é normalmente descrita como “nos termos mais baixos”.

Quando colocado em forma canônica, 2/6 se torna 1/3. Se duas frações são iguais em valor, suas representações canônicas são idênticas.

As formas canônicas nem sempre são a maneira mais comum de denotar um objeto matemático.

As equações lineares bidimensionais têm a forma canônica Ax + By + C = 0, onde C é 1 ou 0.

No entanto, os matemáticos costumam empregar a forma de interceptação de inclinação – y = mx + b – ao fazer cálculos básicos. A forma de interceptação de declive não é canônica; não pode ser usado para descrever a linha x = 4.

Os matemáticos acham as formas canônicas particularmente úteis ao analisar sistemas abstratos, nos quais dois objetos podem parecer marcadamente diferentes, mas são matematicamente equivalentes.

O conjunto de todos os caminhos fechados em uma rosquinha tem a mesma estrutura matemática do conjunto de todos os pares ordenados (a, b) de números inteiros.

Um matemático pode ver essa conexão facilmente se usar formas canônicas para descrever os dois conjuntos. Os dois conjuntos têm a mesma representação canônica, portanto são equivalentes.

Para responder a uma pergunta topológica sobre curvas em uma rosquinha, um matemático pode achar mais fácil responder a uma pergunta algébrica equivalente sobre pares ordenados de números inteiros.

Muitos campos de estudo empregam matrizes para descrever sistemas. Uma matriz é definida por suas entradas individuais, mas essas entradas freqüentemente não transmitem o caráter da matriz.

As formas canônicas ajudam os matemáticos a saber quando duas matrizes estão relacionadas de alguma forma que podem não ser óbvias de outra maneira.

As álgebras booleanas, a estrutura que os lógicos usam ao descrever proposições, têm duas formas canônicas: forma normal disjuntiva e forma normal conjuntiva.

Eles são algebricamente equivalentes à fatoração ou expansão de polinômios, respectivamente. Um pequeno exemplo ilustra essa conexão.

O diretor de uma escola secundária pode dizer: “O time de futebol deve vencer um de seus dois primeiros jogos e vencer nossos rivais, no terceiro jogo, caso contrário o treinador será demitido”.

Esta afirmação pode ser escrita logicamente como (w1 + w2) * H + F, onde “+” é a operação lógica “ou” e “*” é a operação lógica “e”.

A forma normal disjuntiva para esta expressão é w1 * H + w2 * H + F.

Sua forma normal conjuntiva para é w1 *H + w2 *H + F.

Todas essas três expressões são verdadeiras exatamente nas mesmas condições, portanto são logicamente equivalentes.

Engenheiros e físicos também fazem uso de formas canônicas ao considerar sistemas físicos. Às vezes, um sistema será matematicamente semelhante a outro, mesmo que não pareçam iguais.

As equações da matriz diferencial usadas para modelar uma podem ser idênticas às usadas para modelar a outra. Essas semelhanças se tornam aparentes quando os sistemas são lançados em uma forma canônica, como a forma canônica observável ou a forma canônica controlável.

Forma canônica – Matemática

Geralmente, em matemática e ciência da computação, uma forma canônica de um objeto matemático é uma maneira padrão de apresentar esse objeto como uma expressão matemática.

Por exemplo, a forma canônica de um número inteiro positivo na representação decimal é uma sequência finita de dígitos que não começa com zero.

Mais geralmente, para uma classe de objetos em que uma relação de equivalência é definida, uma forma canônica consiste na escolha de um objeto específico em cada classe.

Por exemplo, a forma de escalão de linha e a forma normal de Jordan são formas canônicas para matrizes.

Na ciência da computação, e mais especificamente na álgebra computacional, ao representar objetos matemáticos em um computador, geralmente existem muitas maneiras diferentes de representar o mesmo objeto.

Nesse contexto, uma forma canônica é uma representação tal que todo objeto tem uma representação única. Assim, a igualdade de dois objetos pode ser facilmente testada testando a igualdade de suas formas canônicas.

No entanto, as formas canônicas frequentemente dependem de escolhas arbitrárias, e isso introduz dificuldades para testar a igualdade de dois objetos, resultando em cálculos independentes.

Portanto, na álgebra computacional, a forma normal é uma noção mais fraca: uma forma normal é uma representação tal que zero é representado exclusivamente.

Isso permite testar a igualdade colocando a diferença de dois objetos na forma normal.

Fonte: Editores Portal São Francisco

 

 

 

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